Εξισώσεις τρίτου βαθμού: Μέρος Δ΄

Μοιραστείτε το!

Το “χρέος” των μιγαδικών

“[…] Έχετε υπάρξει βετεράνοι των δημιουργικών βασάνων. Συνεχίστε να εργάζεστε με την πίστη ότι τα αναίτια βάσανα είναι λυτρωτικά. […]”

Μάρτιν Λούθερ Κινγκ, “Έχω ένα όνειρο”

Το αδιέξοδο στη μέθοδο για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού

Το αδιέξοδο, στο οποίο οδηγήθηκε η μέθοδος των “Καρντάνο – Ταρτάλια”, σχετικά με το πρόβλημα της επίλυσης για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού του τύπου,

(1) $\begin{equation*} x^3+mx=n,\,\,\,\,m,n\in \mathbb{R}, \end{equation*}$

στην περίπτωση όπου,

$D=\left(\dfrac{n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m}{3}\right)^3\leq0,$

σηματοδότησε την υλοποίηση της ιδέας της διεύρυνσης του συνόλου $\mathbb{R}$ των πραγματικών στο σύνολο $\mathbb{C}$ των μιγαδικών.

Πλέον, με τη συγκρότηση του $\mathbb{C}$ , επανακάμπτει, για την (1), η προσπάθεια αναζήτησης λύσης της μορφής, $x=\alpha-\beta$ , όπου, $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ , τέτοια, ώστε,

$\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 3\alpha\beta&=m\\ \alpha^{3}-\beta^{3}&=n \end{aligned} \right, \end{equation*}$

ή, ισοδύναμα, τέτοια ώστε,

$\begin{equation*} (\Sigma):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \beta&=\dfrac{m}{3\alpha}\\ \left( \alpha ^{3}\right) ^{2}-n\alpha ^{3}-\left( \dfrac{m}{3}\right) ^{3}&=0 \end{aligned} \right.. \end{equation*}$

Εξισώσεις τρίτου βαθμού και η διαμόρφωση των μιγαδικών

Είναι αξιοσημείωτο ότι, στο πλαίσιο της αναζήτησης λύσης για το (Σ), ανακύπτουν βασικές έννοιες για το σύνολο $\mathbb{C}$ . Για παράδειγμα, οι ορισμοί του συζυγούς, του μέτρου, της τριγωνομετρικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού, καθώς και τα θεμελιώδη συμπεράσματα που τους διέπουν, προκύπτουν με αφορμή την προηγούμενη αναζήτηση.

Ωστόσο, τίποτα από τα προηγούμενα δε θα θεωρηθεί εκ προοιμίου γνωστό προτού καταλήξουμε στον τύπο λύσεων για τις παραπάνω εξισώσεις τρίτου βαθμού. Απεναντίας, τα δημιουργικά ερωτήματα των προγόνων μας θα αφεθούν να συνοδεύσουν τη διερεύνησή μας. Αυτά θα προικοδοτήσουν το νέο σύνολο οικοδομώντας τα κυριότερα χαρακτηριστικά του.

Παρατήρηση 1 Στο σύνολο $\mathbb{C}$ , μια εξίσωση της μορφής, $z^2=-\theta,\,\theta\in \mathbb{R}$ με $\theta>0$ , ισοδύναμα, γράφεται,

$\begin{equation*} \begin{aligned} z^2-(i\sqrt{\theta})^2&=0\\ (z-i\sqrt{\theta})(z+i\sqrt{\theta})&=0 \end{aligned} \end{equation}$

επομένως, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις $z_{1}= i\sqrt{\theta}$ και $z_{2}=- i\sqrt{\theta}$ .

Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση, από τη δεύτερη εξίσωση του (Σ), έπεται ότι,

$\alpha^3=\frac{n\pm2i\sqrt{-D}}{2}=\dfrac{n}{2}\pm i\sqrt{-D}.$

Οπότε, μια δυνατή επιλογή για το $\alpha$ , μπορεί να προκύψει από την ισότητα,

(2) $\begin{equation*} \alpha^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}, \end{equation*}$

ενώ, η αντίστοιχη επιλογή για το $\beta$ πρέπει να πληροί,

(3) $\begin{equation*} \beta^3=-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}. \end{equation*}$

Συζυγείς μιγαδικοί

Αν υποτεθεί ότι υπάρχει, για τη (2), λύση της μορφής,

$\alpha_{1}=\gamma_{1}+i\delta_{1},\,\,\,\,\gamma_{1},\,\delta_{1}\in\mathbb{R},$

εύλογα, διερωτάται κανείς, αν, όπως στην περίπτωση όπου $D>0$ , ο αντίθετος του συζυγή του $\alpha_{1}$ ,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \beta_{1}&=-\overline{\alpha_{1}}\\ &=-\gamma_{1}+i\delta_{1} \end{aligned} \end{equation*}$

είναι λύση της (3).

Η απάντηση είναι καταφατική και απορρέει από την ιδιότητα,

$\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w},$

που, εύκολα, αποδεικνύεται ότι ισχύει για οποιουσδήποτε $z,\,w\in\mathbb{C}$ .

Πράγματι,

$\beta_{1}^{3}=\left( -\overline{\alpha_{1}}\right) ^{3}=-\overline{\alpha_{1}^{3}}\stackrel{\text{(2)}}{=}-\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D}}.$

Επειδή,

$\alpha_{1}\cdot\beta_{1}=(\gamma_{1}+i\delta_{1})\cdot(-\gamma_{1}+i\delta_{1})=-\gamma_{1}^2-\delta_{1}^2,$

αρκεί, λόγω του (Σ), να βρεθούν $\gamma,\,\delta\in\mathbb{R}$ τέτοια, ώστε,

$\begin{equation*} (\Sigma'):\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{\begin{aligned} \gamma^2+\delta^2&=-\dfrac{m}{3}\\ (\gamma+i\delta)^3&=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D} \end{aligned} \right.. \end{equation*}$

Παρατήρηση 2 Αφού $D\leq0$ , προφανώς $m\leq0$ .

Η Τριγωνομετρική μορφή

Η πρώτη εξίσωση του (Σ΄), γράφεται,

$\Bigg(\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\Bigg)^2=1.$

Θέτουμε,

$\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos\omega&=\dfrac{\gamma}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}}\\ \sin\omega&=\dfrac{\delta}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}} \end{aligned} \right., \end{equation*}$

άρα,

$\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \gamma&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega\\ \delta&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega \end{aligned} \right.. \end{equation*}$

(Με $\cos,\,\sin$ συμβολίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο αντίστοιχα.)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση του (Σ΄),

$\left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\right)^3=\dfrac{n}{2}+i\sqrt{-D},$

επομένως,

$\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}.$

Το Θεώρημα De Moivre

Με τη βοήθεια γνωστών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^3&=\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)^2\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\left(\cos^2\omega-\sin^2\omega+2i\cos\omega\sin\omega\right)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)+i\sin(2\omega)\big)\left(\cos\omega+i\sin\omega\right)\\ &=\big(\cos(2\omega)\cos\omega-\sin(2\omega)\sin\omega\big)\\ &+i\big(\sin\omega\cos(2\omega)+\cos\omega\right)\sin(2\omega)\big)\\ &=\cos(3\omega)+i\sin(3\omega). \end{aligned} \end{equation*}$

Συνεπώς,

$\cos(3\omega)+i\sin(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}.$

Άρα, αρκεί να βρεθεί γωνία $\omega$ τέτοια, ώστε,

$\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)=\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\\ \sin(3\omega)=\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}} \end{aligned} \right.. \end{equation*}$

Όμως,

$\Bigg(\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{\sqrt{-D}}{\sqrt{-\dfrac{m}{3}}^{3}}\Bigg)^2=\dfrac{\Big(\dfrac{n}{2}\Big)^2-D}{-\Big(\dfrac{m}{3}\Big)^3}=1,$

δηλαδή, υπάρχουν άπειρες λύσεις για το παραπάνω σύστημα.

Η τριγωνομετρική λύση του Viète για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού

Αν $\omega_{1}$ είναι μια τέτοια λύση, τότε, $\left( \gamma_{1},\delta_{1}\right)$ είναι λύση του (Σ΄), όπου,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ \delta_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}, \end{aligned} \end{equation*}$

οπότε, $\left( \alpha_{1},\beta_{1}\right)$ είναι λύση του (Σ), με,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \alpha_{1}&=\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\\ \beta_{1}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}+i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}. \end{aligned} \end{equation*}$

Άρα,

$\begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=\alpha_{1}-\beta_{1}=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1} \end{aligned} \end{equation*}$

είναι μία πραγματική λύση της (1).

Με τη βοήθεια αυτής της λύσης, η (1) μετασχηματίζεται ως εξής,

$x^3+mx=n$

$x^3+3\alpha_{1}\beta_{1}x=\alpha_{1}^{3}-\beta_{1}^{3}$

$x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{3}-\beta _{1}^{3}\right) =0$

$x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0$

$x^{3}+3\alpha _{1}\beta _{1}x-\left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) x+\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0$

$x\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) +\left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left( \alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right) =0,$

συνεπώς, γράφεται, τελικά,

(4) $\begin{equation*} \left\big( x-\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right)\right\big) \left\big( x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2}\right\big) =0. \end{equation*}$

Το τριώνυμο,

$x^{2}+\left( \alpha _{1}-\beta _{1}\right) x+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\beta _{1}^{2},$

έχει διακρίνουσα,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta=-3(\alpha_{1}+\beta_{1})^{2} &=-3\left(2i\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2} &=12\left(\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\sin\omega_{1}\right)^{2}. \end{aligned} \end{equation*}$

Τελικά, η (1), όταν $D\leq0$ έχει τρεις πραγματικές λύσεις που δίνονται από τους τύπους,

$\begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}-\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right)\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}+\sqrt{3}\sin\omega_{1}\right).\\ \end{aligned} \end{equation*}$

ή, ισοδύναμα,

$\begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=-2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}\cos(\pi/3)-\sin(\pi/3)\sin\omega_{1}\right)\\ x_{3}&=-2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\left(\cos\omega_{1}\cos(\pi/3)+\sin(\pi/3)\sin\omega_{1}\right).\\ \end{aligned} \end{equation*}$

οπότε,

$\begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos\omega_{1}\\ x_{2}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos(\omega_{1}-2\pi/3)\\ x_{3}&=2\sqrt{-\dfrac{m}{3}}\cdot\cos(\omega_{1}-4\pi/3).\\ \end{aligned} \end{equation*}$

Παράδειγμα 1 Για την εξίσωση, $x^3-3x=-\sqrt{2}$ , έχουμε, $m=-3,\,n=-\sqrt{2}$ , συνεπώς,

$D=\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-3}{3}\right)^3=\dfrac{2}{4}+(-1)=-\dfrac{1}{2}<0,$

Αναζητείται $\omega$ , τέτοιο, ώστε,

$\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} \cos(3\omega)&=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin(3\omega)&=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right., \end{equation*}$

οπότε, μπορεί να επιλεγεί ως $\omega_{1}$ το $\dfrac{\pi}{4}$ .

Άρα, η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις,

$\begin{equation*} \begin{aligned} x_{1}&=2\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}\\ x_{2}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}\\ x_{3}&=-\sqrt{-\dfrac{-3}{3}}\cdot\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}. \end{aligned} \end{equation*}$