Γενική μορφή εξίσωσης κύκλου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Γενική μορφή εξίσωσης κύκλου καλείται, συνήθως, μια εξίσωση της μορφής $x^2+y^2+Ax+By+{\it\Gamma}=0$ , η οποία συνοδεύεται από μία κατάλληλη συνθήκη που πληρούν οι συντελεστές $A, B$ και ${\it\Gamma}$ . Η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου, που αναπτύχθηκε εδώ, εφαρμόστηκε σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις του προηγούμενου τύπου. Η μέθοδος οδηγούσε, κάθε φορά, σε μια εξίσωση της μορφής $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ , με αποτέλεσμα την άμεση αναγνώριση των στοιχείων του κύκλου. Έτσι, ίσως να έχει λιπανθεί το έδαφος για μια περισσότερο φορμαλιστική διαπραγμάτευση.

Η τυπική επεξεργασία

Η εξίσωση $x^2+y^2+Ax+By+{\it\Gamma}=0$ , διαδοχικά, μετασχηματίζεται ως εξής,

$\begin{array}{c}x^2+y^2+2\displaystyle\frac{A}{2}x+2\displaystyle\frac{B}{2}y+{\it\Gamma}=0 \\\\ x^2+2\displaystyle\frac{A}{2}x+y^2+2\displaystyle\frac{B}{2}y=-{\it\Gamma} \\\\ x^2+2\displaystyle\frac{A}{2}x+(\displaystyle\frac{A}{2})^2+y^2+2\displaystyle\frac{B}{2}y+(\displaystyle\frac{B}{2})^2=(\displaystyle\frac{A}{2})^2+(\displaystyle\frac{B}{2})^2-{\it\Gamma} \\\\ (x+\displaystyle\frac{A}{2})^2+(y+\displaystyle\frac{B}{2})^2=\displaystyle\dfrac{A^2+B^2-4{\it\Gamma}}{4}\\\\ \end{array}$

Διακρίνουμε λοιπόν τις περιπτώσεις:

$A^2+B^2-4{\it\Gamma}>0$ . Τότε, η εξίσωση παριστάνει κύκλο, με κέντρο $K(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$ και ακτίνα $\rho=\sqrt{\dfrac{A^2+B^2-4{\it\Gamma}}{4}}=\dfrac{\sqrt{A^2+B^2-4{\it\Gamma}}}{2}$ .
$A^2+B^2-4{\it\Gamma}=0$ . Τότε, η εξίσωση παριστάνει σημείο, το $K(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$ .
$A^2+B^2-4{\it\Gamma}<0$ . Τότε, η εξίσωση είναι αδύνατη.

Για το αντίστροφο, παρατηρούμε ότι η εξίσωση $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ , μετά τα αναπτύγματα των τετραγώνων, γράφεται, $x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-\rho^2=0$ , ή, ισοδύναμα, $x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-\rho^2=0$ . Θέτουμε, $A=-2x_0$ , $B=-2y_0$ και ${\it\Gamma}=x_0^2+y_0^2-\rho^2$ . Έχουμε,

$A^2+B^2-4{\it\Gamma}=4x_0^2+4y_0^2-4x_0^2-4y_0^2+4\rho^2=4\rho^2>0.$

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να ελέγξετε, για μια ποικιλία περιπτώσεων, τι ακριβώς παριστάνουν εξισώσεις της μορφής $x^2+y^2+Ax+By+{\it\Gamma}=0$ . Επιπλέον, όταν η εξίσωση που εξετάζεται πληροί την αντίστοιχη συνθήκη, αναζητείται το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. Επίσης, τότε, καλείστε να σχεδιάσετε, ενδεικτικά, αυτόν τον κύκλο, ελέγχοντας το σχέδιό σας.

Όμως, η εφαρμογή αυτή δεν περιορίζεται μόνο στα προηγούμενα. Αντίθετα, επιχειρείται μια σύνδεση με την ενότητα της ευθείας. Για το σκοπό αυτό, μετά τη σχεδίαση του κύκλου, ζητείται να επιλέξετε και μία ευθεία. Το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία, όπως και η διεύθυνσή της, καθορίζονται από το χρήστη. Αυτό το οποίο, τελικά, εξετάζεται είναι μια τεκμηρίωση, με βάση τους τύπους της Αναλυτικής Γεωμετρίας, της σχετικής θέσης κύκλου και ευθείας, η οποία, ούτως ή άλλως, ήδη, έχει αποτυπωθεί γραφικά.

Έτσι, λοιπόν, έχετε τη δυνατότητα να επαναλάβετε τους αντίστοιχους τύπους από τη θεωρία αλλά και να ζητήσετε κατάλληλες βοήθειες – με το αζημίωτο … – όπου χρειαστεί.

Καλή ενασχόληση!