Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας είναι ο μαθηματικός τύπος που συγχωνεύει τις δύο διαφορετικές εκδοχές που έχετε διδαχθεί για την εξίσωση ευθείας.

Είναι αλήθεια ότι πολλές φορές αγνοούμε ότι ο κλασικός τύπος, $y=\lambda x+\mu$ , για την εξίσωση ευθείας, δεν περιλαμβάνει μια συγκεκριμένη κατηγορία ευθειών. Πρόκειται για τις ευθείες που έχουν κατακόρυφη διεύθυνση. Δηλαδή, για αυτές που είναι κάθετες στον οριζόντιο άξονα. Διότι, ειδικά, οι συγκεκριμένες ευθείες έχουν εξίσωση της μορφής $x=x_0$ , όπου $x_0$ ένα οποιοδήποτε σημείο τους. (Άλλωστε, αυτό δε σημαίνει κατακόρυφη ευθεία; Όλα τα σημεία έχουν την ίδια τετμημένη δηλαδή το ίδιο $x$ .).

Άραγε, πως θα μπορούσαμε, με έναν ενιαίο τρόπο, να περιγράψουμε, σε κάθε περίπτωση, μια οποιαδήποτε ευθεία;

Ο γενικός τύπος

Για την εξίσωση, $y=\lambda x+\mu$ , μεταφέροντας όλους τους όρους στο α΄ μέλος, προκύπτει ότι $-\lambda x+y-\mu=0$ , δηλαδή, μια εξίσωση του τύπου $Ax+By+\mathit{\Gamma}=0$ , όπου $A$ , $B$ και $\mathit{\Gamma}$ είναι σταθερές. Παρόμοια, για την εξίσωση $x=x_0$ , έχουμε ότι $x-x_0=0$ , δηλαδή, πάλι, μια εξίσωση του ίδιου τύπου. (Στην πρώτη περίπτωση είναι $A=-\lambda$ , $B=1$ και $\mathit{\Gamma}=-\mu$ , ενώ, στη δεύτερη περίπτωση, είναι $A=1$ , $B=0$ και $\mathit{\Gamma}=-x_0$ .)

Το σημαντικό είναι ότι μια κατάλληλη συνθήκη εξασφαλίζει και το αντίστροφο του προηγούμενου συμπεράσματος:

Η εξίσωση $Ax+By+\mathit{\Gamma}=0$ , όπου $A$ , $B$ και $\mathit{\Gamma}$ είναι σταθερές, παριστάνει ευθεία αρκεί να μη μηδενίζονται ταυτόχρονα τα $A$ και $B$ .

Φυσικά, μάλλον, θα συμφωνείτε ότι ο μηδενισμός των $A$ και $B$ οδηγεί στην εξίσωση $0x+0y+\mathit{\Gamma}=0$ , η οποία ή θα είναι ταυτότητα (όταν μηδενίζεται και το $\mathit{\Gamma}$ ) ή θα είναι αδύνατη (όταν το $\mathit{\Gamma}$ δε μηδενίζεται). Άρα, τότε, σίγουρα η παραπάνω εξίσωση δεν παριστάνει ευθεία. (Αλήθεια, τι παριστάνει όταν είναι ταυτότητα;)

Όταν, όμως, τουλάχιστον ένα από τα $A$ και $B$ δε μηδενίζεται, τότε, είτε $y=-\dfrac{A}{B} x-\dfrac{\mathit{\Gamma}}{B}$ (όταν το $B$ δε μηδενίζεται) είτε $x=-\dfrac{\mathit{\Gamma}}{A}$ (όταν το $B$ μηδενίζεται, οπότε το $A$ δε θα μηδενίζεται).

Επομένως, είναι φανερό ότι η συνθήκη ( $A\neq 0$ ή $B\neq 0$ ) εξασφαλίζει ότι η εξίσωση, $Ax+By+\mathit{\Gamma}=0$ , τελικά, παριστάνει ευθεία.

Φόρμα ερωτήσεων

Η ακόλουθη φόρμα, περιλαμβάνει ορισμένες ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις διαβαθμισμένης δυσκολίας πάνω στη γενική μορφή εξίσωσης ευθείας. Έτσι, σας δίνεται η δυνατότητα να ελέγξετε τον βαθμό εμπέδωσης όσων αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα.

Καλή επιτυχία!

Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σε ευθεία

Η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας $\varepsilon: Ax+By+\mathit{\Gamma}=0$ , όπου $A\neq0$ , ή $B\neq0$ , μπορεί να αξιοποιηθεί και για την εύρεση δύο πολύ χρήσιμων διανυσμάτων για την ευθεία. Το πρώτο είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, $\vec{\delta}$ , παράλληλο προς την ευθεία και το δεύτερο ένα μη μηδενικό διάνυσμα, $\vec{\eta}$ , κάθετο σ’ αυτή.

Οι αντίστοιχοι τύποι είναι $\vec{\delta}=(-B,A)$ και $\vec{\eta}=(A,B)$ .

Για παράδειγμα, αν $\varepsilon:2x-3y+1=0$ , τότε, με εφαρμογή των προηγούμενων τύπων, έχουμε, $\vec{\eta}=(2,-3)$ και $\vec{\delta}=(3,2)$ .

Η απόδειξη αυτού του συμπεράσματος παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι στηρίζεται στην έννοια του συντελεστή διεύθυνσης ευθείας και διανύσματος και διάφορων συνθηκών παραλληλίας και καθετότητας. Ένα μέρος της ακόλουθης διαδραστικής άσκησης πραγματεύεται την απόδειξη αυτή.

Καλή ενασχόληση!