Η γραφική παράσταση συνάρτησης στη Γ΄ Λυκείου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αποτελεί ένα από τα πιο ισχυρά μέσα που διαθέτουμε για να τη μελετήσουμε. Άλλωστε, με ένα γράφημα, μπορούμε να αποτυπώσουμε και να ερμηνεύσουμε τις σχέσεις μεταξύ μεταβλητών με έναν εύληπτο οπτικό τρόπο.

Ήδη, η αξία της γραφικής παράστασης έχει φανεί από τις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου. Εκεί χρησιμοποιήθηκε για την κατανόηση βασικών συναρτήσεων και σχέσεων. Έπειτα, στην Α’ Λυκείου και στη Β’ Λυκείου, η σημασία της ενισχύθηκε, καθώς συνδυάστηκε με πιο σύνθετα γνωρίσματα των συναρτήσεων όπως το πρόσημό τους, τα σημεία τομής τους με τους άξονες, η μονοτονία και τα ακρότατά τους. Έτσι, στη Γ’ Λυκείου, η γραφική παράσταση γίνεται βασικό εργαλείο για την ανάλυση προχωρημένων μαθηματικών εννοιών, όπως το όριο, η παράγωγος και το ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης.

Γενικά, μια γραφική παράσταση, αποκαλύπτει, σχηματικά, πολλά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της συσχέτισης που εκφράζει. Για παράδειγμα, στο παρακάτω γράφημα,

παριστάνεται το ποσοστό ανεργίας στην Ευρώπη, τα τελευταία χρόνια, με βάση τα στοιχεία της Ευρωπαϊκής Κεντρικής Τράπεζας.

Να δοκιμάσετε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

Σε ποιες περιόδους η ανεργία ήταν διαρκώς ανοδική / διαρκώς πτωτική ;
Πότε παρουσιάστηκε η μέγιστη / ελάχιστη τιμή της ανεργίας και ποια ήταν αυτή;

Συμπερασματικά, για δύο αλληλοεξαρτώμενα μεγέθη – όπως τα μεγέθη “Ανεργία” – “Χρόνος” του παραπάνω παραδείγματος – είναι, ιδιαίτερα, χρήσιμο να αποδοθεί, γραφικά, η σύνδεσή τους.

Στο σημείο αυτό θα συγκεντρώσουμε τις γραφικές παραστάσεις ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων.

Πίνακας Τιμών Συνάρτησης

Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι δίνεται ο τύπος που εκφράζει τη συνάρτηση δύο μεγεθών. Για παράδειγμα, η ισότητα $F=m \alpha$ , από τη Φυσική, όπου $F$ δηλώνει το μέτρο της δύναμης, που ασκείται σ΄ένα σώμα μάζας $m$ , ενώ $\alpha$ παριστάνει το μέτρο της επιτάχυνσης που προκαλείται.

(Στα Μαθηματικά, όταν ένα πρώτο μέγεθος καθορίζει ένα δεύτερο μέγεθος, τότε το πρώτο συμβολίζεται, συνήθως, με το γράμμα $x$ και λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το δεύτερο, του οποίου οι τιμές εξαρτώνται από τις τιμές του πρώτου μεγέθους, συμβολίζεται, συνήθως, με το γράμμα $y$ και ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Στην παραπάνω περίπτωση, θα λέγαμε έχουμε μια σχέση της μορφής $y=\alpha x$ , όπου $\alpha$ η τιμή της σταθερής μάζας του σώματος.)

Τι είδους δεδομένα θα επιχειρούσατε να συλλέξετε έτσι, ώστε να είστε σε θέση να χαράξετε τη γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης;

Σε ένα αρχικό στάδιο μελέτης, με βάση και τα περιθώρια που αφήνει η δομή του τύπου, ίσως να αποδεικνυόταν αρκετή η συμπλήρωση ενός κατάλληλου πίνακα τιμών. Οι τιμές του πρώτου μεγέθους (ανεξάρτητη μεταβλητή) θα μπορούσαν να επιλεγούν ελεύθερα κι έπειτα, στο πλαίσιο μιας υπολογιστικής διαδικασίας, θα προσδιορίζονταν οι τιμές του δεύτερου μεγέθους (εξαρτημένη μεταβλητή).

Πιο συγκεκριμένα, με οδηγό τον προηγούμενο τύπο του Δεύτερου Νόμου του Νεύτωνα, δίνοντας διάφορες τιμές στην επιτάχυνση, $\alpha$ , για δεδομένη σταθερή μάζα, προκύπτουν οι αντίστοιχες τιμές της δύναμης, $F$ . Τοποθετώντας τις τιμές αυτές ως ζεύγη αριθμών, σ’ ένα σύστημα συντεταγμένων, σκιαγραφείται η αντίστοιχη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Όσο ο πίνακας τιμών εμπλουτίζεται, τόσο περισσότερο διαφαίνεται το γραφικό αποτύπωμα της σχέσης. Ειδικά με τη βοήθεια ενός υπολογιστή, το γράφημα μπορεί να είναι εξαιρετικά ακριβές.

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να εξασκηθείτε στη χάραξη των γραφικών παραστάσεων ορισμένων βασικών συναρτήσεων.

Αρχικά, ο χρήστης επιλέγει, από ένα σύνολο στοιχειωδών συναρτήσεων, τον τύπο που επιθυμεί να μελετήσει γραφικά. Προαιρετικά, μπορεί να τοποθετήσει διάφορα σημεία, από το γράφημα της συνάρτησης, στο σύστημα αξόνων. Τρόπον τινά, προετοιμάζει έναν πίνακα τιμών. (Ίσως, να χρειαστεί να ανακαλέσετε τις γνώσεις που έχετε αποκτήσει από προηγούμενες τάξεις.)

Στη συνέχεια, δίνεται η δυνατότητα χάραξης της γραφικής παράστασης. Η εφαρμογή σημειώνει τις ενδεχόμενες αστοχίες του χρήστη προτρέποντάς τον να τις διορθώσει.

Τέλος, ο χρήστης καλείται να ορίσει τις δικές του συναρτήσεις επιχειρώντας, έπειτα, να τις αναπαραστήσει γραφικά. Έτσι, προκύπτει μια πλούσια γκάμα συναρτήσεων οι οποίες προσφέρονται για εξάσκηση.

Καλή ενασχόληση!