Ο αλγόριθμος υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας

Εισαγωγή

Ο αλγόριθμος υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας είναι ένα θέμα το οποίο, συνήθως, αποφεύγεται να διδαχθεί στο σχολείο. Ωστόσο, κάποιες φορές, απασχολεί ορισμένους μαθητές οι οποίοι ενδιαφέρονται για τη διαπραγμάτευσή του. Ίσως, το γεγονός αυτό να μπορούσε να αποδοθεί στην ανάγκη κάλυψης των  υπολογιστικών απαιτήσεων διάφορων τετραγωνικών ριζών. Εντούτοις, μάλλον, προκύπτει ως απόρροια μιας ενδόμυχης ανάγκης. Προβάλλει ως πρόκληση το εγχείρημα να αποκωδικοποιηθεί, πολυεπίπεδα, ο βαθύτερος μηχανισμός της έννοιας.

Φυσικά, στις απλούστερες περιπτώσεις τετραγωνικών ριζών, το εξαγόμενο μπορεί να προκύψει με δοκιμές. Συγκεκριμένα, αναζητείται ο αριθμός του οποίου το τετράγωνο, δηλαδή το γινόμενό του επί τον εαυτό του, ισούται με την υπόρριζη ποσότητα.

Για παράδειγμα, , διότι , , διότι , κ.ά..

Όμως, μετά από κάποια εισαγωγικά μαθήματα σχετικά με την έννοια της τετραγωνικής ρίζας καθώς και μετά τον υπολογισμό κάποιων ειδικών περιπτώσεων τετραγωνικών ριζών, είναι εύλογο να αναρωτηθεί κανείς:

Υπάρχει κάποια γενικότερη μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών;

Η απάντηση είναι καταφατική.

Στη συνέχεια, επιχειρείται, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος, μια πρώτη γνωριμία με τη μέθοδο αυτή. Συνοδευτικά, θα διαπραγματευτεί η αντίστοιχη σχηματική αναπαράσταση της μεθόδου. 

Θα αντιληφθείτε ότι, ο γεωμετρικός χαρακτήρας της έννοιας, όπως άλλωστε  αναλύθηκε εδώ και εδώ, φωλιάζει ανάμεσα στα βήματα του αλγορίθμου.

Ενδεχομένως, αυτό ο αλγόριθμος, με την παρουσίαση των σχετικών βημάτων του, να συμπληρώνει το οπλοστάσιο των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων. Έτσι, άλλη μια λειτουργική αριθμητική διαδικασία προστίθεται στη φαρέτρα των μαθητών. Βέβαια, εδώ η διαδικασία είναι πιο σύνθετη και περισσότερο τεχνική.

Ο αλγόριθμος υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας

Θα βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αριθμού . Ο αλγόριθμος θα μπορούσε να αναλυθεί στα παρακάτω βήματα.

6. 1. Τα ψηφία του χωρίζονται, ανά δύο, από δεξιά: . Ο αριθμός τοποθετείται, πάνω αριστερά, σε μια διάταξη παρόμοια μ’ αυτήν που χρησιμοποιείται κατά την εφαρμογή του αλγόριθμου της διαίρεσης.

         

   2. Βρίσκουμε τον αριθμό () ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει τον πρώτο, από αριστερά, αριθμό μετά τον χωρισμό (). Τον αριθμό που βρήκαμε τον γράφουμε πάνω δεξιά στην προαναφερόμενη διάταξη.

         

   3. Το τετράγωνο του αριθμού, που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα, αφαιρείται από τον πρώτο, από αριστερά, αριθμό μετά τον χωρισμό. Το αποτέλεσμα σημειώνεται ως ακολούθως,

         

   4. Προσαρτούμε τον επόμενο, από αριστερά, αριθμό μετά τον χωρισμό (), δεξιά του αποτελέσματος () του προηγούμενου βήματος.

         

   5. Διπλασιάζουμε τον αριθμό, που υπάρχει πάνω δεξιά, στην προηγούμενη διάταξη, (), σημειώνοντας το αποτέλεσμα () κάτω δεξιά της.

         

      Πλέον, αναζητείται το ψηφίο () το οποίο, δίπλα στο προηγούμενο αποτέλεσμα, (), στη θέση των μονάδων, σχηματίζει έναν αριθμό () ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί το ζητούμενο ψηφίο () προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει το αποτέλεσμα που βρέθηκε στο βήμα 4 ().

         

      Το ψηφίο αυτό σημειώνεται δεξιά του αποτελέσματος που βρέθηκε στο βήμα 2.

         

   6. Το αποτέλεσμα του γινομένου, όπως περιεγράφηκε στο βήμα 5, αφαιρείται από τον αριθμό που είχε βρεθεί στο βήμα 4, όπως παρακάτω,

         

   7. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 4-6, ωσότου «εξαντληθεί» η υπόρριζη ποσότητα, προχωρώντας, αν χρειαστεί, παρόμοια, και στο δεκαδικό της μέρος, πάντοτε σε σχέση και με την επιζητούμενη ακρίβεια.   

         

                                 

         

                                                                                       

         

                                                                                        

         

   8. Το εξαγόμενο της ρίζας, για τη ζητούμενη ακρίβεια, είναι ο αριθμός που βρίσκεται πάνω δεξιά στη χρησιμοποιούμενη διάταξη,

         

Η ανάλυση του αλγορίθμου

Για να εμβαθύνουμε, περισσότερο, στον αλγόριθμο, ας επιχειρήσουμε να εκτιμήσουμε τη , από μικρότερες τιμές.

• Με προσέγγιση εκατοντάδων: Επειδή, , ενώ, , έχουμε ότι, . Έτσι, προκύπτει το ψηφίο στο βήμα 2. Βέβαια, εκεί η διαδικασία παρουσιάστηκε απλοποιημένη, διότι, ουσιαστικά,

     

  ενώ,

     

  (Τρόπον τινά, τα μηδενικά του αποσιωπώνται, στο βήμα 2, αφού, άλλωστε, στην πορεία, ενδεχομένως, να αντικατασταθούν από άλλα ψηφία, καθώς, η προσέγγιση βελτιώνεται.)

• Με προσέγγιση δεκάδων: Επειδή,

     

  ενώ,

     

  έχουμε ότι, .

  Έτσι, προκύπτει το ψηφίο στο βήμα 5. Βέβαια, εκεί η διαδικασία παρουσιάστηκε με αμεσότερο τρόπο. Επιπλέον, υποστηρίχθηκε από ένα συμπέρασμα, που αναφέρεται στη διαφορά δύο τετραγώνων, το οποίο θα σκιαγραφηθεί αμέσως παρακάτω. Στα ακόλουθα σχήματα,

                       

  ερμηνεύεται, γεωμετρικά, η ισότητα,

     

  Η τελευταία ισότητα γράφεται,

     

  (Ουσιαστικά, το γινόμενο βελτιώνει, προσθετικά, την αρχική προσέγγιση του για την υπόρριζη ποσότητα. Γι’ αυτό, αποσιωπώντας τα μηδενικά, αναζητείται εκ των προτέρων, στη θέση των δεκάδων της εκτίμησης  της ρίζας, το ψηφίο . Αυτό το ψηφίο, δίπλα στο , στη θέση των μονάδων, σχηματίζει τον αριθμό . Το πολλαπλασιαζόμενο επί το ψηφίο προσεγγίζει, όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς, όμως, να υπερβαίνει το . Το είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει αν στη διαφορά προσαρτηθεί το επόμενο ζεύγος ψηφίων () της υπόρριζης ποσότητας.)

• Με προσέγγιση μονάδων. Το ίδιο σκεπτικό, που περιεγράφηκε προηγουμένως, οδηγεί στο ψηφίο .

  Πράγματι,

     

  ενώ, .

  Το είναι, ακριβώς, ο αριθμός που προκύπτει αν προσαρτηθεί στο το επόμενο ζεύγος ψηφίων () της υπόρριζης ποσότητας.