Εισαγωγή
Η έννοια της συνάρτησης είναι μια βασική ιδέα που εμφανίζεται σε πολλές καταστάσεις της καθημερινής μας ζωής. Συχνά, βλέπουμε ότι όταν αλλάζει κάτι, προκαλεί αλλαγές και σε κάτι άλλο. Με απλά λόγια, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι πολλά πράγματα συνδέονται μεταξύ τους. Ενδεικτικά:
- Η ταχύτητα ενός ποδηλάτου εξαρτάται από τη δύναμη που εφαρμόζει ο ποδηλάτης στα πετάλια.
- Η ποσότητα νερού, που γεμίζει μια δεξαμενή, εξαρτάται από το χρόνο που αφήνουμε τη βρύση ανοιχτή.
- Το μήκος μιας σκιάς εξαρτάται από τη θέση του ήλιου στον ουρανό.
- Ο αριθμός των βιβλίων, που μπορεί να διαβάσει ένας μαθητής, σε ένα μήνα, εξαρτάται από τον ελεύθερο χρόνο που διαθέτει.
Στα Μαθηματικά, η συνάρτηση μας βοηθά να κατανοήσουμε πώς δύο μεγέθη σχετίζονται μεταξύ τους, δηλαδή πώς το ένα επηρεάζει το άλλο. Ενδεχομένως, κάποιες φορές να είναι δύσκολο να κατανοήσουμε πλήρως αυτή τη σχέση. Άλλωστε, ίσως να μην έχουμε κάποια απαραίτητα στοιχεία ή μετρήσεις. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, υπάρχουν διάφοροι τρόποι να εκφράσουμε τη συνάρτηση δύο μεγεθών. Έτσι, μια συνάρτηση εκφράζεται μέσω ενός πίνακα τιμών, με ένα γράφημα ή με έναν μαθηματικό τύπο. Καθένας από αυτούς τους τρόπους φανερώνει πώς αλλάζει το ένα μέγεθος σε σχέση με το άλλο.
Σε επόμενες τάξεις, θα εξετάσετε τις συναρτήσεις, πιο γενικά, ως διαδικασίες αντιστοίχισης.
Παραδείγματα συναρτήσεων
Συναρτήσεις που εκφράζονται από πίνακα τιμών
Παράδειγμα Α1
Ο μηνιαίος μισθός ενός υπαλλήλου καθορίζεται από κάποιο σταθερό μηνιάτικο στο οποίο προστίθεται ένα ποσοστό επί των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Ο ακόλουθος πίνακας παριστάνει τους μισθούς του υπαλλήλου τους τελευταίους πέντε μήνες με βάση τις πωλήσεις που πραγματοποίησε.
| Πωλήσεις σε € | Μισθός σε € |
| 1000 | 600 |
| 2000 | 700 |
| 2500 | 750 |
| 4000 | 900 |
| 6000 | 1100 |
Παράδειγμα Α2
Ο Δήμος Διρφύων – Μεσσαπίων πρόκειται να προσλάβει ορισμένους εργάτες για ένα έργο. Ο τελικός αριθμός των εργατών θα εξαρτηθεί από τις ημέρες που θα χρειαστούν να ολοκληρώσουν το έργο. Ο Δήμος απευθύνθηκε σε μία εταιρία στην Χαλκίδα, η οποία, στο πλαίσιο της προσφοράς της, έδωσε τις εξής πληροφορίες:
| Αριθμός εργατών |
Ημέρες εργασίας |
| 5 | 60 |
| 10 | 30 |
| 20 | 15 |
| 30 | 10 |
Θα μπορούσατε να βρείτε τις ημέρες εργασίας που θα χρειάζονταν 12 εργάτες;
Συναρτήσεις που εκφράζονται γραφικά
Παράδειγμα Β
Στο ακόλουθο γράφημα παριστάνεται η πρόγνωση για την ταχύτητα, σε μποφόρ, του ανέμου στην περιοχή της Χαλκίδας, κάποιες ημέρες του Ιανουαρίου 2014, από το meteo.gr.
Θα μπορούσατε να βρείτε πότε αναμένεται η ελάχιστη και πότε η μέγιστη τιμή του ανέμου, καθώς και τις αντίστοιχες τιμές; Ποιες είναι οι σταθερές, κατά διαστήματα, τιμές του ανέμου;
Συναρτήσεις που εκφράζονται από τύπο
Παράδειγμα Γ
Το διάστημα, 
, σε 
, που καλύπτει σε χρόνο 
, σε 
, ένα αυτοκίνητο, που κινείται με σταθερή ταχύτητα 
, δίνεται από τον τύπο 
. Θα μπορούσατε να κατασκευάσετε έναν πίνακα τιμών για ορισμένες ενδεικτικές τιμές του χρόνου ;
Η διαδραστική εφαρμογή
Μια σημαντική κατηγορία συναρτήσεων είναι αυτή που περιλαμβάνει τον τρόπο συσχέτισης δύο ποσών όπου είτε είναι ανάλογα είτε οι μεταβολές τους είναι ανάλογες.
- Από τη μία μεριά, στο Παράδειγμα Γ, στον τύπο , το διάστημα, , είναι ανάλογο του χρόνου, .
- Από την άλλη μεριά, στο Παράδειγμα Α1, ο μισθός του υπαλλήλου δεν είναι ανάλογος των πωλήσεων που πραγματοποίησε. Ωστόσο, η αύξηση του μισθού του υπαλλήλου είναι ανάλογη της αύξησης αυτών των πωλήσεων.
Είτε στην πρώτη είτε στη δεύτερη περίπτωση το γράφημά τους είναι ευθεία γραμμή. (Πρόκειται για τις επονομαζόμενες Γραμμικές Συναρτήσεις.)
Δεύτερη σημαντική κατηγορία συναρτήσεων είναι αυτή που περιλαμβάνει τον τρόπο συσχέτισης δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών.
- Στο Παράδειγμα Α2, ο αριθμός των εργατών είναι αντιστρόφως ανάλογος των ημερών εργασίας τους.
Πρόκειται για συναρτήσεις με γραφήματα που ονομάζονται Υπερβολές.
Το ακόλουθο διαδραστικό παιχνίδι Geogebra αναφέρεται σ΄ αυτές τις δύο κατηγορίες συναρτήσεων. Σκοπός του παιχνιδιού είναι να ταξινομήσετε τα διάφορα γραφήματα στους τύπους τους με βάση το χρώμα τους.
