Καρδιοειδής καμπύλη

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Πως περιγράφεται, αλγεβρικά, η καρδιοειδής καμπύλη; Μπορεί να απαντηθεί το προηγούμενο ερώτημα με γνώσεις Α΄ Λυκείου;  (Σε μεγαλύτερες τάξεις, θα μπορούσε να μελετηθεί, γενικότερα, το ζήτημα όπως εδώ.)

Από το Γυμνάσιο, έχει γίνει φανερό ότι, με τη βοήθεια κατάλληλων συστημάτων συντεταγμένων, διάφορα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια εξισώσεων. Για παράδειγμα, η εξίσωση y=\alpha x +\beta παριστάνει ευθεία, η εξίσωση y=\alpha x^2,\,\alpha\neq0 παριστάνει παραβολή, η εξίσωση y=\dfrac{\alpha}{x},\,\alpha,\,x\neq0 παριστάνει υπερβολή κ. ά..

Μετασχηματισμοί γραμμών

Ωστόσο, ίσως να μην έχει γίνει απόλυτα κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο ένα γεωμετρικό αντικείμενο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί σε κάποιο άλλο γεωμετρικό αντικείμενο. Ενδεικτικά:

  • Πως μια ευθεία μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια άλλη ευθεία, με διαφορετική κλίση;
  • Πως μια παραβολή μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια νέα παραβολή, περισσότερο ή λιγότερο κλειστή;
  • Πως ένας κύκλος μπορεί να μετασχηματιστεί σ’ έναν “πεπλατυσμένο” ή “επιμηκυμένο” κύκλο (έλλειψη);

Ή τολμώντας λίγο περισσότερο:

  • Πως μπορεί ένας κύκλος να μετασχηματιστεί σε μια “καρδιά”;

Ενδεχομένως, τα προηγούμενα ερωτήματα να συνδέονται και να είναι απλώς διαφορετικές πτυχές του ίδιου προβλήματος.

Αξίζει, λοιπόν, να προβληματιστεί κανείς πάνω στις αλλαγές που θα έπρεπε να συντελεστούν στους τύπους των αντίστοιχων εξισώσεων οι οποίες θα μπορούσαν να επιφέρουν αυτούς τους μετασχηματισμούς.

Ενδιαφέρον, βέβαια, παρουσιάζει και το αντίστροφο ερώτημα:

Τι αντίκτυπο, λόγου χάρη, θα είχε στη διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y=x, μια “παρέμβαση” στον προηγούμενο τύπο, θέτοντας όπου x το 2x;

Αλγεβρικά, προφανώς, θα είχαμε την εξίσωση y=2x, η οποία αναπαριστά μια νέα ευθεία. Ωστόσο, πως αυτό θα μπορούσε να ερμηνευτεί γεωμετρικά συσχετίζοντας τις δύο ευθείες; Φαίνεται, λοιπόν, ότι, σε μια τέτοια περίπτωση, ο άξονας των y “διαστέλλεται” συμπαρασύροντας τα σημεία της ευθείας y=x στις νέες θέσεις τους πάνω στην ευθεία y=2x. Τρόπον τινά, αλλάζει η κλίμακα των αξόνων και η αλλαγή αυτή κατευθύνεται από την αναλογία 1:2.

Η διαδραστική εφαρμογή

Απώτερος στόχος της διαδραστικής εφαρμογής, που ακολουθεί, είναι να σας βοηθήσει στην εύρεση της εξίσωσης μιας καμπύλης που το σχήμα της μοιάζει με το σχήμα της καρδιάς.  Θα διερευνηθεί, δηλαδή, η καρδιοειδής καμπύλη. Τουλάχιστον, ένας συγκεκριμένος τύπος της. Όπως θα δείτε, θα μπορούσε να ανακύψει “τροποποιώντας”, κατάλληλα, έναν “εύπλαστο” κύκλο. Έτσι, αναδεικνύεται, συγχρόνως, η αντίστοιχη εξίσωση του καρδιοειδούς. Βέβαια, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η γνώση της εξίσωσης του συγκεκριμένου κύκλου. Επειδή πρόκειται για τον κύκλο (O,\rho), με κέντρο την αρχή O του συστήματος συντεταγμένων, αποδεικνύεται, εύκολα, ότι η εξίσωσή του είναι x^2+y^2=\rho^2. (Με χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, προκύπτει ότι ο τύπος που υπολογίζει την απόσταση ενός σημείου M(x,y) του επιπέδου, από την αρχή O, είναι (OM)=\sqrt{x^2+y^2}. Από τον ορισμό του κύκλου, αυτή παραμένει σταθερή ίση με την ακτίνα του, \rho. Επομένως, x^2+y^2=\rho^2.)

Όμως, προτού φτάσετε στο σημείο να αναζητήσετε την εξίσωση του καρδιοειδούς, θα έχετε τη δυνατότητα να εξασκηθείτε πάνω στην κεντρική ιδέα της μεθόδου. Θα διαπραγματευτείτε, αρχικά, απλούστερους μετασχηματισμούς, για ορισμένες βασικές γραμμές, με αφετηρία την ευθεία. Σκοπός είναι να καταστρώσετε το ευρύτερο πλάνο, σταδιακά, κατανοώντας το ύφος των επιμέρους ερωτημάτων.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.