Δευτεροβάθμια εξίσωση: "Κάντο όπως ο ... αλ - Κβαρίσμι"

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Το 800 μ.Χ., περίπου, ο Άραβας μαθηματικός αλ – Κβαρίσμι, υποδεικνύει τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί, γενικά, μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση. Ο αλ- Κβαρίσμι συνέθεσε διάφορες τεχνικές, που ήταν γνωστές στους προγενέστερους, για την επίλυση συγκεκριμένων μορφών αυτών των εξισώσεων.

Η δική του μέθοδος είναι, ουσιαστικά, γεωμετρική. Πρόκειται για τη “συμπλήρωση τετραγώνου”, η οποία ήταν γνωστή στους λαούς της αρχαιότητας. Οι Ινδοί, το 800 με 600 π.Χ., περίπου, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο στον “τετραγωνισμό” του ορθογωνίου, οι Βαβυλώνιοι, το 400 π.Χ., περίπου, σε προβλήματα, τα οποία, με μεταγενέστερη ορολογία, οδηγούν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αλλά κι οι Έλληνες, με τον Ευκλείδη το 300 π.Χ., περίπου, για την κατασκευή τμημάτων, τα μήκη των οποίων, αργότερα, θα μπορούσαν να θεωρηθούν λύσεις τέτοιων εξισώσεων.

Συνοπτική πραγματεία στις λογιστικές μεθόδους συμπλήρωσης και αντιπαράθεσης

Ο αλ – Κβαρίσμι, στο βιβλίο του “Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala”, ανέπτυξε την προηγούμενη μέθοδο για να επιλύσει πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αυτές αποτελούσαν αντιπροσώπους πέντε πιο γενικών μορφών. Η απουσία του $0$ και των αρνητικών αριθμών καθιστούσε αδύνατη την ενοποίησή τους σε έναν ενιαίο τύπο.

Για παράδειγμα, ενώ, σήμερα, οι εξισώσεις,

$x^2+10x=39$

και

$x^2+21=10x,$

εντάσσονται στον ενιαίο τύπο,

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,$

εκείνη την εποχή, αναγκαστικά, ανήκαν σε δύο διαφορετικούς τύπους δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Παρεμπιπτόντως, η ονομασία “Άλγεβρα” προέρχεται από τον αραβικό όρο “al-ğabr” στον τίτλο του βιβλίου. Οι όροι “al-ğabr” και “al-muqābala”, που αποδίδονται στα ελληνικά ως “συμπλήρωση” και “αντιπαράθεση”, χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν, σ’ ένα πρωτογενές στάδιο, τη διαδικασία της αναγωγής όμοιων όρων.

“Συνοπτική πραγματεία στις λογιστικές μεθόδους συμπλήρωσης και αντιπαράθεσης”, λοιπόν, είναι, σε ελεύθερη απόδοση, ο τίτλος αυτού που για πολλούς θεωρείται ως το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας στην Ιστορία των Μαθηματικών.

Η εργασία του αλ – Κβαρίσμι προανήγγειλε τη γέννηση των τύπων που δίνουν τις ρίζες, για μια δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.

Η συμπλήρωση τετραγώνου

Η εξίσωση,

$x^2+10x=39$

είναι μία από τις πέντε διαφορετικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις που επιλύονται στο βιβλίο.

Η μέθοδος επίλυσης, που ακολούθησε ο ίδιος ο αλ – Κβαρίσμι, σκιαγραφείται ελαφρώς παραλλαγμένη στη συνέχεια. Βασίζεται στη “συμπλήρωση” του ακόλουθου σχήματος.

Τα ερωτήματα που ακολουθούν προετοιμάζουν το έδαφος για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου.

Τι είδους χωρία απαρτίζουν το παραπάνω σχήμα;
Tι παριστάνει το συνολικό εμβαδόν του σε σχέση με την εξίσωση;
Σε τι θα μπορούσε να «συμπληρωθεί»;
Ποιο θα είναι το νέο του εμβαδόν βάσει της εξίσωσης;
Ποια είναι, τελικά, η τιμή του $x$ ;

Εύκολα, γίνεται αντιληπτό ότι το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια, που αποτελούν το παραπάνω σχήμα, έχουν συνολικό εμβαδό,

$x^2+10x,$

δηλαδή, ίσο με την παράσταση του α΄ μέλους της εξίσωσης.

Επομένως, η θετική τιμή, αν υπάρχει, του αγνώστου $x$ της εξίσωσης, μπορεί να αναζητηθεί με βάση τη συνθήκη το συνολικό εμβαδό του σχήματος να είναι $39$ .

Ισοδύναμα, από τη συνθήκη το εμβαδό του τετραγώνου $AEHI$ ,

που προκύπτει, μετά τη «συμπλήρωση», να είναι, 39+25=64.

(Το $25$ εκφράζει το εμβαδό του τετραγώνου ${\it\Gamma}ZH{\it\Theta}$ που προστέθηκε στο αρχικό σχήμα.)

Μ’ άλλα λόγια, η πλευρά $x+5$ του τετραγώνου $AEHI$ πρέπει και αρκεί να ισούται με $8$ .

Άρα, τελικά, η λύση της εξίσωσης είναι $x=3$ .

Φυσικά, όπως προαναφέρθηκε, η αναζήτηση του αγνώστου περιορίστηκε στους θετικούς αριθμούς μιας και οι αρνητικοί αριθμοί δεν είχαν γίνει, καθολικά, αποδεκτοί την εποχή του αλ – Κβαρίσμι.

Η διαδραστική εφαρμογή

Μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση θα μπορούσε να επιλυθεί με τρόπο όμοιο μ’ αυτόν που περιγράφηκε προηγουμένως. Μάλιστα, η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να άρει τον περιορισμό των θετικών τιμών κατά την αναζήτηση των ριζών της εξίσωσης.

Αλληλοεπιδρώντας με το ακόλουθο γραφικό, μπορείτε να δοκιμάσετε να βρείτε τις ρίζες διάφορων τέτοιων εξισώσεων, γεωμετρικά, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους γνωστούς τύπους.