Το πρόβλημα της Διδούς
Σε γενικές γραμμές, στα επίπεδα ισοπεριμετρικά προβλήματα, αναζητείται το σχήμα το οποίο, για δεδομένη περίμετρο, έχει το μέγιστο εμβαδό. Ένα τέτοιο πρόβλημα, σύμφωνα με την ελληνική μυθολογία, αντιμετώπισε με επιτυχία η πριγκίπισσα της Τύρου, Διδώ. Η επίλυσή του συνδέθηκε με την απόκτηση γης που επιθυμούσε, διακαώς, η Διδώ στη νέα της πατρίδα, τη Λιβύη. Στη συνέχεια, κατάφερε να χτίσει εκεί την πόλη της, την Καρχηδόνα.
Σύμφωνα με το μύθο, η Διδώ, κατατρεγμένη από τον αδελφό της Πυγμαλίωνα, βρήκε καταφύγιο στη Λιβύη. Εκεί έφτασε, δια μέσου της Κύπρου, μαζί με ορισμένους πιστούς της υπηκόους και με όσους θησαυρούς κατάφερε να περισώσει. Ο Πυγμαλίων είχε αναλάβει την εξουσία δολοφονώντας τον άνδρα της Διδούς, τον ιερέα Σιχαιό. Έτσι, είχε ανέβει στη θέση τους στο θρόνο και σκόπευε να εξοντώσει όλους τους επίδοξους διεκδικητές του.
Η Διδώ πρόσφερε πλούσια δώρα στον ντόπιο βασιλιά της Λιβύης, τον βασιλιά Ιάρβα. Ακολούθως, ζήτησε από τον Ιάρβα να τους παράσχει ένα κομμάτι γης με σκοπό να χτίσει στην ακτή μια πόλη. Ωστόσο, εκείνος, ως ανταπόδοση, αποφάσισε να δωρίσει στη Διδώ μόνο όση γη θα κατάφερνε να αποπερατώσει ως εξής. Αρχικά, χάρισε στη Διδώ το δέρμα ενός βοδιού. Εκείνη έπρεπε να το αξιοποιήσει με τον προσφορότερο τρόπο, έτσι, ώστε να εξυπηρετήσει το σκοπό της. Ποια θα ήταν η καλύτερη δυνατή λύση; Με ποιον τρόπο θα μπορούσε να επιτευχθεί;
Η Διδώ, αφού έκοψε το δέρμα σε πολύ λεπτές φέτες, τις συνένωσε διαδοχικά σ’ ένα τεράστιο νήμα. Με τη βοήθεια του νήματος σχημάτισε έναν κύκλο. Με τον κύκλο αυτό κάλυψε ένα πολύ μεγάλο μέρος γης. Ο Ιάρβας, τηρώντας το λόγο του, παραχώρησε στην πριγκίπισσα τη γη που κάλυψε με το δέρμα του βοδιού. Στο μέρος αυτό χτίστηκε η Καρχηδόνα με ακρόπολη τη Βύρσα (βύρσος = δέρμα).
Ισοπεριμετρικά προβλήματα στη Μαθηματική Συναγωγή
Στα ισοπεριμετρικά προβλήματα είναι αφιερωμένο ένα σημαντικό μέρος ενός εμβληματικού έργου των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών. Η “Μαθηματική Συναγωγή” είναι ένα σπουδαίο έργο του 4ου αιώνα μ.Χ. αποτελούμενο από οχτώ βιβλία. Εκεί, ο συγγραφέας του εμπνευσμένου πονήματος, ο Αλεξανδρινός μαθηματικός Πάππος (περίπου: 290 μ.Χ. – 350 μ.Χ.), συγκέντρωσε τις γεωμετρικές γνώσεις των προγενέστερων. Εκτός των άλλων, χάρη στη Μαθηματική Συναγωγή, αναθερμάνθηκε το ενδιαφέρον για τον κλάδο.
Ο τελευταίος, ίσως, μεγάλος αρχαίος Έλληνας γεωμέτρης, στην εισαγωγή για τα ισοπεριμετρικά προβλήματα, παρουσιάζει σ’ ένα κείμενο μια σειρά από ενδιαφέροντα γεωμετρικά ζητήματα. (Το συγκεκριμένο κείμενο μνημονεύεται ακόμη και για τη λογοτεχνική αξία του.) Τα περισσότερα θα μπορούσαν να αξιοποιηθούν διδακτικά στην ενότητα των Κανονικών Πολυγώνων της Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου.
Το παρακάτω απόσπασμα αποτελεί ελεύθερη απόδοση της εισαγωγής του για τα ισοπεριμετρικά προβλήματα.
Το απόσπασμα
Η σοφία της φύσης
Ασφαλώς, ο Θεός έχει δωρίσει την καλύτερη και πιο τέλεια έννοια της σοφίας, γενικά, καθώς και της μαθηματικής επιστήμης, ιδιαίτερα, στον άνθρωπο. Ωστόσο, μια μορφή απ’ αυτό το χάρισμα, επίσης, έχει κατανεμηθεί σε ορισμένα άλογα ζώα. Για τους προικισμένους, με το λόγο, ανθρώπους, εξασφάλισε τη δυνατότητά τους να δρουν και να πράττουν, υπό το πρίσμα της λογικής τους. Για τα υπόλοιπα ζώα, μολονότι στερούνται λόγου, χάρισε, σε καθένα από αυτά, με βάση ένα συγκεκριμένο φυσικό ένστικτο, τη δυνατότητα να λαμβάνουν τα άκρως απαραίτητα για τη διατήρηση της ζωής. Αυτό το ένστικτο μπορεί να παρατηρηθεί ανάμεσα σε πάρα πολλά άλλα είδη των ζωντανών πλασμάτων, αλλά πάνω απ’ όλα στις μέλισσες. Πρώτα απ’ όλα, η ευταξία τους κι ο σεβασμός τους στις βασίλισσες, που κυβερνούν το κράτος τους, είναι πραγματικά αξιοθαύμαστο. Αλλά, περισσότερo αξιοθαύμαστη είναι η άμιλλά τους, η καθαριότητα που παρατηρούμε στη συλλογή του μελιού, κι η προνοητικότητα και η νοικοκυροσύνη που αφιερώνουν για την επιμέλειά του.
Προφανώς, επειδή γνωρίζουν ότι έχουν επιφορτιστεί με το καθήκον της μεταφοράς από τους θεούς, στο εκλεκτό είδος της ανθρωπότητας, ένα μέρος της αμβροσίας σ’ αυτή τη μορφή, δε θεωρούν σωστό να το χύσουν απρόσεκτα στο έδαφος ή στο ξύλο ή σε οποιοδήποτε άλλο ακαλαίσθητο και ακανόνιστο υλικό· αντίθετα, αφού, πρώτα, συλλέξουν τα πιο γλυκά άνθη από τα ομορφότερα λουλούδια, που φυτρώνουν στη γη, κατασκευάζουν απ’ αυτά, για την υποδοχή του μελιού, δοχεία εξαγωνικής μορφής, που ονομάζουμε κηρήθρες, με κελιά όλα ίσα, όμοια και γειτονικά το ένα στο άλλο. Και μπορούμε να συμπεράνουμε, κατ’ αυτόν τον τρόπο, ότι το πρότυπο αυτό έχει επινοηθεί χάρη σε μια ορισμένη γεωμετρική ενόραση.
Η γεωμετρική ενόραση των μελισσών
Έχουν προνοήσει ώστε τα σχήματα να συνορεύουν το ένα με το άλλο, δηλαδή, να έχουν κάθε πλευρά τους κοινή, προκειμένου να μη μπορούν ξένα σώματα να εισέλθουν στα διάκενα μεταξύ τους ρυπαίνοντας την καθαρότητα των προϊόντων τους. Τώρα, μόνο τρία ευθύγραμμα σχήματα θα μπορούσαν να πληρούν αυτήν τη συνθήκη. Εννοώ κανονικά ευθύγραμμα σχήματα, που είναι ισόπλευρα και ισογώνια. Διότι οι μέλισσες δε θα καταδέχονταν σχήματα τα οποία δεν είναι ομοιόμορφα (κανονικά) …. Υπάρχουν, λοιπόν, τρεις μορφές ικανές από μόνες τους να καλύψουν το χώρο, επακριβώς, γύρω από το ίδιο σημείο. Ωστόσο, οι μέλισσες, λόγω της ενστικτώδους σοφία τους, επέλεξαν για την κατασκευή της κηρήθρας τη μορφή που έχει τις περισσότερες γωνίες, επειδή συνειδητοποίησαν ότι θα περιέχει περισσότερο μέλι από οποιαδήποτε από τις δύο άλλες μορφές.
Οι μέλισσες, τότε, γνωρίζουν αυτό ακριβώς που τις εξυπηρετεί, ότι το εξάγωνο είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνο και το τρίγωνο και ότι θα αποθηκεύσει περισσότερο μέλι για την ίδια δαπάνη του υλικού που χρησιμοποιείται στην κατασκευή των διάφορων μορφών. Εμείς, ωστόσο, υποστηρίζοντας ότι κατέχουμε μεγαλύτερο μερίδιο σοφίας απ’ τις μέλισσες, θα διερευνήσουμε ένα ευρύτερο πρόβλημα. Δηλαδή, ότι, από όλα τα ισόπλευρα και ισογώνια επίπεδα σχήματα, που έχουν ίση περίμετρο, εκείνο το οποίο έχει το μεγαλύτερο αριθμό των γωνιών είναι πάντοτε μεγαλύτερο, και ότι το μεγαλύτερο επίπεδο σχήμα όλων εκείνων που έχουν περίμετρο ίση με εκείνη των πολυγώνων είναι ο κύκλος.
Διερεύνηση
Θα άξιζε τον κόπο να ασχοληθεί κανείς με τα παρακάτω ζητήματα.
- Μπορείτε να αποδείξετε ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που οι γωνίες τους μπορούν να επιστρώσουν το επίπεδο, χωρίς αλληλοεπικαλύψεις και κενά, γύρω από ένα σημείο του, είναι αυτά που παρουσιάζονται στο κείμενο; (βλέπε σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου, §11.2, Σύνθετα Θέματα 1.)
- Μπορείτε να αποδείξετε ότι για δύο κανονικά πολύγωνα, με ίση περίμετρο, αλλά διαφορετικό αριθμό πλευρών, μεγαλύτερο εμβαδό έχει αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμό πλευρών;
