Εξισώσεις δεύτερου βαθμού

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Ιστορικά, για τις εξισώσεις δεύτερου βαθμού, η πρώτη προσπάθεια επίλυσης εδράζεται στην αρχαία Βαβυλώνα γύρω στο 400 π.Χ.. Η αποκρυπτογράφηση της σφηνοειδούς γραφής των πήλινων πινακίδων της εποχής, από τους σύγχρονους μελετητές, με πρωτοστάτη τον Αυστριακό Otto Neugebauer, ανέδειξε τη συμβολή των Βαβυλωνίων στα πρώτα βήματα προς τη γενική μέθοδο.

Στη διπλανή εικόνα παριστάνεται η πήλινη πλάκα, από τη συλλογή του Πανεπιστημίου του Yale, με κωδικό Y.B.C. 4612. Στην πλάκα αναφέρονται 15 προβλήματα εμβαδών, μεταξύ των οποίων και το ακόλουθο:

Η επιφάνεια ενός ορθογωνίου είναι 3600. Πρόσθεσα μήκος και πλάτος και βρήκα 174. Να υπολογιστούν το μήκος και το πλάτος.

Μολονότι, στο Βαβυλωνιακό κείμενο, δίνεται μόνο η λύση: Μήκος 150 και πλάτος 24 δε χωρά αμφιβολία ότι οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη μέθοδο υπολογισμού της.

Η μακροχρόνια προϊστορία, που συνοδεύει τις εξισώσεις δεύτερου βαθμού, συνεχίζεται με τους αρχαίους Έλληνες και τον αμιγώς γεωμετρικό τρόπο επίλυσης. Μια “υβριδική” λύση επανέρχεται, κατά τον μεσαίωνα, χάρη στον Πέρση σοφό Αλ- Κβαρίσμι . Την τωρινή αλγεβρική μορφή τη συναντάμε μετά το 1600 μ.Χ. χάρη στις προσπάθειες πολλών μαθηματικών με καθοριστική τη συμβολή των Γάλλων Viète και Descartes.

Η συμπλήρωση τετραγώνου, η διακρίνουσα και οι ρίζες μιας εξίσωσης δεύτερου βαθμού

Ο Πέρσης φιλόσοφος, μαθηματικός και ποιητής Ομάρ Καγιάμ συνήθιζε να λέει ότι τα συμπεράσματα της Άλγεβρας δεν είναι τίποτε άλλο παρά αποδεδειγμένες γεωμετρικές προτάσεις.

Στο πέρασμα των αιώνων, λοιπόν, οι γεωμετρικές μέθοδοι της αρχαιότητας εξελίχθηκαν και συμπτύχθηκαν στη σημερινή αλγεβρική μέθοδο επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Πρόκειται για τους τύπους της διακρίνουσας $\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$ και των ριζών $x_{1,2}=\dfrac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$ της εξίσωσης. Στο παρακάτω φύλλο εργασίας μπορείτε να επιχειρήσετε να τεκμηριώσετε τη γνωστή σας διαδικασία με τη βοήθεια της μεθόδου συμπλήρωσης τετραγώνου.