Η εξίσωση πρώτου βαθμού - Διερεύνηση

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

“Μια εξίσωση δε σημαίνει τίποτε για εμένα εκτός κι αν εκφράζει τις σκέψεις του Θεού.”

Σρινιβάσα Ραμάνουτζαν, 1887 – 1920

Ινδός Μαθηματικός

Η εξίσωση πρώτου βαθμού είναι μια ενότητα με αρκετές σύνθετες πτυχές και προεκτάσεις. Στη Β΄ Γυμνασίου γνωρίσατε τον γενικό τρόπο επίλυσης για τις εξισώσεις πρώτου βαθμού, ενώ στη Γ΄ Γυμνασίου, διερευνήσατε, πιο γενικά, το πλήθος και τον τύπο των λύσεων τέτοιων εξισώσεων.

Στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, η ενότητα αναπτύσσεται γύρω από τους παρακάτω άξονες:

- Διερεύνηση εξίσωσης πρώτου βαθμού.
- Παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού.
- Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού.
- Προβλήματα με τη βοήθεια εξισώσεων πρώτου βαθμού.

Έχει κάποιο ενδιαφέρον, εισαγωγικά, να αναλύσουμε τον όρο εξίσωση. Θα συμφωνείτε ότι, πρώτα απ’ όλα, ο όρος αναφέρεται σε μια ισότητα.

Άραγε, ποιος είναι ο ιδιαίτερος τύπος αυτής της ισότητας που την καθιστά εξίσωση και μάλιστα πρώτου βαθμού;

Ισότητες

Είναι βέβαιο ότι έχετε συναντήσει αναρίθμητες ισότητες στις θετικές επιστήμες. Άλλωστε, στο ξεκίνημα της φετινής σας περιπέτειας στην Άλγεβρα, διδαχθήκατε διάφορες τέτοιες σχέσεις. Για παράδειγμα, με αφορμή τις βασικές ιδιότητες των πράξεων στο σύνολο, $\mathbb{R}$ , των πραγματικών αριθμών, διαπιστώσατε ισότητες όπως οι $\alpha + (-\alpha) = 0$ και $\alpha \beta = \beta \alpha$ .

Παρεμπιπτόντως, κάποιες χαρακτηριστικές ισότητες, από διάφορα πεδία, ενδεχομένως, να συγκαταλέγονται μεταξύ αυτών με εξέχουσα θέση στην ιστορία του ανθρώπινου πολιτισμού.

Ενδεικτικά, έχετε αναρωτηθεί, ποτέ, για τη σημασία των παρακάτω ισοτήτων;

- $1+1=2$ .
- ${{\alpha }^{2}}={{\beta }^{2}}+{{\gamma }^{2}}$ (Πυθαγόρειο Θεώρημα).
- ${{\left( {\alpha +\beta } \right)}^{2}}={{\alpha }^{2}}+2\alpha \beta +{{\gamma }^{2}}$ (Τετράγωνο αθροίσματος).
- $F=m\cdot a$ (2^οςνόμος του Newton).

Στις ανθρώπινες δραστηριότητες, η σημασία και η διαχρονική εφαρμογή ισοτήτων, όπως οι προηγούμενες, μάλλον, θα πρέπει να θεωρείται αδιαμφισβήτητη.

Εξισώσεις

Βέβαια, μια ισότητα για να θεωρείται εξίσωση προϋποθέτει την παρουσία ενός τουλάχιστον γράμματος που διαδραματίζει τον ρόλο του αγνώστου.

Έτσι, ενώ οι σχέσεις, $1-2=-1$ , $\alpha \cdot \beta =\beta \cdot \alpha$ , καλούνται ισότητες, η σχέση, $14x+15=71$ , στην οποία η αλγεβρική παράσταση $14x+15$ εξισώνεται με τον σταθερό όρο $71$ , λέγεται εξίσωση. Μάλιστα, μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται εξίσωση α΄ βαθμού διότι ο εκθέτης του αγνώστου, $x$ , ισούται με $1$ . Στην προηγούμενη εξίσωση, προφανώς, είναι ζητούμενο ο προσδιορισμός εκείνης της τιμής του αγνώστου για την οποία επαληθεύεται η ισότητα. Προφανώς, $x=4$ , διότι, $14 \cdot 4+15=56+15=71$ .

Τίποτα πιο ίσο από δύο παράλληλες γραμμές

Η συγκεκριμένη εξίσωση παρουσιάζει ιστορικό ενδιαφέρον: Η ακόλουθη εικόνα,

παριστάνει την εξίσωση $14x+15=71$ όπως περιλαμβανόταν στο βιβλίο “The Whetstone of Witte” του Ουαλλού Μαθηματικού Ρόμπερτ Ρέκορντ (1512 – 1558). Εκεί, για πρώτη φορά, γίνεται χρήση του γνωστού συμβόλου, $=$ , της ισότητας. (Η εξήγησε που έδωσε ο ίδιος συγγραφέας, για την επιλογή του συγκεκριμένου συμβόλου, ήταν ότι “δύο παράλληλες γραμμές είναι το πλέον κατάλληλο σύμβολο για την ισότητα, επειδή δεν υπάρχει τίποτα πιο ίσο από δύο παράλληλες γραμμές.”)

Διερεύνηση για την εξίσωση πρώτου βαθμού

Ειδικές περιπτώσεις

Συντελεστής του αγνώστου διάφορος του μηδενός

Θεωρούμε την εξίσωση $14x+15=71$ . Κατά την επίλυσή της, μπορούμε να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα

Αφαιρούμε το $15$ , από τα δύο μέλη της εξίσωσης, οπότε προκύπτει η εξίσωση, $14x+15-15=71-15$ , η οποία γράφεται, $14x=56$ .
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με τον συντελεστή, $14$ , του αγνώστου $x$ . Έτσι, έχουμε, $\frac{14x}{14}=\frac{56}{14}$ , άρα η τιμή, $x=4$ , είναι, τελικά, η μοναδική λύση της εξίσωσης.

Φυσικά, ενώ πάντα μπορούμε να προσθέτουμε στα μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό, ωστόσο, κατά τη διαίρεση, πρέπει να είναι διασφαλισμένο ότι ο διαιρέτης δεν είναι ίσος με το $0$ .

Συντελεστής του αγνώστου μηδέν

Οπότε, πως μπορούμε να επιλύσουμε εξισώσεις όπου ο συντελεστής του αγνώστου είναι ο αριθμός $0$ ; Ας δούμε δύο παραδείγματα.

Έστω, αρχικά, η εξίσωση, $0x-3=1$ . Για την επίλυσή της, θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:
- Προσθέτουμε το $3$ και στα δύο μέλη της εξίσωσης, οπότε προκύπτει η εξίσωση, $0x-3+3=1+3$ , δηλαδή, τελικά, $0x=4$ .
- Βέβαια, δε μπορούμε να διαιρέσουμε με το $0$ , ωστόσο, δε χρειάζεται να κάνουμε και πολλά περισσότερα. Η εξίσωση είναι, προφανώς, αδύνατη διότι για οποιαδήποτε τιμή του $x$ το αποτέλεσμα της πράξης $0x$ ισούται με το $0$ και όχι φυσικά με το $4$ , όπως απαιτεί η συγκεκριμένη εξίσωση.
Έστω, επίσης, η εξίσωση, $0x+7=7$ . Για την επίλυσή της, θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:
- Αφαιρούμε το $7$ , από τα δύο μέλη της εξίσωσης, οπότε προκύπτει η εξίσωση, $0x=0$ .
- Πάλι, δε μπορούμε να διαιρέσουμε με το $0$ , ωστόσο, αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Εδώ, ειδικά, όχι μόνο δεν είναι αδύνατη αλλά επαληθεύεται από οποιονδήποτε (πραγματικό) αριθμό. Οποιοσδήποτε αριθμός, $x$ , κι αν πολλαπλασιαστεί επί το $0$ δίνει αποτέλεσμα $0$ αυτό, δηλαδή, που απαιτείται σύμφωνα με το β΄ μέλος της εξίσωσης. Αν θυμάστε από το Γυμνάσιο μια τέτοια ισότητα χαρακτηρίζεται ως ταυτότητα.

Η γενική περίπτωση για την εξίσωση πρώτου βαθμού

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε εξίσωση α΄ βαθμού μπορεί να λάβει τη μορφή $\alpha x+\beta=0$ . Ενδεικτικά, η εξίσωση $-5x+24=4$ , γράφεται, ισοδύναμα, $-5x+20=0$ , οπότε είναι της μορφής $\alpha x+\beta=0$ , με $\alpha=-5$ και $\beta=20$ .

Θα διερευνήσουμε, λοιπόν, τη γενική μορφή μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης, $\alpha x +\beta=0$ , όπου $\alpha$ και $\beta$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αρχικά, παρατηρούμε ότι:

$\begin{align*}\alpha x +\beta=0 &\Leftrightarrow \alpha x+\beta-\beta =0-\beta \\&\Leftrightarrow \alpha x =-\beta.\end{align*}$

Έτσι, διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\alpha\neq 0$ . Τότε, η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη $x=-\frac{\beta}{\alpha}$ .
$\alpha=0$ . Τότε, έχουμε δύο υποπεριπτώσεις:
- $\beta\neq0$ . Η εξίσωση είναι αδύνατη.
- $\beta=0$ . Η εξίσωση είναι ταυτότητα.

Στις ακόλουθες διαδραστικές ερωτήσεις – ασκήσεις, μπορείτε να δοκιμάσετε να επιλύσετε ορισμένες εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Διαδραστικές ασκήσεις

Παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού

Συνεδρίαση στο δεκαπενταμελές

Το δεκαπενταμελές συμβούλιο ενός Λυκείου οργανώνει, συχνά, διάφορες εκπαιδευτικές εκδρομές στην Αθήνα για όλο το σχολείο.

Το σχολείο έχει, συνολικά, $150$ μαθητές.
Σε κάθε εκδρομή θα υπάρξουν μαθητές που δε θα εκδηλώσουν, τελικά, ενδιαφέρον να συμμετάσχουν.
Ο ταμίας του δεκαπενταμελούς γνωρίζει ότι, για κάθε εκδρομή στην Αθήνα, τα έξοδα μετακίνησης ανέρχονται στα $1200$ €.

Στόχος του μαθητικού συμβουλίου είναι να μπορεί, άμεσα, να είναι σε θέση να ενημερώνει τους μαθητές του σχολείου σχετικά με το ποσό, $x$ , που καθένας τους οφείλει να συνδράμει σε κάθε εκδρομή στην Αθήνα.

Μπορείτε να βρείτε πώς διαμορφώνεται αυτό το ποσό στις ακόλουθες περιπτώσεις;

Στην πρώτη εκδρομή στην Αθήνα όλοι οι μαθητές εκδηλώνουν ενδιαφέρον.
Στη δεύτερη εκδρομή στην Αθήνα όλοι οι μαθητές εκδηλώνουν ενδιαφέρον εκτός από $30$ μαθητές.
Στην τρίτη εκδρομή στην Αθήνα όλοι οι μαθητές εκδηλώνουν ενδιαφέρον εκτός από $50$ μαθητές.

Αν χρειάζεστε, επιπλέον, βοήθεια να σκεφτείτε ότι, σε κάθε περίπτωση, η αντίστοιχη εξίσωση είναι:

- $150\cdot x=1200$ .
- $120\cdot x=1200$ .
- $100\cdot x=1200$ .

Προφανώς, το ποσό που βρέθηκε, σε κάθε περίπτωση, καθορίζεται από μια παράμετρο όπου, εδώ, εκφράζει τον αριθμό των μαθητών που δε θα εκδηλώσουν, τελικά, ενδιαφέρον να συμμετάσχουν στην εκδρομή.

Τη συγκεκριμένη παράμετρο θα τη συμβολίζουμε με το γράμμα $\lambda$ . Δηλαδή, σε αντιστοιχία με τις παραπάνω περιπτώσεις,

$\lambda=0$ .
$\lambda=30$ .
$\lambda=50$ .

Δε θα ήταν εξαιρετικά χρήσιμο να βρίσκαμε έναν ενιαίο τύπο, ως προς $\lambda$ , που θα έδινε, σε κάθε περίπτωση, απάντηση στο πρόβλημα;

Η παραμετρική εξίσωση

Αναλύοντας το πρόβλημα αλγεβρικά, παρατηρούμε ότι:

Όλοι οι μαθητές εκδηλώνουν ενδιαφέρον εκτός από $\lambda$ μαθητές.
Το πλήθος των μαθητών που, τελικά, θα συμμετάσχουν είναι, $150-\lambda$ μαθητές.
Κάθε μαθητής – από αυτούς που θα συμμετάσχουν – θα φέρει $x$ ευρώ.

Εφόσον πρέπει να συγκεντρωθούν $1200$ ευρώ, είστε έτοιμοι να συνθέσετε την αντίστοιχη εξίσωση;

Πράγματι, η εξίσωση που προκύπτει είναι, $(150-\lambda)x=1200$ . Άραγε πως μπορεί να επιλυθεί;

Η εξίσωση είναι πρώτου βαθμού οπότε, για να την επιλύσουμε, πρέπει, αρχικά, να εντοπίσουμε τον συντελεστή του αγνώστου. Προφανώς, είναι $\alpha=150-\lambda$ . Ωστόσο, δε μπορούμε να διαιρέσουμε διά $\alpha$ αφού δεν είναι βέβαιο ότι είναι, για όλες τις τιμές του $\lambda$ , διάφορο του $0$ . Γι’ αυτό τον λόγο είμαστε αναγκασμένοι να διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις.

$\alpha=0\Leftrightarrow \lambda=150$ . Η εξίσωση γράφεται $0x=1200$ , οπότε δεν έχει λύση.
$\alpha\neq0\Leftrightarrow \lambda\neq150$ . Η λύση της εξίσωσης είναι $x=\frac{1200}{150-\lambda}$ .

Όπως διαπιστώθηκε, η εξίσωση έχει λύση ακόμη και για αρνητικές τιμές της παραμέτρου $\lambda$ .

(Να σκεφτείτε σε τι θα εξυπηρετούσε, πρακτικά, μια αρνητική τιμή για το $\lambda$ .)

Στις ακόλουθες διαδραστικές ερωτήσεις – ασκήσεις, μπορείτε να δοκιμάσετε να επιλύσετε ορισμένες παραμετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Διαδραστικές Ασκήσεις

Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού

Σε αρκετές περιπτώσεις μπορεί η επίλυση, για μια εξίσωση που δεν είναι πρώτου βαθμού, να αναχθεί στην επίλυση κατάλληλης εξίσωσης που είναι πρώτου βαθμού.

Για παράδειγμα, η εξίσωση,

$\frac{1}{x-1}=\frac{2x-3}{x^2-1}$

είναι κλασματική αφού ο άγνωστος $x$ βρίσκεται στον παρονομαστή των κλασμάτων που εμφανίζονται στα μέλη της.

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα,

$\frac{1}{x-1}=\frac{2x-3}{(x-1)(x+1)}.$

Έτσι, για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών της, ισχύει ${\mathrm{E.K.\Pi}}=(x-1)(x+1)$ .

Ένας περιορισμός που πρέπει να τεθεί είναι $(x-1)(x+1)\neq 0$ . Ισοδύναμα, ο περιορισμός γράφεται, $x\neq-1$ και $x\neq1$ . Για $x\neq-1$ και $x\neq1$ , μπορεί να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας με το ${\mathrm{E.K.\Pi}}$ και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Συνεπώς, για $x\neq-1$ και $x\neq1$ ,

$\begin{align*}\frac{1}{x-1}=\frac{2x-3}{x^2-1}&\Leftrightarrow\frac{1}{x-1}=\frac{2x-3}{(x-1)(x+1)}\\&\Leftrightarrow\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)(2x-3)}{(x-1)(x+1)}\\&\Leftrightarrow x+1=2x-3.\end{align*}$

Η τελευταία εξίσωση είναι πρώτου βαθμού η οποία γράφεται, $1+3=2x-x\Leftrightarrow x=4$ . Έτσι, αφού η τιμή $x=4$ ικανοποιεί τους περιορισμούς αποτελεί τη λύση της εξίσωσης.

Στις ακόλουθες διαδραστικές ερωτήσεις – ασκήσεις, μπορείτε να δοκιμάσετε να επιλύσετε ορισμένες εξισώσεις οι οποίες ανάγονται σε εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Διαδραστικές ασκήσεις

Προβλήματα που επιλύονται με εξισώσεις α΄ βαθμού

Ο Γάλλος Μαθηματικός και Φιλόσοφος Ντεκάρτ (1596 – 1650) εισάγει στα Μαθηματικά τα τελευταία γράμματα του αλφαβήτου ως σύμβολα των αγνώστων.

Πολλές φορές, απλά καθημερινά προβλήματα οδηγούν στην επίλυση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού. Αυτό επιτυγχάνεται με την κατάλληλη επιλογή γραμμάτων που αναπαριστούν στοιχεία του προβλήματος.

Για παράδειγμα, ένα τμήμα μαθητών της Α΄ Λυκείου συγκεντρώνει, κάθε εβδομάδα, ένα ποσό, $x$ €, για το ταμείο. Για ποια τιμή της προηγούμενης μεταβλητής το τμήμα θα συγκεντρώνει, συνολικά, κάθε εβδομάδα, ποσό ίσο με $10$ €;

Συνολικά, κάθε εβδομάδα συγκεντρώνεται το ποσό των $20x$ €. Εδώ, το $x$ είναι η μεταβλητή της αλγεβρικής παράστασης, $20x$ , επειδή, θεωρητικά, θα μπορούσε να αλλάζει, κατά περίσταση, η τιμή της.
Πλέον, η τιμή της μεταβλητής, $x$ , καθίσταται άγνωστη και προφανώς ζητούμενη. Για να απαντηθεί ένα τέτοιο ερώτημα θα πρέπει η παράσταση $20x$ να εξισωθεί με τον αριθμό $10$ .
Η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης. Είναι, λοιπόν, $x=\frac{{10}}{{20}}=\frac{1}{2}$ €.

Αρκετές ιστορικές αναφορές μαρτυρούν τη σύνδεση προβλημάτων της καθημερινότητας με τις πρωτοβάθμιες εξισώσεις εδώ και χιλιάδες χρόνια πριν.

Στον πάπυρο του Ριντ, μια συλλογή από Αιγυπτιακά μαθηματικά προβλήματα που χρονολογείται γύρω στο 1550 π.Χ., αναπτύσσονται διάφορα προβλήματα που θα μπορούσαν να επιλυθούν με τη βοήθεια κατάλληλων πρωτοβάθμιων εξισώσεων.

Στην Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία συγκεντρώνεται μια ομάδα 46 αριθμητικών προβλημάτων που συνδέονται με την ελληνική αρχαιότητα. Κάποια από αυτά θυμίζουν ορισμένα παρόμοια προβλήματα που συναντώνται στον πάπυρο του Ριντ.

Το ακόλουθο παράδειγμα είναι από την Παλατινή Ανθολογία και αποτελεί ένα κλασσικό πρόβλημα με άγνωστο την ηλικία:

Ο Δημοχάρης έχει ζήσει ένα τέταρτο της ζωής του σαν αγόρι, ένα πέμπτο σαν νέος, ένα τρίτο σαν άνδρας και έχει μπει εδώ και $13$ χρόνια στη γεροντική ηλικία.

Πόσων χρονών είναι;

Στις ακόλουθες διαδραστικές ερωτήσεις – ασκήσεις, μπορείτε να δοκιμάσετε να επιλύσετε ορισμένα προβλήματα με τη βοήθεια των αντίστοιχων πρωτοβάθμιων εξισώσεων.

Η εξίσωση πρώτου βαθμού – Διερεύνηση