Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο, που διδάσκεται στην Τριγωνομετρία της Β΄ Λυκείου, αποτελεί μια συνήθη διαδικασία κατά την επεξεργασία τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών. Ο αρχικός ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας \omega, όπου \omega\in(0,\frac{\pi}{2}) (0^{\circ}<\omega<90^{\circ}), δόθηκε στη Β΄ Γυμνασίου στο ορθογώνιο τρίγωνο. Στη συνέχεια, στη Γ΄ Γυμνασίου, ο ορισμός αυτός επεκτάθηκε ώστε να συμπεριλάβει όλες τις γωνίες στο διάστημα [0,2\pi] ([0^\circ,360^\circ]). Στη Β΄ Λυκείου, τα προηγούμενα γενικεύτηκαν στο \mathbb{R}, οπότε, πλέον, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ορίζονται για γωνίες που μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε πραγματική τιμή.

Με την αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο, επιτυγχάνεται το αντίστροφο δηλαδή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί, για μια οποιαδήποτε γωνία, τρόπον τινά, “επιστρέφουν”, κατάλληλα, στη βάση τους, στο πρώτο τεταρτημόριο, εκεί απ’ όπου προήλθαν. Πρόκειται, επομένως, για το αποτέλεσμα της πορείας προσδιορισμού τριγωνομετρικών αριθμών για γωνίες οι οποίες δε βρίσκονται κατ’ ανάγκη στο πρώτο τεταρτημόριο. Ο προσδιορισμός τους επιτυγχάνεται με τη βοήθεια αντίστοιχων τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών του πρώτου τεταρτημορίου. Έτσι, για να συντελεστεί η αναγωγή, οι διάφορες γωνίες συσχετίζονται κατάλληλα με τις συναφείς τους γωνίες στο πρώτο τεταρτημόριο.

Για παράδειγμα, με τι ισούνται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας των 120^{\circ}; Μήπως θα μπορούσε να αξιοποιηθεί η ισότητα, 120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}, η οποία φέρνει στο προσκήνιο την παραπληρωματική της γωνία; Πώς συνδέεται καθένας από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 60^{\circ} με τον ζητούμενο, κάθε φορά, τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας των 120^{\circ};

Ποιες σχέσεις θα αξιοποιούσατε για να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών των 390^{\circ} ή των 765^{\circ}; Τι παρατηρείτε για τη γωνία των -\frac{7\pi}{4};

Τέτοια, όπως και διάφορα άλλα παρεμφερή ερωτήματα, θα μας απασχολήσουν παρακάτω. Αρχικά, θα υπενθυμιστούν ορισμένα βασικά σημεία αναφορικά με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Στη συνέχεια, θα εξηγηθούν, ενδεικτικά, ορισμένες περιπτώσεις από τη θεωρία της αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο. Το γενικότερο ζήτημα θα παρουσιαστεί μέσω μιας διαδραστικής εφαρμογής. Η εφαρμογή παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο ανάλυσης όλων των τύπων της θεωρίας αλλά και επίλυσης αντίστοιχων ασκήσεων. Τέλος, μπορείτε να αξιολογήσετε τον βαθμό εμπέδωσης των γνώσεων αυτής της ενότητας με τη βοήθεια μιας φόρμας ερωτήσεων κατανόησης.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Η αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο, όπως προαναφέρθηκε, υποκινείται από τη γενίκευση της έννοιας της γωνίας καθώς και των αντίστοιχων τριγωνομετρικών αριθμών της. Η διαδικασία αναδεικνύεται με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου. Ο τριγωνομετρικός κύκλος, ένας μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή, O, ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων Oxy, μπορεί να δεχθεί, ως επίκεντρη, μια οποιαδήποτε γωνία, \omega.

 

Η γωνία, μάλιστα, τοποθετείται έχοντας ως αρχική πλευρά της τον ημιάξονα Ox. Αν συμβολίσουμε με M(x,y) το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά τέμνει τον κύκλο, τότε,

    \[ \mathrm{\sigma\upsilon\nu}(\omega)=x,\,\, \mathrm{ \eta\mu}(\omega)=y,\,\, \mathrm{\varepsilon\varphi}(\omega)=\frac{y}{x},\,\, \mathrm{ \sigma\varphi}(\omega)=\frac{x}{y}. \]

Παρεμπιπτόντως, το πρόσημο της γωνίας καθορίζει τη φορά κίνησης της τελικής πλευράς. Το θετικό πρόσημο αντιστοιχεί στην αριστερόστροφη φορά, της τελικής πλευράς, ωσότου επιτευχθεί το “άνοιγμα”, σε σχέση με τον Ox, που αντιστοιχεί στο μέτρο της. (Το αρνητικό πρόσημο αντιστοιχεί στη δεξιόστροφη φορά, δηλαδή στη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.)

Γνωστές σχέσεις μεταξύ γωνιών (αντίθετες γωνίες, παραπληρωματικές γωνίες, γωνίες που διαφέρουν κατά 180^{\circ}, συμπληρωματικές γωνίες, γωνίες που διαφέρουν κατά 90^{\circ}, κ.ά.) μπορούν να αναπαρασταθούν στον τριγωνομετρικό κύκλο. Τα σχήματα που προκύπτουν προσφέρονται για τη διερεύνηση των αντίστοιχων σχέσεων μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών αυτών των γωνιών και, τελικά, για την αναγωγή τους στο πρώτο τεταρτημόριο.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί αντίθετων γωνιών

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, που εικονίζεται παρακάτω, έχουν τοποθετηθεί, κατάλληλα, δύο αντίθετες γωνίες \omega και -\omega. Ακόμη, έχουν σημειωθεί τα συνημίτονά τους.

Προφανώς, \mathrm{\sigma\upsilon\nu}(-\omega)=x και \mathrm{\sigma\upsilon\nu}(\omega)=x.

Τι σημαίνει η τελευταία παρατήρηση για τα συνημίτονα των αντίθετων γωνιών;

Μπορείτε να συμπεράνετε την αντίστοιχη σχέση για τα ημίτονά τους;

Είναι κι αυτά ίσα ή μήπως όχι;

Αντιλαμβάνεστε τη σχέση που έχουν οι εφαπτόμενες / συνεφαπτόμενες των αντίθετων γωνιών; (Να ανακαλέσετε ότι η εφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με το πηλίκο του ημιτόνου της προς το συνημίτονό της και ότι η συνεφαπτομένη είναι η αντίστροφη της εφαπτομένης.)

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Παρόμοια, στον τριγωνομετρικό κύκλο της παρακάτω εικόνας, έχουν τοποθετηθεί, κατάλληλα, δύο παραπληρωματικές γωνίες \omega και 180^{\circ}-\omega. Ακόμη, έχουν σημειωθεί τα συνημίτονά τους.  Μπορείτε  να  ανακαλύψετε τη μεταξύ τους σχέση;

Καταλήγει, λοιπόν, κανείς ότι τα συνημίτονα των παραπληρωματικών γωνιών είναι αντίθετα. Επιπλέον, αφού τα M και M' έχουν την ίδια τεταγμένη, συνάγεται ότι τα ημίτονά τους είναι ίσα. Άμεση απόρροια είναι ότι οι εφαπτόμενες –  άρα και οι συνεφαπτόμενές τους – είναι αντίθετες.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που διαφέρουν κατά 180 μοίρες

Αυτή η περίπτωση είναι διαφορετική από την περίπτωση των παραπληρωματικών γωνιών. Εδώ, η διαφορά των γωνιών είναι 180^{\circ} και όχι το άθροισμά τους όπως στις παραπληρωματικές γωνίες. Για παράδειγμα, οι γωνίες 40^{\circ} και 220^{\circ} διαφέρουν κατά 180^{\circ}.

Είναι η παρακάτω εικόνα αρκετά κατατοπιστική για να βρείτε τη σχέση των ημιτόνων των δύο γωνιών;

Μπορείτε να εικάσετε τις σχέσεις των συνημιτόνων τους; Τι σημαίνουν τα προηγούμενα για τις εφαπτόμενες /  συνεφαπτόμενές τους;

Τριγωνομετρικοί αριθμοί συμπληρωματικών γωνιών

Πιθανώς, ως ένα βαθμό, τα αποτελέσματα αυτής της περίπτωσης να είχαν σχολιαστεί και στο Γυμνάσιο. Για παράδειγμα τι σχέση έχει το \mathrm{\sigma\upsilon\nu}(30^{\circ}) με το \mathrm{\eta\mu}(60^{\circ});

Τα καταληκτικά συμπεράσματα, ίσως, να δικαιολογούν και τις ονομασίες “συνημίτονο” και “συνεφαπτομένη” για τους δύο γνωστούς τριγωνομετρικούς αριθμούς. Διότι, θα φανεί ότι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί που “συμπληρώνουν”, αντιστοίχως, το ημίτονο και την εφαπτομένη. Όπως μπορεί να διαπιστωθεί, τουλάχιστον σχηματικά,

το συνημίτονο της γωνίας είναι το ημίτονο της συμπληρωματικής της. Συνεπώς, πιο ελεύθερα:

“Συνημίτονο” = “Συν” + “ημίτονο” = Το “συμπλήρωμα” του ημιτόνου = ημίτονο της συμπληρωματικής

Ανάλογα, προκύπτει ότι η συνεφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με την εφαπτομένη της συμπληρωματικής της, δηλαδή πιο ελεύθερα:

“Συνεφαπτομένη” = “Συν” + “εφαπτομένη” = Το “συμπλήρωμα” της εφαπτομένης = Εφαπτομένη της συμπληρωματικής

Αυτή η εναλλαγή των τριγωνομετρικών αριθμών (το ημίτονο σε συνημίτονο, η εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και ανάποδα) δίνει ένα αξιοσημείωτο τόνο στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Η διαδραστική εφαρμογή

Τα προηγούμενα αναλύονται και επεκτείνονται, εκτενέστερα, στη διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί. Η εφαρμογή προσφέρει τη δυνατότητα της τοποθέτησης, από τον χρήστη, διάφορων ζευγαριών γωνιών, στον τριγωνομετρικό κύκλο, οι οποίες πληρούν συγκεκριμένες σχέσεις, π.χ. αντίθετες γωνίες, παραπληρωματικές γωνίες, γωνίες που διαφέρουν κατά 180^{\circ} κ.ά.. Στη συνέχεια, ζητείται από τον χρήστη η αναγραφή της αντίστοιχης σχέσης μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών τους. Επιπλέον, δίνεται η επιλογή περαιτέρω εξάσκησης, πάνω στους γενικούς τύπους που, κατά περίπτωση, προκύπτουν, με τη βοήθεια κατάλληλων ασκήσεων / εφαρμογών. Κάθε φορά, παρέχεται η δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη καθώς επισημαίνονται οι όποιες παρανοήσεις με αρκετές υποδείξεις.

Καλή ενασχόληση!

Φόρμες ερωτήσεων

Στις ακόλουθες φόρμες ερωτήσεων, μπορείτε να επεξεργαστείτε μια σειρά από ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις εμπέδωσης – απόδειξης σχετικά με την αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο. Βέβαια, απαραίτητη προϋπόθεση, για τη διαπραγμάτευσή τους, είναι η κατανόηση των παραπάνω όπως και ορισμένων βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. 

Να απαντήσετε σε όσα μπορείτε χωρίς να σας προβληματίζει η ενδεικτική βαθμολογία που εμφανίζεται κατά την υποβολή …

Καλό θα ήταν να δείτε τις υποδείξεις και τα σχόλια, κατά την υποβολή των ερωτήσεων, για να βοηθηθείτε στην καλύτερη κατανόηση και εμπέδωση των εννοιών που έχετε διδαχθεί.

Καλή επιτυχία!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.