Μετατόπιση καμπύλης (Διαδραστική εφαρμογή)

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Πως σχετίζεται μια ψηλοκρεμαστή πάσα ακριβείας, μεταξύ δύο ποδοσφαιριστών, που πραγματεύεται μια διαδραστική εφαρμογή, με το μαθηματικό περιεχόμενο των εννοιών από τη μετατόπιση καμπύλης; (Μια νύξη από το πολύ ενδιαφέρον θέμα των μετατοπίσεων είχε γίνει κι εδώ.)

Η συγκεκριμένη ενότητα, που άπτεται της οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης καμπύλης, διδάσκεται, συνήθως, στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου. Η καμπύλη παριστάνει το γράφημα κάποιας συνάρτησης. Το γενικότερο ζήτημα συνίσταται στον τρόπο που συγκεκριμένες αλλαγές στον τύπο της συνάρτησης μετασχηματίζουν το γράφημά της.

Έτσι, οι έννοιες που πραγματεύονται εδώ διευρύνουν τη γκάμα των συναρτήσεων για τις οποίες οι μαθητές θα μπορούσαν να χαράξουν τη γραφική τους παράσταση. Αντίστροφα, από το γράφημα ορισμένων συναρτήσεων, θα μπορούσαν, με οδηγό – γράφημα αναφοράς – μια συγκεκριμένη συνάρτηση, να μαντέψουν τον αντίστοιχο τύπο.

Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης

Ας αναλογιστούμε τι θα συνέβαινε, στο γράφημα της συνάρτησης $f(x)$ , η προσθήκη μιας θετικής σταθεράς $c$ στον τύπο της. Η νέα συνάρτηση $g(x)=f(x)+c$ λαμβάνει, για τις ίδιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής $x$ , τιμές $g(x)$ που είναι αυξημένες κατά $c$ σε σχέση με τις τιμές $f(x)$ . Γραφικά, αυτό σημαίνει ότι τα σημεία του γραφήματος της $g$ είναι μετατοπισμένα, κατακόρυφα, κατά $c$ μονάδες προς τα πάνω, σε σχέση με τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος της $f$ . Για παράδειγμα, η συνάρτηση $g(x)=x^2+1$ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της $f(x)=x^2$ κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. Τα συμπεράσματα διατυπώνονται ανάλογα κατά την περίπτωση που η θετική σταθερά $c$ , αφαιρείται.

Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Ας εξεταστεί, τώρα, η περίπτωση που η θετική σταθερά $c$ προστίθεται στην ανεξάρτητη μεταβλητή $x$ , μιας συνάρτησης, $f(x)$ , καθώς στη συνέχεια δρα η συνάρτηση $f$ . Ουσιαστικά, συντίθεται μια νέα συνάρτηση με τύπο $g(x)=f(x+c)$ . Πλέον, οι τιμές $f(x)$ λαμβάνονται με μια “υστέρηση” σε σχέση με τις αντίστοιχες τιμές $g(x)$ . Η “υστέρηση” αυτή εκφράζεται, προφανώς, από τη σταθερά $c$ . Η τιμή, δηλαδή, της $g$ σε κάποιο $x$ είναι όσο θα είναι η τιμή της $f$ “μετά από $c$ μονάδες σε σχέση με το $x$ “. Ουσιαστικά, τα σημεία του γραφήματος της $g$ “προηγούνται”, από τα αριστερά, σε σχέση με τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος της $f$ , ενώ βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Άρα, το γράφημα της $g$ προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση, κατά $c$ μονάδες, προς τα αριστερά, του γραφήματος της $f$ . Για παράδειγμα, η συνάρτηση $g(x)=(x+3)^2$ προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της $f(x)=x^2$ κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά. Τα συμπεράσματα διατυπώνονται ανάλογα κατά την περίπτωση της συνάρτησης $h(x)=f(x-c)$ , όπου $c>0$ .

Η διαδραστική εφαρμογή για τη μετατόπιση καμπύλης

Πάσα ακριβείας

Όλα θα κριθούν στο γήπεδο …

Δύο συμπαίχτες, μιας ποδοσφαιρικής ομάδας, γνωρίζουν ότι, αν συνεργαστούν και εκτελέσουν, με ακρίβεια, ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να πετύχουν τέρμα. Στο πλαίσιο της συνεργασίας τους, πρέπει να αλλάξουν τη μπάλα δυο φορές με πανομοιότυπο τρόπο. Οι ποδοσφαιριστές, κατά την αλλαγή της μπάλας, κινούνται σε παράλληλες κατευθύνσεις και σε ίσες αποστάσεις απ’ τις αρχικές τους θέσεις. Αν γνωρίζετε την καμπύλη της πρώτης πάσας, μπορείτε να υπολογίσετε την ακριβή πορεία της δεύτερης πάσας;

Εδώ, θα έχετε, αρχικά, την ευκαιρία να ανακαλέσετε το σχήμα του γραφήματος της συνάρτησης του τριωνύμου. Πρόκειται για τη γνωστή σας παραβολή. Στη συνέχεια, αναζητείται ο τύπος του τριωνύμου, με γράφημα τη δεδομένη τροχιά της δεύτερης πάσας. Δε θα δυσκολευτείτε να διακρίνετε ότι η πάσα … ακριβείας συνδέεται με κατάλληλη μετατόπιση καμπύλης και τα όσα προηγήθηκαν.

Καλή ενασχόληση!