Εισαγωγή
Η διεύθυνση μιας ευθείας, δηλαδή η γωνία που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα, καθορίζει την κλίση της. Όπως θα γίνει φανερό, η κλίση, ή, αλλιώς, ο συντελεστής διεύθυνσης, για μια ευθεία, αποτελεί ένα σημαντικό γνώρισμά της.
Είναι βέβαιο ότι η ευθεία αποτελεί την απλούστερη περίπτωση γραμμής που έχετε γνωρίσει. Συνάμα, πρόκειται για ένα βασικό γεωμετρικό σχήμα με τη βοήθεια του οποίου μπορούν να «παραχθούν» πιο σύνθετα ευθύγραμμα σχήματα. (Για παράδειγμα, τρεις ευθείες, που τέμνονται ανά δύο, ορίζουν ένα τρίγωνο.)
Έχετε, ήδη, μελετήσει την ευθεία στο πλαίσιο κάποιων βασικών μαθημάτων Γεωμετρίας. Ένα από τα κρίσιμα ζητήματα, στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου, αποτελεί η εύρεση, με τη βοήθεια μεθόδων της Αναλυτικής Γεωμετρίας, της εξίσωσης της ευθείας. Προς τούτο, κυρίαρχο ρόλο, για την ευθεία, διαδραματίζει η γωνία που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα. Πράγματι, με δεδομένη την τιμή αυτής της γωνίας και αν, επιπλέον, είναι γνωστό ένα σημείο της ευθείας, τότε, προσδιορίζεται, πλήρως, η ευθεία.
Για παράδειγμα, θα συμφωνείτε ότι υπάρχει μοναδική ευθεία η οποία διέρχεται από το και σχηματίζει γωνία με τον άξονα .
Επομένως, η έννοια της γωνίας, που σχηματίζει μια ευθεία με τον οριζόντιο άξονα, καθώς και ο ακόλουθος ορισμός της κλίσης της ευθείας αποτελούν την απόλυτη προτεραιότητα κατά τη μελέτη αυτού του πρωταρχικού γεωμετρικού αντικειμένου.
Περιγραφική ερμηνεία της κλίσης για μια ευθεία
Να παρατηρήσετε τις ευθείες, και , των παρακάτω σχημάτων.
Σε καθεμία από αυτές, ένα σημείο, , κινείται, κατά μήκος τους, όπως υποδεικνύει το σημειωμένο βέλος. Να ερμηνεύσετε την κλίση ως ένα μέτρο, με το αντίστοιχο πρόσημο, «+» ή «-», για το πόσο «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει» το σημείο, , κατακόρυφα, καθώς κινείται πάνω στην ευθεία, όταν η αντίστοιχη οριζόντια μετατόπισή του γίνει μονάδα προς τα δεξιά.
- Ποια από τις τέσσερις ευθείες είναι λογικό να έχει μηδενική κλίση;
- Ποια από τις τέσσερις ευθείες είναι αναμενόμενο να έχει απροσδιόριστη κλίση;
- Σε ποια από τις τέσσερις ευθείες είναι εύλογο να αποδοθεί στην κλίση της θετικό πρόσημο;
- Σε ποια από τις τέσσερις ευθείες είναι εύλογο να αποδοθεί στην κλίση της αρνητικό πρόσημο;
Η κλίση ευθείας ως εφαπτομένη γωνίας
Θυμάστε, από τα Μαθηματικά της Β΄ Γυμνασίου, τον ορισμό της εφαπτομένης οξείας γωνίας τριγώνου ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς της γωνίας προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά της;
Γιατί, άραγε, στη Γ΄ Γυμνασίου, επεκτείναμε την έννοια της εφαπτομένης και στην περίπτωση αμβλείας γωνίας; Σε ποιο συμπέρασμα οδηγούσε η προηγούμενη γενίκευση για τις εφαπτόμενες των παραπληρωματικών γωνιών; Τι σχέση έχουν τα παραπάνω με την κλίση ευθείας;
Στην παρακάτω εικόνα, παριστάνεται μια ευθεία, , καθώς και η γωνία, , που σχηματίζει η με τον άξονα .
Να θεωρήσετε, πάλι, ένα κινητό σημείο, , κατά μήκος της , με φορά κίνησης σύμφωνα με τη φορά του βέλους. Ποιος αριθμός φανερώνει πόσες μονάδες μετατοπίζεται κατακόρυφα, προς τα πάνω, το όταν μετατοπιστεί οριζόντια κατά μονάδα προς τα δεξιά; Μήπως αυτός ο αριθμός, δηλαδή το , αποτελεί ένα μέτρο του “ρυθμού μετατόπισης” της τεταγμένης, , του σημείου, , ως προς την τετμημένη του, ; Κάτι τέτοιο δεν πρέπει να εκφράζει η κλίση της συγκεκριμένης ευθείας; Με ποιον τριγωνομετρικό αριθμό της συνδέεται;
Αν δυσκολεύεστε να απαντήσετε στο τελευταίο ερώτημα, να θυμηθείτε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο , ισχύει, .
Τι παρατηρείτε, αντίστοιχα, για το κινητό σημείο , καθώς κατέρχεται κατά μήκος της ευθείας του ακόλουθου σχήματος;
Πόσες μονάδες μετατοπίζεται κατακόρυφα και προς ποια κατεύθυνση το σημείο , όταν αυτό μετατοπιστεί οριζόντια, κατά μονάδα, προς τα δεξιά; Ποιος αριθμός θεωρείτε ότι εκφράζει την κλίση της ; Τι παρατηρείτε για τη σχέση των κλίσεων των δύο ευθειών, και , καθώς και για τη σχέση των αντίστοιχων γωνιών, και , που οι ευθείες σχηματίζουν με τον άξονα ;
Σωστά μαντέψατε! Δηλαδή, οι κλίσεις είναι αντίθετες και οι γωνίες παραπληρωματικές.
Ο μαθηματικός τύπος για την κλίση
Από τα παραπάνω προκύπτει ένας εύχρηστος μαθηματικός τύπος για την κλίση ευθείας. Έστω, λοιπόν, μια ευθεία, , που διέρχεται από τα σημεία και , όπου , όπως στο παρακάτω σχήμα.
Τότε, μπορεί να αποδειχθεί ότι η κλίση της, , δίνεται από τον τύπο,
Πράγματι,
(Στη Γ’ Λυκείου, για διάφορες καμπύλες γραμμές γραφημάτων συναρτήσεων, θα οριστεί, με τη βοήθεια του παραπάνω τύπου, η κλίση τους. Συγκεκριμένα, η κλίση τους θα οριστεί ως η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο.)
Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας
Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου και Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου επαρκούν για να οδηγηθούμε σε δύο βασικές προτάσεις. Τα συμπεράσματα αυτά σχετίζονται με τους συντελεστές διεύθυνσης παράλληλων και κάθετων, μεταξύ τους, ευθειών.
- Πρώτα απ’ όλα, δύο — μη κατακόρυφες — ευθείες είναι παράλληλες, αν, και μόνο αν, έχουν την ίδια κλίση. Έτσι, αν είναι μη κατακόρυφες ευθείες, τότε,
- Επίσης, δύο — μη κατακόρυφες — ευθείες είναι κάθετες, αν, και μόνο αν, το γινόμενο των κλίσεών τους ισούται με . Οπότε, αν είναι μη κατακόρυφες ευθείες, τότε,
Για την απόδειξη της πρώτης ισοδυναμίας χρησιμοποιούμε, αρχικά, ότι δύο ευθείες, που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία, σχηματίζουν τις εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, αν, και μόνο αν, οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Στη συνέχεια, εύκολα συνάγεται ότι για δύο γωνίες στο , ισχύει ότι είναι ίσες, αν, και μόνο αν, έχουν ίσες εφαπτόμενες.
Η απόδειξη της δεύτερης ισοδυναμίας αφήνεται ως άσκηση.
(Να σχεδιάσετε ένα κατάλληλο σχήμα. Να λάβετε υπόψη ότι δύο ευθείες είναι κάθετες αν, και μόνο αν, οι γωνίες, που σχηματίζουν με τον οριζόντιο άξονα, διαφέρουν κατά . Έπειτα, να θυμηθείτε ότι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του. Τέλος, μη λησμονήσετε ότι για δύο γωνίες, που διαφέρουν κατά , ισχύει ότι η εφαπτομένη της μιας ισούται με την αντίθετη της συνεφαπτομένης της άλλης.)
Φόρμα ερωτήσεων
Η ακόλουθη φόρμα, περιλαμβάνει ορισμένες ερωτήσεις κατανόησης και ασκήσεις διαβαθμισμένης δυσκολίας πάνω στην κλίση ή αλλιώς τον συντελεστή διεύθυνσης ευθείας. Στις ερωτήσεις και στις ασκήσεις αυτές, μέσω κατάλληλων σχολίων κατά την υποβολή, παρέχεται η αντίστοιχη ανατροφοδότηση. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα να αναθεωρήσετε τις απαντήσεις σας. Μάλιστα, μπορείτε να υποβάλλετε τις απαντήσεις σας όσες φορές επιθυμείτε. Σε κάθε περίπτωση, καλό είναι να διαβάσετε προσεχτικά τις εκφωνήσεις.
Καλή επιτυχία!