Διανύσματα - Πράξεις διανυσμάτων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Τα διανύσματα, οι βασικές έννοιες των διανυσμάτων, καθώς και οι οριζόμενες πράξεις στο χώρο των διανυσμάτων, αναδεικνύουν τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής.

Η έννοια του διανύσματος διαφοροποιεί τον χαρακτήρα της Γεωμετρίας καθώς σε γνώριμες έννοιες προσδίδονται νέα στοιχεία. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία των Α΄ και Β΄ τάξεων του Λυκείου, σ’ ένα ευθύγραμμο τμήμα, $AB$ , αποδίδονται:

ο φορέας / διεύθυνσή του, δηλαδή η ευθεία $AB$ πάνω στην οποία βρίσκεται.
το μήκος του, $(AB)$ , δηλαδή η απόσταση των άκρων του.

Ωστόσο, το τμήμα δε θεωρείται, πάντοτε, προσανατολισμένο. Πραγματικά, τις περισσότερες φορές, δε γίνεται καμία διάκριση μεταξύ των τμημάτων $AB$ και $BA$ .

Από την άλλη μεριά, στην Αναλυτική Γεωμετρία, ο προσανατολισμός, για ένα ευθύγραμμο τμήμα, είναι αυτό ακριβώς το στοιχείο στο οποίο το τμήμα οφείλει τη μετάβαση του στο χώρο των διανυσμάτων.

Στην παραπάνω εικόνα παριστάνεται το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ , το οποίο δεν έχει απλώς άκρα αλλά κάτι περισσότερο:

Έχει αρχή (το σημείο $A$ ) και πέρας / τέλος (το σημείο $B$ ).

Έτσι, στο ευθύγραμμο τμήμα $AB$ έχει καθοριστεί ο προσανατολισμός που υποδεικνύεται από το αντίστοιχο βέλος. Δηλαδή, το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ είναι διαφορετικό από το διάνυσμα $\overrightarrow{BA}$ λόγω του διαφορετικού προσανατολισμού του. Προφανώς, το διάνυσμα $\overrightarrow{BA}$ παριστάνεται με ένα αντίστοιχο βέλος, όπως αυτό της προηγούμενης εικόνας, που κατευθύνεται από το $B$ προς το $A$ .

Μάλιστα, όπως θα γίνει φανερό παρακάτω, τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{BA}$ όχι μόνο είναι διαφορετικά αλλά, ειδικότερα, θεωρούνται αντίθετα. Από την άλλη μεριά, τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{BA}$ έχουν ίσα μέτρα, δηλαδή $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|$ . (Το σύμβολο $|\overrightarrow{KM}|$ , συνήθως, παριστάνει το μέτρο του διανύσματος, $\overrightarrow{KM}$ .)

Κατά τη διαπραγμάτευση των διανυσμάτων, σύντομα, έρχεται κανείς αντιμέτωπος με την ανάγκη ταξινόμησής τους σε ορισμένες βασικές κατηγορίες.

Παράλληλα – Ομόρροπα – Αντίρροπα Διανύσματα

Για μια πρώτη διάκριση των διανυσμάτων θα χρειαστεί η έννοια του φορέα διανύσματος, δηλαδή, η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα.Δύο διανύσματα, $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ , θεωρούνται παράλληλα, $\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ , στις παρακάτω δύο περιπτώσεις:

Όταν έχουν τους ίδιους φορείς.
Όταν έχουν παράλληλους φορείς.

Τα παράλληλα διανύσματα θεωρείται ότι έχουν την ίδια διεύθυνση και διακρίνονται σε δύο κατηγορίες:

Στα ομόρροπα διανύσματα.

Τα διανύσματα των παραπάνω δύο εικόνων θεωρούνται ομόρροπα, γεγονός που συμβολίζεται ως εξής: $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ .

Δύο ομόρροπα διανύσματα, εκτός από ίδια διεύθυνση, θεωρείται ότι έχουν και ίδιες φορές. Λέμε, τελικά, ότι τα ομόρροπα διανύσματα έχουν ίδια κατεύθυνση.

Στα αντίρροπα διανύσματα.

Τα διανύσματα των παραπάνω δύο εικόνων θεωρούνται αντίρροπα, γεγονός που συμβολίζεται ως εξής: $\overrightarrow{AB}\uparrow \downarrow\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ .

Δύο αντίρροπα διανύσματα, παρόλο που έχουν την ίδια διεύθυνση, θεωρείται ότι έχουν αντίθετες φορές. Λέμε, τελικά, ότι τα αντίρροπα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Ίσα διανύσματα – Αντίθετα διανύσματα

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, δύο τμήματα με ίσα μήκη θεωρούνται πάντοτε ίσα αφού με κατάλληλη μετατόπιση συμπίπτουν. Όμως, στην Αναλυτική Γεωμετρία, η ισότητα των αντίστοιχων διανυσμάτων προϋποθέτει, εκτός από την ισότητα των μηκών τους / μέτρων τους, τα διανύσματα να έχουν την ίδια διεύθυνση αλλά και την ίδια φορά.

Έτσι, γράφουμε $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ αν και μόνο αν $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}|$ και $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ .

(Η εμπέδωση της έννοιας της ισότητας μεταξύ δύο διανυσμάτων απαιτεί ένα εύλογο χρονικό διάστημα για την πλειοψηφία των μαθητών. Ίσως το παράδειγμα δύο σωμάτων που κινούνται με πανομοιότυπο τρόπο και η επαγόμενη σχέση για τα αντίστοιχα διανύσματα ταχύτητάς τους, κάθε χρονική στιγμή, να αποσαφηνίζει ορισμένα από τα κίνητρα του παραπάνω ορισμού.)

Από την άλλη πλευρά, τα διανύσματα, $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ της παρακάτω εικόνας,

θεωρούνται αντίθετα, $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{\it\Gamma\it\Delta}$ , διότι έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και ίσα μέτρα.

Τι παρατηρείτε για τα διανύσματα των ασκούμενων δυνάμεων, στο σχοινί της παρακάτω εικόνας, όσο καμιά ομάδα αδυνατεί να παρασύρει, προς τη μεριά της, την αντίπαλη ομάδα;

Πράξεις διανυσμάτων

Πρόσθεση Διανυσμάτων

Στη Φυσική, η συνισταμένη δύναμη, προκύπτει από την ανάγκη αντικατάστασης της δράσης διάφορων δυνάμεων, που ασκούνται σ’ ένα σώμα, από μία “ισάξια” δύναμη. Στα Μαθηματικά, εκφράζεται, γενικότερα, από το άθροισμα των επιμέρους διανυσμάτων – συνιστωσών της.

Δύο διανύσματα, λοιπόν, $\vec{u}$ και $\vec{v}$ , θα μπορούσαν να προστεθούν με τον κανόνα του παραλληλογράμμου:

Τα διανύσματα, $\vec{u}$ και $\vec{v}$ , μεταφέρονται, παράλληλα προς τον εαυτό τους, διατηρώντας μέτρα και φορές, έτσι, ώστε να αποκτήσουν κοινή αρχή.
Από το πέρας κάθε διανύσματος, θεωρείται ευθεία παράλληλη προς τον φορέα του άλλου διανύσματος.
Το διάνυσμα, $\vec{z}$ , με αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων, $\vec{u}$ και $\vec{v}$ , και πέρας το σημείο τομής των προηγούμενων ευθειών αποτελεί το ζητούμενο.

Εναλλακτικά, δύο διανύσματα, $\vec{u}$ και $\vec{v}$ , θα μπορούσαν να προστεθούν αφού καταστούν διαδοχικά:

Τα διανύσματα, $\vec{u}$ και $\vec{v}$ , μεταφέρονται, παράλληλα προς τον εαυτό τους, διατηρώντας μέτρα και φορές, έτσι, ώστε το πέρας του πρώτου προσθετέου, $\vec{u}$ , να ταυτιστεί με την αρχή του δεύτερου προσθετέου, $\vec{v}$ .
Το διάνυσμα, $\vec{z}$ , με αρχή την αρχή του πρώτου προσθετέου, $\vec{u}$ , και πέρας το πέρας του δεύτερου προσθετέου, $\vec{v}$ , αποτελεί το ζητούμενο.

Αφαίρεση Διανυσμάτων

Σ’ ένα σώμα μάζας, $m$ , ασκείται δύναμη, $\vec{F_{1}}$ , που παριστάνεται από το διάνυσμα $\vec\beta$ , όπως στην παρακάτω εικόνα.Ποια είναι η δύναμη που θα έπρεπε να ασκηθεί στο παραπάνω σώμα έτσι, ώστε η συνισταμένη δύναμη, $\Sigma\vec{F}$ να είναι το εικονιζόμενο διάνυσμα, $\vec\alpha$ ;

Ερωτήματα όπως το προηγούμενο αναδεικνύουν την ανάγκη να οριστεί μια νέα πράξη. Προφανώς, από τη συνολική δύναμη, $\Sigma\vec{F}$ , πρέπει να αφαιρεθεί η γνωστή δύναμη $\vec{F_{1}}$ .

Έτσι, θα μπορούσε να αξιοποιηθεί το διάνυσμα, $\vec\gamma$ , το οποίο είναι διαδοχικό με το $\vec\beta$ και καταλήγει στο $\vec\alpha$ .

Στην παραπάνω εικόνα, είναι φανερό ότι, $\vec\alpha=\vec\beta+\vec\gamma$ . Το διάνυσμα $\vec\gamma$ λέγεται διαφορά του $\vec\beta$ από το $\vec\alpha$ . ( $\vec\gamma=\vec\alpha-\vec\beta$ .)

Γενικά, λοιπόν, για να υπολογιστεί η διαφορά δύο διανυσμάτων, όταν αυτά έχουν μεταφερθεί έτσι, ώστε να έχουν κοινή αρχή, αρκεί να σχηματιστεί το διάνυσμα, με άκρα τα πέρατα των δύο διανυσμάτων, που δείχνει προς τον μειωτέο.

Πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα

Άραγε, ποιο μέγεθος θα μπορούσε να εκφράσει τον τριπλασιασμό, $3\cdot\vec{F}$ , μιας δύναμης, $\vec{F}$ , που ασκείται σ’ ένα σώμα; Τι επίπτωση θα έχει αυτός ο τριπλασιασμός στο μέτρο, στη διεύθυνση και στη φορά της δύναμης; Προτού απαντηθεί το προηγούμενο ερώτημα, ας ληφθεί υπόψη ότι το επιθυμητό αποτέλεσμα είναι ο “τριπλασιασμός” του αντικτύπου της αρχικής δύναμης που ασκείται στο σώμα.

Ακόμη, πως θα μπορούσε να συμβολιστεί ο υποδιπλασιασμός της επιτάχυνσης ενός σώματος και η ταυτόχρονη αλλαγή της φοράς της καθώς η διεύθυνσή της παραμένει η ίδια;

Μάλλον γίνεται φανερό ότι θα εξυπηρετούσε ο ορισμός μιας νέας πράξης μεταξύ αριθμών και διανυσμάτων. Η νέα αυτή πράξη λέγεται βαθμωτό γινόμενο και ορίζεται ως εξής:

Έστω $\lambda\in\bb{R}$ και έστω $\vec\alpha$ διάνυσμα. Ως γινόμενο, $\lambda\cdot\vec\alpha$ , του πραγματικού αριθμού $\lambda$ επί το διάνυσμα $\vec\alpha$ καλείται ένα διάνυσμα το οποίο:

Αν $\lambda>0$ , είναι ομόρροπο με το $\vec{\alpha}$ κι έχει μέτρο, $\lambda\cdot |\vec{\alpha}|$ .
Αν $\lambda<0$ , είναι αντίρροπο με το $\vec{\alpha}$ κι έχει μέτρο, $-\lambda\cdot |\vec{\alpha}|$ .
Αν $\lambda=0$ είναι το μηδενικό, $\vec{0}$ , διάνυσμα.

Για παράδειγμα, για τα διανύσματα της παρακάτω εικόνας,

ισχύουν $\vec{\beta}=2\cdot\vec{\alpha}$ , $\vec{\gamma}=-3\cdot\vec{\alpha}$ και $\vec{\gamma}=-\frac{2}{3}\cdot\vec{\beta}$ .

(Το βαθμωτό γινόμενο, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα, με αποτέλεσμα διάνυσμα, δε θα πρέπει να συγχέεται με ένα διαφορετικό γινόμενο διανυσμάτων, το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, με αποτέλεσμα αριθμό.)

Η διαδραστική εφαρμογή για τα διανύσματα και τις πράξεις διανυσμάτων

Στην παρακάτω διαδραστική εφαρμογή, επιστρατεύεται το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος Geogebra. Τα διανύσματα της εφαρμογής, με τα οποία οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να αλληλοεπιδράσουν, μπορούν να μετατοπιστούν παράλληλα προς τον εαυτό τους. Έτσι, θα μπορούσαν να αποκτήσουν κοινή αρχή ή να γίνουν διαδοχικά, χωρίς ουσιαστικά να μεταβληθούν κατά μέτρο, διεύθυνση ή φορά. Στις ασκήσεις της εφαρμογής, ζητούνται να βρεθούν το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων. Επίσης, ζητείται και το γινόμενο ενός αριθμού επί ένα διάνυσμα. Τέλος, πιο γενικά ελέγχεται η εύρεση του γραμμικού συνδυασμού δύο ή και τριών διανυσμάτων. Ας σημειωθεί ότι παρέχεται ελευθερία στο χρήστη ως προς την επιλογή των διανυσμάτων αλλά και τον συντελεστών του γραμμικού συνδυασμού.

Καλή ενασχόληση!

Διαδραστικές ασκήσεις στο άθροισμα και στη διαφορά διανυσμάτων

Με τις ακόλουθες ασκήσεις θα μπορούσατε να ελέγξετε τις γνώσεις σας πάνω στο άθροισμα και στη διαφορά διανυσμάτων.

Φόρμα ερωτήσεων στο γινόμενο αριθμού επί διάνυσμα

Να επιχειρήσετε να απαντήσετε στις ερωτήσεις της ακόλουθης φόρμας. Η φόρμα παρέχει τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεών σας. Επίσης, ο έλεγχος συνοδεύεται και από ένα σύντομο σχολιασμό για την εμπέδωση της σωστής απάντησης. Καλή επιτυχία!

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Διανύσματα – Πράξεις διανυσμάτων

Εισαγωγή

Παράλληλα – Ομόρροπα – Αντίρροπα Διανύσματα

Ίσα διανύσματα – Αντίθετα διανύσματα