Απόλυτη τιμή αριθμού και απόσταση

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Όπως θα γίνει φανερό, η απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ορίζεται, γεωμετρικά, ως η απόσταση του αριθμού από τον αριθμό $0$ . Έτσι, για την απόλυτη τιμή, ίσως να είναι σκόπιμο διάφορες βασικές επισημάνσεις να διδαχθούν κάτω από αυτό το πρίσμα. Συγκεκριμένα, ένα πρώτο βασικό συμπέρασμα είναι ότι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ως απόσταση, είναι, πάντοτε, μη αρνητικός αριθμός. Ένα επόμενο συμπέρασμα είναι ότι, οι αντίθετοι αριθμοί, εφόσον ισαπέχουν από το $0$ , θα έχουν ίσες απόλυτες τιμές.

Ωστόσο, κάποιες φορές, η ανάδειξη αυτής της σύνδεσης δεν είναι απλό εγχείρημα. Έτσι κι αλλιώς, οι μαθητές δεν έχουν συνηθίσει να ερμηνεύουν, γεωμετρικά, τις διάφορες μαθηματικές σχέσεις. Το τελευταίο, φυσικά, αντικατοπτρίζει συγκεκριμένους διδακτικούς προσανατολισμούς της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Ο ορισμός της απόστασης δύο αριθμών, ως η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους, αποτελεί μια τέτοια περίπτωση κατά την οποία εμφανίζονται αρκετά διδακτικά εμπόδια. Παρόλες τις δυσκολίες, μάλλον, αξίζει τον κόπο, κατά τη διδασκαλία της αντίστοιχης ενότητας, να αφιερωθεί ο απαραίτητος χρόνος, έτσι, ώστε να εμπεδωθεί και να αξιοποιηθεί η γεωμετρική οπτική του ζητήματος.

Θα ήταν ευχής έργο να μπορούσαν, για παράδειγμα, οι μαθητές να επιλύουν ανισώσεις όπως η $|x-2|<1$ , γεωμετρικά. Δηλαδή, να είναι σε θέση να ερμηνεύουν την παράσταση $|x-2|$ ως απόσταση του $x$ από το $2$ και, κατόπιν, να εντοπίζουν όλους τους αριθμούς που απέχουν από το $2$ απόσταση μικρότερη από το $1$ .

Προφανώς, πρόκειται για τους αριθμούς, $x$ , που ικανοποιούν την ανισοτική σχέση $1<x<3$ .

Η απόλυτη τιμή αριθμού

“Η ειρήνη είναι προτιμότερη από τον πόλεμο. Αλλά δεν είναι κάτι απόλυτο, και έτσι πάντα ρωτάμε: «Τι είδους ειρήνη;»”
Νόαμ Τσόμσκυ , 1928 – Σήμερα
Αμερικανός Πολιτικός επιστήμονας

Σχετική σύγκριση αριθμών

Με βάση τη διάταξη των πραγματικών αριθμών, διαπιστώνεται π.χ. ότι $2<4$ , ενώ $-6<-3$ .

Ενώ η ανισότητα, $2<4$ , μάλλον, είναι αποδεκτή, χωρίς ενστάσεις, ίσως η ανισότητα, $-6<-3$ , να μπορεί να θεωρηθεί ως ένα βαθμό αμφιλεγόμενη. Ενδεχομένως, αυτό να οφείλεται στο ότι η δεύτερη ανισοτική σχέση δε συνάδει με την αντίστοιχη σχέση μεταξύ των «απόλυτων μεγεθών» αυτών των αριθμών.

Ας υπενθυμιστεί ότι η συγκεκριμένη διάταξη, μεταξύ των προηγούμενων ζευγών αριθμών, βασίζεται στη σχετική θέση των αριθμών στον πραγματικό άξονα.

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι το σημείο $A$ , που αντιστοιχεί στον αριθμό $2$ , βρίσκεται πιο αριστερά από το σημείο $B$ , που αντιστοιχεί στον αριθμό $4$ . Παρόμοια, το σημείο $\it\Gamma$ , που αντιστοιχεί στον αριθμό $-3$ βρίσκεται δεξιότερα από το σημείο $\it\Delta$ που αντιστοιχεί στον αριθμό $-6$ .

Απόλυτη σύγκριση αριθμών

Εντούτοις, υποθέτοντας ότι οι αριθμοί $-6$ και $-3$ παριστάνουν δύο θερμοκρασίες ενός τόπου, για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές, πότε θα λέγατε ότι το κρύο είναι περισσότερο; Προφανώς, για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, χρειάζεται μια «απόλυτη» σύγκριση, δηλαδή να απελευθερωθούν οι αριθμοί από το αρνητικό τους πρόσημο. Όσες φορές, λοιπόν, είναι απαραίτητο να καταφύγουμε στην απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ουσιαστικά, απαλλάσσουμε τον αριθμό από το αρνητικό του πρόσημο – όταν αυτό υφίσταται – διατηρώντας, ωστόσο, το «απόλυτο μέγεθος» του αριθμού. Για να συμβολίσουμε αυτή τη διεργασία, απλά, γράφουμε τον αριθμό μέσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές π.χ. $|-6|=6$ και $|-3|=3$ . Αν ο αριθμός, ήδη, είναι μη αρνητικός η δουλειά μας είναι σύντομη αφού, έτσι κι αλλιώς, απουσιάζει το αρνητικό πρόσημο. Επομένως, για παράδειγμα, $|2|=2$ και $|4|=4$ .

Η απόσταση δύο αριθμών ως απόλυτη τιμή της διαφοράς τους

Η απόσταση $\mathrm{d}(2,4)$ , των αριθμών $2$ και $4$ , ισούται με $2$ . Αντίστοιχα, η απόσταση $\mathrm{d}(-5,4)$ , των αριθμών $-5$ και $4$ , ισούται με $9$ , καθώς η απόσταση $\mathrm{d}(-6,2)$ , του $-6$ από το $2$ , ισούται με το $8$ . Σε κάθε περίπτωση, η απόσταση δύο διαφορετικών αριθμών είναι η διαφορά του μικρότερου αριθμού από τον μεγαλύτερο αριθμό. Φυσικά, όταν οι αριθμοί είναι ίσοι, τότε, προφανώς η απόστασή τους μηδενίζεται. Σε συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα, μπορεί, πάντοτε, να διαπιστωθεί η διάταξη δύο αριθμών. Όμως, όταν, γενικότερα, η διάταξη των μεταβλητών, $\alpha$ και $\beta$ , δεν είναι δεδομένη, τότε, η έννοια της απόλυτης τιμής θα μπορούσε να λειτουργήσει, ως προστατευτικός μανδύας, διασφαλίζοντας ότι, στον τύπο $|\alpha-\beta|$ , το τελικό πρόσημο είναι μη αρνητικό.

Συνεπώς, $\mathrm{d}(\alpha,\beta)=|\alpha-\beta|$ .

Ανισώσεις με απόλυτες τιμές με τη βοήθεια της απόστασης αριθμών

Ο σύνδεσμος “και”

Κάποιες βασικές ανισώσεις, με απόλυτες τιμές, επιλύονται με τη βοήθεια της έννοιας της απόστασης αριθμών. Για παράδειγμα, η ανίσωση $|x|<3$ , γράφεται, ισοδύναμα, $\mathrm{d}(x,0)<3$ . Έτσι, αρκεί να βρεθούν οι αριθμοί που απέχουν από το $0$ απόσταση μικρότερη από $3$ . Είναι φανερό ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι τα $x$ που ικανοποιούν τη (διπλή) ανισότητα, $-3<x<3$ . Στην τελευταία σχέση για το (ίδιο) $x$ απαιτείται ταυτόχρονα να ισχύει $x<3$ και $x>-3$ . Στη “γλώσσα” των συνόλων αυτή τη σύζευξη επιτυγχάνει η πράξη της τομής ( $\cap$ ) τους. Θα μπορούσαμε, κάλλιστα, να γράψουμε $x\in \left( -\infty ,3\right] \cap \left[ -3,+\infty \right)$ . (Το σύμβολο $\infty$ παριστάνει το άπειρο.)

Όμοια, η ανίσωση $|x-2|<5$ , ισοδύναμα, γράφεται $\mathrm{d}(x,2)<5$ . Αυτό σημαίνει ότι οι ζητούμενοι αριθμοί απέχουν από το $2$ απόσταση μικρότερη του $5$ . Άρα, θα βρίσκονται σ’ ένα διάστημα με κέντρο το $2$ και ακτίνα το $5$ . Δηλαδή, $2-5<x<2+5$ , συνεπώς, $-3<x<7$ . Πολλές φορές, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $x\in \left(-3,7\right)$ για να δηλωθεί ότι οι λύσεις της $|x-2|<5$ , ανήκουν στο ανοικτό διάστημα $\left(-3,7\right)$ . Με $\left(-3,7\right)$ παριστάνεται το σύνολο όλων των αριθμών που βρίσκονται ανάμεσα στο $-3$ και το $7$ χωρίς να συμπεριλαμβάνονται το $-3$ και το $7$ .

Αντίστοιχα, η ανίσωση $|x-2|\leq5$ , ισοδύναμα, γράφεται $\mathrm{d}(x,2)\le5$ . Επομένως, οι ζητούμενοι αριθμοί απέχουν από το $2$ απόσταση μικρότερη ή ίση του $5$ . Από το τελευταίο, έπεται ότι θα βρίσκονται σ’ ένα διάστημα με κέντρο το $2$ και ακτίνα το $5$ . Άρα, $2-5\leq x \leq 2+5$ , συνεπώς, $-3\leq x \leq 7$ , οπότε $x\in \left[ -3,7\right]$ . Με $\left[ -3,7\right]$ παριστάνεται το σύνολο όλων των αριθμών που βρίσκονται ανάμεσα στο $-3$ και το $7$ συμπεριλαμβάνοντας το $-3$ και το $7$ . (Κλειστό διάστημα.)

Ο σύνδεσμος “ή”

Τέλος, η ανίσωση $|x-3|\ge 4$ , ισοδύναμα, γράφεται, $\mathrm{d}(x,3)\geq4$ . Στην περίπτωση αυτή, οι ζητούμενοι αριθμοί, $x$ , απέχουν από το $3$ απόσταση μεγαλύτερη ή ίση του $4$ . Άρα, θα βρίσκονται έξω από το διάστημα με κέντρο το $3$ και ακτίνα το $4$ . Δηλαδή, $x\ge 3+4$ ή $x\le3-4$ . Οπότε, $x\ge 7$ ή $x\le-1$ . Έχει σημασία η σωστή επιλογή του συνδέσμου “ή” κατά την αναπαράσταση των λύσεων μιας τέτοιας ανίσωσης. Ορισμένοι μαθητές χρησιμοποιούν, εδώ, λανθασμένα τον σύνδεσμο “και” για να συμπεριλάβουν (“ενώσουν”) τις δύο δυνατότητες λύσεων. Ωστόσο, η πρόταση $x\geq7$ και $x\leq-1$ σημαίνει ότι το (ίδιο) $x$ είναι από τη μία πλευρά μεγαλύτερο ή ίσο του $7$ καθώς από την άλλη πλευρά είναι μικρότερο ή ίσο του $-1$ . Κάτι τέτοιο προφανώς δε μπορεί να συμβαίνει. Αντίθετα το διαζευκτικό “ή” αποδίδει επακριβώς αυτή την εναλλαγή των δύο δυνατοτήτων των λύσεων της $|x-3|\geq4$ . Στη “γλώσσα” των συνόλων αυτή τη διεργασία επιτυγχάνει η πράξη της ένωσής ( $\cup$ ) τους.

Γράφουμε, λοιπόν, $x\in \left( -\infty ,-1\right] \cup \left[ 7,+\infty \right)$ .

Διαδραστικές Ασκήσεις

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τις γνώσεις σας πάνω στην έννοια της απόλυτης τιμής και στη σύνδεσή της με την έννοια της απόστασης; Η παρακάτω δοκιμασία αποτελείται από ορισμένες διαδραστικές ασκήσεις κλειστού τύπου. Μπορείτε να υποβάλλετε τις απαντήσεις σας, αφού διαβάσετε προσεχτικά τις εκφωνήσεις, όσες φορές επιθυμείτε. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα να αναθεωρήσετε τις απαντήσεις σας. Μάλιστα, παρέχεται και η αντίστοιχη ανατροφοδότηση μέσω υποδείξεων αλλά και μέσω κατάλληλων σχολίων κατά την καταχώρηση της απάντησή σας.

Να μη βιαστείτε να απαντήσετε …

Καλή επιτυχία!

Η διαδραστική εφαρμογή

Στην ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή μπορείτε να ασκηθείτε στην επίλυση ορισμένων ανισώσεων με απόλυτες τιμές όπως οι προηγούμενες. Η διαπραγμάτευσή τους μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:

Γεωμετρικά, με τη βοήθεια κατάλληλων δυναμικών διαστημάτων που χειρίζεται ο χρήστης.
Αλγεβρικά, με τη βοήθεια ενός εικονικού πληκτρολογίου που παρέχει η εφαρμογή.

Η εφαρμογή προσφέρει υποδείξεις καθώς ελέγχει τις απαντήσεις που καταχωρίζει ο χρήστης.

Καλή ενασχόληση!