Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων είναι, αναμφίβολα, μια έννοια με καταβολές από τη Φυσική. Στο μάθημα της Φυσικής, σε σχολικό επίπεδο, συνδέεται, κυρίως, με το μέγεθος της δύναμης σε συνδυασμό με τη μετατόπιση που προκαλεί σ’ ένα σώμα.

Θα μπορούσαν ο ορισμός, οι τύποι και οι ιδιότητες, για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, να διδαχθούν με άξονα τις αντίστοιχες αναφορές από αυτά τα φυσικά μεγέθη;

Βασικό πλαίσιο, για τα επόμενα, θα αποτελέσει η παρατήρηση ότι, κατά τη μελέτη διανυσματικών μεγεθών, αυτό που έχει σημασία, μεταξύ δύο διανυσμάτων, είναι η «επίδραση» του ενός, απαλλαγμένη από την κάθετη συνιστώσα του, πάνω στη διεύθυνση του άλλου, όταν η δεύτερη συνιστώσα του είναι παράλληλη προς αυτή τη διεύθυνση. Η ιδέα αυτή, μάλλον, εκπορεύεται από διάφορα φυσικά φαινόμενα.

Το κίνητρο

Αρχικά, να αναλογιστείτε ότι θα ήταν χρήσιμο να θεμελιωθεί ένα μέγεθος ικανό να περιγράψει π.χ. το ανεπιτυχές αποτέλεσμα να μετατοπιστεί ο τοίχος ενός κτιρίου, από έναν άνθρωπο, παρόλο που καταβάλλεται κάποια προσπάθεια με την άσκηση κατάλληλης δύναμης. Τι τιμή θα αποδίδατε σ’ αυτό το μέγεθος σε μια τέτοια περίπτωση;

Ας εξεταστεί, τώρα, η γενικότερη περίπτωση όπου μια δύναμη ασκείται σε κάποιο σώμα, καθώς αυτό μετατοπίζεται κατά μία διεύθυνση. Τότε, μοιάζει λογικό, η κάθετη συνιστώσα της δύναμης, στη διεύθυνση αυτή, να έχει μηδενική «συμμετοχή», κατά μία έννοια, στη μετατόπιση του σώματος όταν η δεύτερη συνιστώσα της είναι παράλληλη προς αυτή τη διεύθυνση. (Εδώ, η «συμμετοχή» της δύναμης θα μπορούσε να λογίζεται είτε ως «θετική συνεισφορά» είτε ως «αρνητική επίδραση».)

Για παράδειγμα,

Ποια είναι η «συμμετοχή» της κάθετης συνιστώσας της δύναμης, που ασκείται από τον πατέρα, κατά τη μετατόπιση του καροτσιού; Τι πρόσημο θα αποδίδατε στη «συνεισφορά» της οριζόντιας συνιστώσας;

Ποια είναι η «συμμετοχή» της κάθετης, στο κεκλιμένο επίπεδο, συνιστώσας της βαρυτικής δύναμης, όταν το κιβώτιο μετατοπίζεται κατά μήκος του κεκλιμένου προς την κορυφή του και η άλλη συνιστώσα της είναι πάνω στη διεύθυνση του κεκλιμένου; Τι πρόσημο θα αποδίδατε στην «επίδραση» της άλλης συνιστώσας της βαρυτικής δύναμης και τι στη «συνεισφορά» της ασκούμενης δύναμης από τον άνθρωπο;

Έργο δύναμης

Στη Φυσική, λοιπόν, ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη της επίδρασης μιας δύναμης, $\vec{F}$ (διάνυσμα), σ’ ένα σώμα, σε συνδυασμό με τη μετατόπιση, $\vec{d}$ (διάνυσμα), του σώματος, κατά μήκος μιας διεύθυνσης. Το νέο μέγεθος ονομάζεται έργο της δύναμης και συμβολίζεται με $W$ .

Λαμβάνοντας υπόψη και τα όσα προηγήθηκαν, θα επιχειρηθεί να συγκροτηθούν τα βασικά χαρακτηριστικά του νέου μεγέθους.

Η δύναμη σχηματίζει οξεία γωνία με τη μετατόπιση

Στο παρακάτω σχήμα:

- Το έργο της δύναμης, $\vec{F}$ , από τη σκοπιά της (οριζόντιας) μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος, θα πρέπει να ισούται με το έργο της οριζόντιας συνιστώσας της $\vec{F_1}$ .
- Επειδή για να αξιολογηθεί το μέγεθος του έργου της δύναμης, από τη σκοπιά της μετατόπισης, αρκεί να αλληλοεπιδράσουν ποσότητες πάνω στην «ευθεία της μετατόπισης», πρόκειται, τελικά, για βαθμωτό (μονόμετρο) μέγεθος.
- Αν π.χ. «διπλασιαστεί» η μετατόπιση, καθώς η δύναμη παραμένει σταθερή, τότε, το έργο της δύναμης, θα πρέπει, επίσης, να διπλασιαστεί.
- Αν π.χ. «υποτριπλασιαστεί» η δύναμη, τότε, το έργο της νέας δύναμης, σε σχέση με το έργο της αρχικής δύναμης, για την ίδια μετατόπιση, θα πρέπει, επίσης, να υποτριπλασιαστεί.
- Το έργο της (μοναδιαίας) δύναμης, $\dfrac{\vec{F_1}}{|\vec{F_1}|}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης του σώματος, θα πρέπει να θεωρείται, π.χ. μηδενικό, όσο η μετατόπιση, $\vec{d}$ , είναι μηδενική και μοναδιαίο όσο η μετατόπιση, $\vec{d}$ , είναι μοναδιαία.
- Το έργο της δύναμης, $\vec{F}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος, θα πρέπει να «παράγεται», αποκλειστικά, από το μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας, $\vec{F_1}$ , και το μέτρο, $|\vec{d}|$ , της μετατόπισης $\vec{d}$ .
- Το έργο της δύναμης, $\vec{F}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος, είναι εύλογο να ισούται με $W=\left| {\vec{F}} \right|\left| {\vec{d}} \right|\sigma\upsilon\nu\,\left( \varphi \right)$ , διότι, σε κατάλληλο ορθογώνιο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, ισχύει, $\sigma\upsilon\nu\,\left( \varphi \right)=\frac{{\left| {{{{\vec{F}}}_{1}}} \right|}}{{\left| {\vec{F}} \right|}}$ .

Η δύναμη σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη μετατόπιση

Στο παρακάτω σχήμα:
- Το έργο της δύναμης, $\vec{F}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος, θα πρέπει να θεωρείται αρνητικό.
- Το έργο της δύναμης, $\vec{F}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος, είναι, πάλι, εύλογο να ισούται με $W=\left| {\vec{F}} \right|\left| {\vec{d}} \right|\sigma\upsilon\nu\,\left( \varphi \right)$ .
- Το (ολικό) έργο της (συνισταμένης) δύναμης, $\vec{F}+\vec{F'}$ , από τη σκοπιά της μετατόπισης, $\vec{d}$ , του σώματος θα πρέπει να ισούται με το άθροισμα των επιμέρους έργων των δύο δυνάμεων.

Έτσι, για μια σταθερή δύναμη, $\vec{F}$ , που ασκείται σε κάποιο σώμα, καθώς αυτό μετατοπίζεται, κατά $\vec{d}$ , θα μπορούσε να οριστεί το έργο της δύναμης, , έτσι, ώστε να προκύπτει από ένα ιδιότυπο γινόμενο, $\displaystyle W=\vec{F}\cdot \vec{d}$ , μεταξύ των δύο διανυσματικών μεγεθών, με τα εξής χαρακτηριστικά:

Πρόκειται για βαθμωτό (μονόμετρο) μέγεθος.
Μεταβάλλεται αναλογικά ως προς τη μετατόπιση του σώματος.
Καθορίζεται, αποκλειστικά, από τη συνιστώσα της δύναμης στη διεύθυνση της μετατόπισης, όταν η δεύτερη συνιστώσα είναι κάθετη σ’ αυτή τη διεύθυνση.
Ισούται, κατά μέτρο, με τη συνιστώσα της δύναμης, στη διεύθυνση της μετατόπισης, όταν η μετατόπιση είναι μοναδιαία και η δεύτερη συνιστώσα είναι κάθετη σ’ αυτή τη διεύθυνση.

Ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου

Γενικότερα, για δύο διανύσματα, $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ , ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενό τους, $\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}$ , ως εξής:

$\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left|\vec{\alpha}\right|\cdot\left|\vec{\beta}\right|\cdot\sigma\upsilon\nu\,\left( \varphi \right)} & {\alpha\nu} & {\vec{\alpha }\ne \vec{0}&\kappa\alpha\iota&\vec{\beta }\ne \vec{0}} \\ {0} & {\alpha\nu} & {\vec{\alpha }=\vec{0}&\acute\eta&\vec{\beta }=\vec{0}} \end{array}} \right.$

όπου $\varphi$ παριστάνει τη γωνία τους.

(Συνήθως, το εσωτερικό γινόμενο, $\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}$ , το συμβολίζουμε με $\vec{\alpha}^2$ . )

Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

Αρχικά, θα τονιστούν ορισμένες προφανείς ιδιότητες οι οποίες, άλλωστε, αποτέλεσαν το κίνητρο του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Θα μπορούσατε να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο από τη Στήλη Α σ’ ένα ακριβώς στοιχείο από τη Στήλη Β;

	Στήλη Α		Στήλη Β
1.	Αν , $\displaystyle \vec{\alpha }\uparrow \uparrow \vec{\beta }$ , τότε,	Α.	$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=0$ και αντιστρόφως.
2.	Αν , $\displaystyle \vec{\alpha }\uparrow \downarrow \vec{\beta }$ , τότε,	Β.	$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=\left\| {\vec{\alpha }} \right\|\cdot \left\| {\vec{\beta }} \right\|$ και αντιστρόφως.
3.	Αν, $\displaystyle \vec{\alpha }\bot \vec{\beta }$ , τότε,	Γ.	$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=-\left\| {\vec{\alpha }} \right\|\cdot \left\| {\vec{\beta }} \right\|$ και αντιστρόφως.

Αναφορικά με τη ζητούμενη αντιστοίχιση, είναι φανερό ότι για τα ομόρροπα διανύσματα της πρώτης γραμμής, από τη Στήλη Α, το εσωτερικό γινόμενο τους ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους αφού η γωνία τους είναι μηδενική, οπότε το συνημίτονό της είναι ίσο με $1$ . Ανάλογα εργαζόμαστε για την περίπτωση των αντίρροπων διανυσμάτων της δεύτερης γραμμής από τη Στήλη Α. Τέλος, τα κάθετα διανύσματα της τρίτης γραμμής, από τη Στήλη Α, σχηματίζουν ορθή γωνία που σημαίνει ότι το συνημίτονό της όπως και το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδενικό.

Στη συνέχεια, διερευνώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα, στο εσωτερικό γινόμενο, παρατηρούμε ότι, $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=\vec{\beta }\cdot \vec{\alpha }$ διότι $\sigma\upsilon\nu\,(\widehat{{\vec{\alpha },\vec{\beta }}})=\sigma\upsilon\nu\,(\widehat{{\vec{\beta },\vec{\alpha }}})$ αφού $(\widehat{{\vec{\alpha },\vec{\beta }}})=(\widehat{{\vec{\beta },\vec{\alpha }}})$ .

Στο διπλανό σχήμα, με τη βοήθεια του προηγούμενου ορισμού, θα μπορούσε να τεκμηριωθεί ότι, $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\vec{\alpha }}_{1}}\cdot \vec{\beta}$ . Το προηγούμενο λήμμα, στην ουσία, πιστοποιεί αυτό που εξυπηρετεί η πράξη του εσωτερικού γινομένου και συνεπάγεται μια σειρά από ιδιότητες που καθορίζουν τη φύση του, όπως θα φανεί στην ακόλουθη δραστηριότητα.

Για παράδειγμα, πως θα μπορούσε να αξιοποιηθεί το διπλανό σχήμα,

για να αποδειχθεί η επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή ότι $(\vec{\alpha}+\vec{\beta})\cdot\vec{\gamma}=\vec{\alpha}\cdot\vec{\gamma}+\vec{\beta}\cdot\vec{\gamma}$ ; Εδώ, λοιπόν, αρκεί να χρησιμοποιηθεί ότι η προβολή του $\vec{\alpha}+\vec{\beta}$ πάνω στο $\vec{\gamma}$ ισούται με το άθροισμα των προβολών των $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ πάνω στο $\vec{\gamma}$ .

Η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου

Άραγε, πως υπολογίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων όταν δίνονται οι συντεταγμένες τους; Θα καταλήξουμε στο γενικό συμπέρασμα εξετάζοντας ορισμένες αντιπροσωπευτικές ειδικές περιπτώσεις.

Ποια απάντηση θα επιλέγατε σε καθεμία από τις ακόλουθες ερωτήσεις;

Στο παρακάτω σχήμα,ισχύει,

Α.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=13.$

Β.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=36.$

Γ.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=9.$
Στο παρακάτω σχήμα,ισχύει,

Α.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=-16.$

Β.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=0.$

Γ.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=16.$
Στο παρακάτω σχήμα,ισχύει,

Α.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=-15.$

Β.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=15.$

Γ.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=0.$
Στο παρακάτω σχήμα,ισχύει,

Α.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=-10.$

Β.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=10.$

Γ.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=0.$

Στο παρακάτω σχήμα,ισχύει,

Α.

$\displaystyle \begin{array}{l}\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{{\vec{\alpha }}}_{1}}\cdot {{{\vec{\beta }}}_{1}}+{{{\vec{\alpha }}}_{2}}\cdot {{{\vec{\beta }}}_{2}}\\=4\cdot 7+6\cdot \left( {-3} \right)\\=10.\end{array}$

Β.

Γ.

$\displaystyle \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\vec{\alpha }}_{1}}\cdot {{\vec{\beta }}_{1}}\\=4\cdot 7=28.$

Οι σωστές απαντήσεις στις παραπάνω ερωτήσεις, ειδικά στην τελευταία, οδηγούν στο παρακάτω συμπέρασμα.

Γενικά, αν $\vec{\alpha }=\left( {{{x}_{1}},{{y}_{1}}} \right)$ και $\vec{\beta }=\left( {{{x}_{2}},{{y}_{2}}} \right)$ , τότε, $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }=x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2$ , δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των ομόνυμων συντεταγμένων τους.

Βασικές προτάσεις στο εσωτερικό γινόμενο

Αν $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ διανύσματα και $\lambda \in \mathbb{R}$ , αναγνωρίζετε, στις ακόλουθες ισότητες, $\left( {\lambda \vec{\alpha }} \right)\cdot \vec{\beta }=\vec{\alpha }\cdot \left( {\lambda \vec{\beta }} \right)=\lambda \left( {\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }} \right)$ τη φυσική τους ερμηνεία;

(Υπόδειξη: Να τις συσχετίσετε με το μέγεθος του έργου δύναμης.)

Αυστηρές αποδείξεις θα μπορούσαν να δοθούν με χρήση της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου. Μπορείτε, ενδεικτικά να δοκιμάσετε να αποδείξετε την ισότητα $\left( {\lambda \vec{\alpha }} \right)\cdot \vec{\beta }=\lambda \left( {\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }} \right)$ .

Τέλος μια εξίσου χρήσιμη ισοδυναμία είναι η παρακάτω:

Για $\displaystyle \vec{\alpha },\vec{\beta }\nparallel y'y$ , ισχύει, $\vec{\alpha }\bot \vec{\beta }\Leftrightarrow \lambda_{\vec{\alpha }}\cdot \lambda _{\vec{\beta }}=-1$ .

Κι εδώ η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση.

Φόρμα ερωτήσεων

Η ακόλουθη φόρμα ερωτήσεων αναφέρεται στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Για να διαπραγματευτούν επαρκώς τα ερωτήματά της προϋποθέτει μια κριτική μελέτη της αντίστοιχης θεωρίας.