Διαδραστικό παιχνίδι για την παραβολή ως κωνική τομή

Μοιραστείτε το!

Σώστε τη φώκια!

(Ένας “μύθος” για μια παραβολή …)

Θα μπορούσε η παραβολή, ως κωνική τομή, να διδαχθεί με αρωγό το παρακάτω ευφάνταστο διαδραστικό παιχνίδι;

Μια ομάδα οικολόγων προσπαθεί να εντοπίσει ένα νεογέννητο από ένα σπάνιο είδος φώκιας. Η ομάδα έχει πληροφορηθεί ότι το νεογέννητο έχει βρει καταφύγιο σε μια σπηλιά, σε μια βραχώδη περιοχή, βόρεια ενός νησιού.
Το πλήρωμα του σκάφους, που θα αναλάβει την αποστολή, θα χρειαστεί τις μαθηματικές σας γνώσεις στα ερωτήματα που, διαδοχικά, θα κληθεί να απαντήσει.
Μπορείτε να βοηθήσετε;

Όταν είστε έτοιμοι, να κάνετε κλικ στην παρακάτω εικόνα!

Διαδραστικό παιχνίδι με θέμα την παραβολή ως κωνική τομή

Αναδρομή

Στα Μαθηματικά, είναι συνήθη τα προβλήματα που σχετίζονται με την εύρεση γραμμών των οποίων τα σημεία ισαπέχουν από δύο σταθερά μαθηματικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, στη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου, είχατε αποδείξει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από δύο σημεία $A$ και $B$ είναι η μεσοκάθετος $\varepsilon$ του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ . Επίσης, ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ είναι η μεσοπαράλληλος $\varepsilon$ των δύο ευθειών.

Στην παραπάνω διαδραστική εφαρμογή, θα σας ζητηθεί να επιχειρήσετε να εντοπίσετε τα στίγματα της διαδρομής ενός σκάφους. Το σκάφος κινείται έτσι, ώστε, κάθε σημείο της πορείας του να ισαπέχει από ένα σταθερό σημείο και μία σταθερή ευθεία. (Υποτίθεται ότι το σημείο παριστάνει τη σπηλιά στην οποία βρίσκεται η φώκια και η ευθεία την ακτή του νησιού.)

Η γραμμή της διαδρομής, που πληροί την προηγούμενη συνθήκη, τελικά, ίσως να μην είναι άγνωστη σ’ εσάς. Ενδεικτικά, στη Β΄ Γυμνασίου, στην ενότητα των συναρτήσεων, θα είχατε αφιερώσει κάποιο χρόνο στη μελέτη ορισμένων γραφικών παραστάσεων. Ιδιαίτερα των συναρτήσεων με τύπους της μορφής $y=\alpha x^2$ , με $\alpha\neq0$ . Η μελέτη αυτή, ενδεχομένως, να επεκτάθηκε τα επόμενα χρόνια και σε άλλες τάξεις καθώς και σε άλλα μαθήματα.

Θυμάστε τη μορφή και την ονομασία αυτών των γραφημάτων;

Η ανάλυση της εφαρμογής

Έτσι, λοιπόν, η καμπύλη με το “βιβλικό” όνομα, που είχε, επίσης, την τιμητική της εδώ κι εδώ, θα διερευνηθεί, πλέον, με βάση τη γεωμετρική της ιδιότητα. Αναμφίβολα, όταν εισαχθεί, κατάλληλα, ένα σύστημα συντεταγμένων, η ιδιότητα αυτή μπορεί να οδηγήσει στον αλγεβρικό της τύπο.

Έπειτα, η εφαρμογή θα επιχειρήσει να συνδυάσει την παραβολή που θα προκύψει με ένα ερώτημα που σχετίζεται με τον κύκλο και την εξίσωσή του. Επιπλέον, θα προσεγγίσει το ζήτημα της εύρεσης του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης σε γνωστό σημείο της παραβολής. Τέλος, επιστρατεύεται η έννοια του μέτρου ενός διανύσματος και διάφορες μέθοδοι από την παράγραφο του εσωτερικού γινομένου. Συνεπώς, πρόκειται για μία άσκηση με σύνθετο και επαναληπτικό χαρακτήρα. Βέβαια, δίνονται και αρκετές υποδείξεις -βοήθειες.

Όλα τα προηγούμενα, βέβαια, αξιοποιώντας τα διαδραστικά χαρακτηριστικά που το ελκυστικό περιβάλλον του προγράμματος Geogebra παρέχει.

Παρεμπιπτόντως, είναι μάλλον αναμενόμενο ότι διαφοροποίηση στην επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, ή, αλλιώς, στον προσανατολισμό της καμπύλης σε σχέση με το σύστημα, επιφέρει αλλαγές στην αντίστοιχη εξίσωση της καμπύλης. Ειδικά, στην παραβολή, $y=\alpha x^2$ , με άξονα συμμετρίας της τον άξονα $y'y$ , ενός συστήματος $Oxy$ , είναι βολικό, σε κάποιες περιπτώσεις, να μελετηθεί ως προς το σύστημα που προκύπτει περιστρέφοντας το προηγούμενο, αριστερόστροφα, κατά ορθή γωνία. Αλγεβρικά, αυτό θα σήμαινε ότι στη θέση του $x$ υπάρχει πλέον το $-y$ , ενώ στη θέση του $y$ το $x$ . Έτσι, η εξίσωση, $y=\alpha x^2$ , στο νέο σύστημα συντεταγμένων γίνεται $x=\alpha y^2$ . Η τελευταία είναι της μορφής $y^2=2px$ που προτιμάται ιδίως κατά τη μελέτη της παραβολής ως κωνικής τομής.