Διαδραστικό παιχνίδι για την έλλειψη ως κωνική τομή

Εισαγωγή

Θα μπορούσε η έλλειψη, ως κωνική τομή, να διδαχθεί με αρωγό ένα διαδραστικό παιχνίδι σχετικό με την τροχιά που διαγράφει ένα τελεφερίκ;

Γενικά, η έλλειψη είναι μια καμπύλη που απαντάται συχνά στην καθημερινότητά μας:

• Το περίγραμμα της επιφάνειας (της άνω βάσης) του υγρού, σ’ ένα ελαφρώς γερμένο μισογεμάτο ποτήρι με νερό, όπως στην παρακάτω εικόνα.

• Το “επίμηκες περίγραμμα” ενός “τέλειου” αυγού.
• Η τροχιά που διαγράφουν τα πετάλια στο μηχάνημα του ελλειπτικού διαδρόμου σ’ ένα γυμναστήριο.

Επίσης, η έλλειψη περιγράφει τον κόσμο που μας περιβάλλει:

• Οι τροχιές των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος είναι ελλειπτικές.

Ακόμη, χαρακτηρίζεται από ιδιότητες που αξιοποιούνται:

• Στις αίθουσες ειδικής ακουστικής, όπως στον καθεδρικό ναό του Αγίου Παύλου, στο Λονδίνο. Η ελλειπτική κατασκευή της οροφής δίνει τη δυνατότητα π.χ. σε δύο άτομα, που βρίσκονται σε δύο συγκεκριμένα σημεία του ναού (εστίες της αντίστοιχης έλλειψης), να συνομιλούν ακούγοντας ο ένας τον ψίθυρο του άλλου. Το αξιοσημείωτο, ωστόσο, είναι ότι η συνομιλία τους δε μπορεί να γίνει αντιληπτή σε κανένα άλλο σημείο.
• Στην ιατρική και συγκεκριμένα στη λιθοθρυψία. Η επιτυχία της μεθόδου συνίσταται στη συγκέντρωση των υπέρηχων, που εκπέμπονται από την πηγή του ειδικού ιατρικού μηχανήματος, που τοποθετείται στη μία εστία της έλλειψης, προς την πέτρα του νεφρού του ασθενή. Αυτό συμβαίνει διότι ο ασθενής βρίσκεται σε μια θέση, έτσι, ώστε το νεφρό του να βρίσκεται στην άλλη εστία της έλλειψης.

Να παρατηρήσετε, στην παρακάτω εικόνα, το σχήμα μιας έλλειψης και την αντίστοιχη βασική ορολογία.

Η διαδραστική εφαρμογή (Το τελεφερίκ)

Πως θα μπορούσε να συσχετιστεί μια κωνική τομή, όπως η έλλειψη, με την τροχιά που ακολουθεί ένα εναέριο μεταφορικό μέσο; Ποια είναι τελικά η κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα που έχουν τα σημεία μιας έλλειψης; Γιατί η τροχιά του τελεφερίκ είναι ο ίδιος γεωμετρικός τόπος;

Στην παρακάτω διαδραστική εφαρμογή, απαιτείται το σχέδιο ενός τελεφερίκ, σε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις – επίπεδα δυσκολίας, να γίνει κατά τέτοιον τρόπο, έτσι, ώστε, να πραγματοποιείται, απρόσκοπτα, η διαδρομή του τελεφερίκ μεταξύ δύο βουνοκορφών.

Η αντιμετώπιση του προβλήματος, φαίνεται, τελικά να προϋποθέτει τη μελέτη μιας καμπύλης, ίσως, με χρήση αλγεβρικών μεθόδων. Πρόκειται, φυσικά, για την καμπύλη της έλλειψης, η οποία, με τη βοήθεια ενός κατάλληλου ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων, περιγράφεται από μία αντίστοιχη εξίσωση.

Θα έχετε τη δυνατότητα να ανακαλύψετε την εξίσωση για την έλλειψη, αξιοποιώντας την εξίσωση του κύκλου όπου, για τις ανάγκες της εφαρμογής, θα πρέπει να θεωρείται γνωστή. Άλλωστε, περιγραφικά, μια έλλειψη προσιδιάζει με έναν “επιμηκυμένο ή πεπλατυσμένο κύκλο”. Παρόμοια, στο πλαίσιο των ερωτημάτων της εφαρμογής, καλείστε να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης για την έλλειψη σε γνωστό της σημείο. Το τελευταίο μπορεί να επιτευχθεί, πάλι, επιστρατεύοντας τον κύκλο. Συγκεκριμένα, μπορεί να συνδράμει η εξίσωση της εφαπτομένης του.

Καλή ενασχόληση!