Η έννοια της συνάρτησης στην Α΄ Λυκείου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης και παρούσα σε πολλές πτυχές της καθημερινότητάς μας. Στο Γυμνάσιο, για πρώτη φορά, η έννοια της συνάρτησης ψηλαφίζεται στη Β΄τάξη μέσα από απτά παραδείγματα. Στο Λύκειο, σταδιακά, θα ενσωματώνονται στις συναρτήσεις νέα χαρακτηριστικά διευρύνοντας το πεδίο εφαρμογής τους.

Συχνά, αντιλαμβανόμαστε ότι η μεταβολή ενός μεγέθους συνοδεύεται από μεταβολή σε ένα άλλο μέγεθος. Με άλλα λόγια, παρατηρούμε σχέσεις εξάρτησης ανάμεσα σε διάφορα μεγέθη. Μάλιστα, σε αρκετές περιπτώσεις, οι τιμές του πρώτου μεγέθους καθορίζουν, μονοσήμαντα, τις τιμές του δεύτερου μεγέθους.

Μπορείτε, στα ακόλουθα παραδείγματα, να εντοπίσετε τα συναρτώμενα μεγέθη;

Το κόστος αγοράς των ψαριών, στα ψαράδικα, είναι ανάλογο του βάρους τους.
Ο μηνιαίος μισθός μιας πωλήτριας, σ’ ένα μαγαζί με παπούτσια, εξαρτάται από τις πωλήσεις παπουτσιών που πραγματοποίησε.
Σε κάθε όχημα, η απόσταση φρεναρίσματος, έχει σχέση με την κατάσταση των ελαστικών.
Η πρόοδος ενός μαθητή είναι αποτέλεσμα της προσπάθειάς του.

Φυσικά, η αποσαφήνιση της σχέσης εξάρτησης, μεταξύ δύο μεγεθών, δεν είναι, πάντοτε, απλή υπόθεση. Η αποτύπωση αυτής της σχέσης εξάρτησης, όταν επιτυγχάνεται, μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Κάποιες φορές, μια συνάρτηση αποκωδικοποιείται με τη βοήθεια ενός μαθηματικού τύπου, του τύπου της συνάρτησης.
Άλλες φορές παριστάνεται με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών των μεγεθών.
Τέλος, ένας γλαφυρός τρόπος περιγραφής μιας συνάρτησης, υλοποιείται με τη βοήθεια ενός γραφήματος, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Βέβαια, γενικά, στις παραπάνω περιπτώσεις, προϋπόθεση είναι η συνάρτηση να συνδέει αριθμητικά μεγέθη.

Διαφορετικοί τρόποι παρουσίασης μιας συνάρτησης

Θα επιχειρήσουμε, μελετώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, να προσεγγίσουμε όλες τις δυνατές επιλογές για να εκφράσουμε μια συνάρτηση. Τελικά, όπως θα γίνει φανερό, σε κάθε περίπτωση, μια συνάρτηση διαπνέεται από μια διαδικασία αντιστοίχισης.

Το παράδειγμα αφορά στην ημερήσια αμοιβή (ημερομίσθιο) ενός εργαζόμενου.

Ένας υπάλληλος πληρώνεται με $7$ ευρώ την ώρα. Έτσι, το ημερομίσθιό του είναι συνάρτηση των ωρών εργασίας του.

Πίνακας τιμών

Ενδεικτικά, θα κατασκευάσουμε έναν πίνακα τιμών για την προηγούμενη συνάρτηση του ημερομισθίου ως προς τις ώρες εργασίας.

Ώρες εργασίας	Αμοιβή σε ευρώ
$1$	$7$
$2$	$14$
$5$	$35$
$10$	$70$

Έτσι, με τον προηγούμενο πίνακα, φωτίζεται άλλη μια όψη μιας τέτοιας σχέσης εξάρτησης διότι αποκαλύπτεται η αντιστοιχία που επιτελεί.

Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση “ημερομίσθιο”, για τον εργαζόμενο, αντιστοιχεί, στις ώρες εργασίας του την αμοιβή που δικαιούται.

Μάλιστα, αυτή η αντιστοιχία υλοποιείται πολλαπλασιάζοντας, για κάθε σειρά του πίνακα, το στοιχείο της πρώτης στήλης του επί τον αριθμό $7$ , που εκφράζει την ωριαία αμοιβή, έτσι, ώστε να προκύψει το στοιχείο της δεύτερης στήλης της σειράς αυτής.

Άραγε, η διαδικασία αυτή θα μπορούσε να αποδοθεί με τη βοήθεια κατάλληλης ισότητας;

Μαθηματικός τύπος συνάρτησης

Δηλώνοντας με $x$ τις ώρες εργασίας και με $y$ την αμοιβή, για τις $x$ ώρες εργασίας, προκύπτει ότι, $y=7\cdot x$ . Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση “ημερομίσθιο”, για τον εργαζόμενο, αντιστοιχεί, σε κάθε δυνατή τιμή για τις ώρες, $x$ , εργασίας του, την αμοιβή, $y$ , που δικαιούται.

Θα συμφωνείτε ότι, για το ίδιο $x$ , δεν είναι δυνατό να αντιστοιχούν δύο ή περισσότερα διαφορετικά $y$ . Για παράδειγμα, για $x=3$ ώρες εργασίας, για το αντίστοιχο ημερομίσθιο, $y$ , της παραπάνω συνάρτησης, υπάρχει μόνο μία δυνατότητα : $y=21$ ευρώ.

Απεικόνιση συνάρτησης

Μια συνάρτηση, όπως η συνάρτηση “ημερομίσθιο”, με τύπο $y=7\cdot x$ , θα μπορούσε να απεικονιστεί με τη βοήθεια ενός κατάλληλου γραφήματος. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα για ένα εποπτικό τρόπο μελέτης της συνάρτησης.

Στην παρακάτω εικόνα έχουν σημειωθεί ορισμένα ζεύγη τιμών, για τη συνάρτηση “ημερομίσθιο”, με βάση τον παραπάνω πίνακα τιμών. Βέβαια, είναι απαραίτητο να ανακαλέσουμε ορισμένες προ απαιτούμενες γνώσεις πάνω στα συστήματα συντεταγμένων και στις συντεταγμένες σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων. Επειδή, λοιπόν, απαιτείται κάποια προεργασία η γραφική παράσταση συνάρτησης αναπτύσσεται, με περισσότερες λεπτομέρειες, αυτούσια, εδώ.

Ωστόσο, για μια πρώτη επαφή, μήπως θα μπορούσατε να βρείτε τα ζεύγη που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες κουκίδες γαλάζιου χρώματος;

Συμβολισμοί

Ίσως να διαπιστώσατε ότι, ανεξάρτητα από το πως θα αναπαρασταθεί μια συνάρτηση, το κυρίαρχο χαρακτηριστικό της παραμένει αναλλοίωτο. Η κρίσιμη διάσταση των συναρτήσεων να προσδιορίζουν ακριβώς ένα $y$ στο σχετικό $x$ αποδίδεται, πιστά, με τη βοήθεια ενός ειδικού συμβολισμού.

Πρώτα απ’ όλα, ας αναφέρουμε ότι, συνήθως, επιλέγουμε το γράμμα $f$ για να αναφερθούμε σε μια συνάρτηση. Φυσικά, μπορούν να χρησιμοποιούνται και άλλα γράμματα, συνήθως, από το αγγλικό αλφάβητο (π.χ. $g,h,p,q,r,s$ ) για τον ίδιο λόγο. Ωστόσο, το $f$ είναι το πιο διαδεδομένο σύμβολο των συναρτήσεων διότι είναι το πρώτο γράμμα του λατινικού όρου “functiō” που σημαίνει εκτέλεση, λειτουργία.

Επίσης, να έχετε κατά μου να μη συγχέετε την ίδια τη συνάρτηση, $f$ , που αποτελεί τη διαδικασία αντιστοίχισης, όπως π.χ. η συνάρτηση “ημερομίσθιο”, για κάποιον εργαζόμενο, με τις διάφορες τιμές των μεγεθών που συσχετίζει, όπως π.χ. οι ώρες εργασίας, $x$ , καθώς και η αμοιβή $y$ , για τις ώρες αυτές, στη συνάρτηση “ημερομίσθιο”. Φυσικά, υπάρχει μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ τους. Ένας τρόπος να συμβολίσουμε την αντιστοιχία του $x$ στο $y$ , μέσω της $f$ , είναι με χρήση ενός βέλους,

$x\overset{f}{\mathop{\to }}\,y.$

Εναλλακτικά, για να εκφράσουμε αυτόν τον σαφή μονοσήμαντο καθορισμό του $y$ , από το εκάστοτε $x$ , στο πλαίσιο της συνάρτησης $f$ , γράφουμε,

$y=f(x).$

Η τελευταία ισότητα διαβάζεται “ $y$ ίσον $f$ του $x$ “. Έτσι, στο παράδειγμα με τη συνάρτηση του ημερομισθίου, αν η ωριαία αμοιβή είναι $7$ ευρώ, θα είναι, $y=7\cdot x$ ή $f(x)=7\cdot x$ .

Τέλος, η παρακάτω εικόνα επιχειρεί, με γλαφυρό τρόπο, να περιγράψει την έννοια της συνάρτησης. Όπως βλέπετε, ο τρόπος λειτουργίας της συνάρτησης $f$ παριστάνεται με μια μηχανή με είσοδο και έξοδο.

Δηλαδή, στον “μηχανισμό”, $f$ , που εικονίζεται παραπάνω, “εισάγεται” κάποιο στοιχείο, $x$ , το οποίο η συνάρτηση το επεξεργάζεται, με βάση τον μηχανισμό της, καθώς “εξάγει” το αντίστοιχο στοιχείο $y$ .

Διαδραστικές ερωτήσεις (Έννοια συνάρτησης)

Θα καταφέρετε να απαντήσετε στις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις πάνω στην έννοια της συνάρτησης και στα πρώτα παραδείγματα συναρτήσεων;

Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις χάρη στην ανατροφοδότηση και στα σχόλια που παρέχονται.

Ορισμός συνάρτησης

Συνάρτηση, $f$ , από ένα σύνολο, $A$ , προς ένα σύνολο $B$ , $f:A\rightarrow B$ , λέγεται μια διαδικασία, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του συνόλου $A$ αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου $B$ .

Για μια συνάρτηση, $f$ , στην ισότητα $y=f(x)$ , η μεταβλητή $x$ λέγεται ανεξάρτητη και η μεταβλητή $y$ λέγεται εξαρτημένη διότι καθορίζεται από τη μεταβλητή $x$ . Το $y$ καλείται τιμή ή εικόνα της $f$ στο $x$ . Όταν οποιαδήποτε τιμή της συνάρτησης είναι πραγματικός αριθμός ( $x\in\mathbb{R}$ ) η συνάρτηση λέγεται πραγματική και όταν οποιαδήποτε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι πραγματικός αριθμός ( $y\in\mathbb{R}$ ) η συνάρτηση λέγεται πραγματικής μεταβλητής. (Με τέτοιες συναρτήσεις θα ασχοληθούμε, κυρίως, στα επόμενα.)

Γενικά, για τη συνάρτηση, $y=f(x)$ , το σύνολο, $A$ , που απαρτίζεται απ’ όλες τις δυνατές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, $x$ , λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Γράφουμε, $x\in A$ για να δηλώσουμε ότι το $x$ είναι στοιχείο του συνόλου $A$ .

Από την άλλη μεριά, το σύμβολο, $f(A)$ , παριστάνει το σύνολο που απαρτίζεται απ’ όλες τις δυνατές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής και λέγεται σύνολο τιμών της συνάρτησης. Προφανώς, $y\in f(A)$ .

Διαδραστικές ερωτήσεις (Ορισμός συνάρτησης)

Θα καταφέρετε να απαντήσετε στις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις πάνω στους βασικούς ορισμούς στην έννοια της συνάρτησης;

Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις χάρη στην ανατροφοδότηση και στα σχόλια που παρέχονται.

Πεδίο ορισμού συνάρτησης

Σε αρκετές περιπτώσεις, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θα δίνεται. Σε αντίθετη περίπτωση, το πρώτο μας μέλημα είναι η εύρεσή του. Έτσι, θα αναζητούμε, με δική μας πρωτοβουλία, όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής για τις οποίες η συνάρτηση είναι λειτουργική. Δηλαδή, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι εκείνο το σύνολο που συγκεντρώνει όλες τις τιμές του $x$ οι οποίες μπορούν, μέσω της συνάρτησης, να απεικονιστούν στο αντίστοιχο $y$ .

Πολυωνυμικές συναρτήσεις

Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο $f(x)=x+5$ ή $y=x+5$ αντιστοιχίζει, σε κάθε $x$ , το $y$ το οποίο προκύπτει από το $x$ με πρόσθεση του $5$ . Επειδή η προηγούμενη διαδικασία εκτελείται, χωρίς περιορισμό, για οποιοδήποτε $x$ , η συνάρτηση, $f$ , είναι, για όλα τα $x$ , λειτουργική. Ενδεικτικά, $f(3)=3+5=8$ και $f(-7)=-7+5=-2$ . Οπότε, το πεδίο ορισμού, $A$ , της $f$ αποτελείται από όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς – από θετικούς, από αρνητικούς, από το $0$ , από ακέραιους, από ρητούς, από άρρητους – . Άρα, $A=\mathbb{R}$ ή, πιο απλά, γράφουμε ότι $x\in \mathbb{R}$ .

Ρητές Συναρτήσεις

Ωστόσο, υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι πάντοτε λειτουργικές αλλά εμφανίζονται περιορισμοί για τις επιτρεπτές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής τους. Έτσι, για να ορίζονται, ορισμένα στοιχεία του $\mathbb{R}$ θα πρέπει να εξαιρεθούν από τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής τους.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\frac{1}{x}$ ή $y=\frac{1}{x}$ αντιστοιχίζει, σε κάθε $x$ , το $y$ το οποίο προκύπτει αντιστρέφοντας το $x$ . Αυτό, γενικά, είναι επιτρεπτό για κάθε (πραγματικό) αριθμό $x$ με εξαίρεση τον αριθμό, $0$ , ο οποίος δεν έχει αντίστροφο. Ενδεικτικά, $f(5)=\frac{1}{5}$ και $f(-4)=-\frac{1}{4}$ . Ωστόσο, η παράσταση $\frac{1}{0}$ δεν ορίζεται. Επομένως, το πεδίο ορισμού, $A$ , της $f$ αποτελείται από όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς εκτός από το $0$ . Άρα, $A=\mathbb{R}-{0}$ ή, πιο απλά, γράφουμε ότι πρέπει $x\neq 0$ . (Σε μεγαλύτερες τάξεις θα χρησιμοποιείται και το σύμβολο $\mathbb{R^{*}}$ αντί για το $\mathbb{R}-{0}$ .)

Ομοίως, η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\frac{x}{x-1}$ ή $y=\frac{x}{x-1}$ αντιστοιχίζει, σε κάθε $x$ , το $y$ το οποίο προκύπτει ως το αποτέλεσμα της παράστασης $\frac{x}{x-1}$ . Ενδεικτικά, $f(2)=\frac{2}{2-1}=\frac{2}{1}=2$ και $f(0)=\frac{0}{0-1}=\frac{0}{-1}=0$ . Άραγε, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή $f(1)$ , δηλαδή η παράσταση $\frac{x}{x-1}$ ορίζεται για $x=1$ ; Τι παρατηρείτε; Μάλλον, θα καταλήξατε στο συμπέρασμα ότι για να ορίζεται η $f$ θα πρέπει $x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1$ . Συνεπώς, για το πεδίο ορισμού, $A$ , της $f$ είναι, $A=\mathbb{R}-{1}$ ή σε μορφή διαστήματος $A=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ .

Συναρτήσεις με ριζικά

Άλλη μια κατηγορία συναρτήσεων στις οποίες υπεισέρχονται περιορισμοί στις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής τους είναι εκείνες στις οποίες εμφανίζεται ριζικό στον τύπο τους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\sqrt{x}$ ή $y=\sqrt{x}$ αντιστοιχίζει, σε κάθε $x$ , το $y$ το οποίο προκύπτει υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του $x$ . Ενδεικτικά, $f(4)=\sqrt{4}=2$ και $f(81)=\sqrt{81}=9$ . Προφανώς, η εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας δε μπορούσε να επιτελεστεί για αρνητικούς αριθμούς. Επομένως, το πεδίο ορισμού, $A$ , της $f$ αποτελείται από όλους τους (πραγματικούς) αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του $0$ . Άρα, $A=[0,+\infty)$ ή, πιο απλά, γράφουμε ότι πρέπει $x\geq 0$ .

Ομοίως, η συνάρτηση με τύπο $f(x)=\sqrt{x-1}$ ή $y=\sqrt{x-1}$ αντιστοιχίζει, σε κάθε $x$ , το $y$ το οποίο προκύπτει ως το αποτέλεσμα της παράστασης $\sqrt{x-1}$ . Ενδεικτικά, $f(2)=\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$ και $f(10)=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3$ . Γενικότερα, για να ορίζεται η $f$ , θα πρέπει $x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$ . Συνεπώς, για το πεδίο ορισμού, $A$ , της $f$ είναι, $A=[1,+\infty)$ .