Εισαγωγή
Ορισμένες αξιοσημείωτες ταυτότητες θα μπορούσαν να αναδυθούν μέσα από κατάλληλη γεωμετρική διερεύνηση. Για ένα θέμα που, συνήθως, η διαπραγμάτευσή του περιχαρακώνεται στα τείχη της Άλγεβρας, η ανάδειξη του γεωμετρικού του χαρακτήρα αποτελεί μια διδακτική πρόκληση. Η γεωμετρική ερμηνεία, πολλές φορές, ακολουθεί την αλγεβρική μελέτη. Έτσι, ο ρόλος της περιορίζεται στο να αναπαραστήσει εναλλακτικά αυτό που ήδη είχε ανακαλυφθεί αλγεβρικά. Αναφορικά με το τελευταίο θα μπορούσατε να δείτε το άρθρο τετράγωνο και κύβος αθροίσματος. Εδώ, όμως, θα επιχειρηθεί να υιοθετηθεί μια συνειδητή γεωμετρική πορεία, που θα καθορίσει τη διερεύνηση, με στόχο να αποκαλύψει ορισμένες αξιοσημείωτες ταυτότητες.
Η διαδραστική εφαρμογή
Πρώτα απ’ όλα ας ανακαλέσουμε ότι, στα Μαθηματικά, μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και ισχύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα.
Αλληλεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό,
μπορείτε να επεξεργαστείτε τις ακόλουθες δραστηριότητες και, γιατί όχι, να ανακαλύψετε, μέσα από τη διερεύνηση, τις δικές σας αξιοσημείωτες ταυτότητες .
Τετράγωνο “αθροίσματος”
Δραστηριότητα 1 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μικρότερο τετράγωνο το οποίο «περιέχει» το «άθροισμα» τους.
Τι άλλο «περιέχει» το συγκεκριμένο τετράγωνο εκτός από το «άθροισμα» των αρχικών τετραγώνων;
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;
Τετράγωνο “διαφοράς”
Δραστηριότητα 2 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί το μεγαλύτερο τετράγωνο το οποίο «περιέχεται» στη «διαφορά» τους.
Τι άλλο «περιέχει» η «διαφορά» των αρχικών τετραγώνων εκτός από το συγκεκριμένο τετράγωνο;
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;
Διαφορά τετραγώνων
Δραστηριότητα 3 Να τοποθετήσετε δύο τετράγωνα με τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε να σκιαγραφηθεί ένα σχήμα που παριστάνει τη «διαφορά» τους, το οποίο είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί σε ένα σχήμα με εμβαδόν που μπορεί να προσδιοριστεί.
Μπορείτε να εκφράσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας;
