Μετρικές σχέσεις – Ένα πρόβλημα λόγου εμβαδών κύκλων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Θα μπορούσαν ορισμένα συμπεράσματα, από την ενότητα “Μετρικές σχέσεις”, να αξιοποιηθούν σ’ ένα πρόβλημα λόγου εμβαδών δύο κύκλων που απασχόλησε έναν προγραμματιστή Η/Υ;

Πολλές φορές, ειδικότερα στο Λύκειο, το αντικείμενο της Γεωμετρίας μνημονεύεται για τη θεωρητική του αξία. Αναμφίβολα, η συμβολή της θεωρητικής προσέγγισης, για την ανάπτυξη της μαθηματικής ωρίμανσης των μαθητών του Λυκείου, είναι δεδομένη και δε πρέπει να παραγνωρίζεται. Ωστόσο, κάποιες φορές, η Γεωμετρία θα μπορούσε να αποτελέσει το πεδίο εφαρμογής και σύνθεσης σημαντικών αποτελεσμάτων σε πραγματικά προβλήματα.

Η βασική πρόταση

Για τις ανάγκες του πιο απαιτητικού ερωτήματος της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής, είναι αρκετή η ακόλουθη εκδοχή του γενικότερου θεωρήματος που αναφέρεται στις τέμνουσες κύκλου.

Πρόταση: Θεωρούμε δύο χορδές, AB, \it\Gamma\it\Delta, ενός κύκλου κέντρου O, οι οποίες τέμνονται στο P. Τότε, PA \cdot PB=P{\it\Gamma}\cdot P{\it\Delta}.

Να παρατηρήσετε ότι, στην ειδική περίπτωση μιας διαμέτρου AB του κύκλου και μιας χορδής \it\Gamma\it\Delta, κάθετης στην AB στο σημείο P, προκύπτει η ισότητα PA \cdot PB=P{\it\Gamma}^2. Η τελευταία, πολλές φορές, αναφέρεται ως εκείνη η μετρική σχέση που εκφράζει το τετράγωνο του ύψους ορθογώνιου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του. (Εδώ, προφανώς, το ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο \it\Gamma A B και το τμήμα \it\Gamma A P το ύψος του που αντιστοιχεί στην υπότείνουσά του.) Θα μπορούσατε, εναλλακτικά, να χρησιμοποιήσετε την προηγούμενη σχέση στο πρόβλημα που ακολουθεί.

Διαδραστική εφαρμογή – Το πρόβλημα του προγραμματιστή

Ένας προγραμματιστής Η/Υ κατασκευάζει ένα πρόγραμμα επεξεργασίας γραφικών. Ο προγραμματιστής προσπαθεί να διερευνήσει τη μείωση του εμβαδού, για μια κυκλική εικόνα, κατά τους δύο τρόπους σμίκρυνσής της, όπως θα παρέχονται από το πρόγραμμα. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Μετρικές σχέσεις και ένα πρόβλημα λόγου εμβαδών δύο κύκλων

Ο πρώτος τρόπος σμίκρυνσης αποτελεί και την πρώτη δοκιμασία στα στάδια επίλυσης του προβλήματος. Εδώ, για να απαντήσετε στα ερωτήματα που τίθενται, αρκεί να γνωρίζετε τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού ενός κυκλικού δίσκου. Βέβαια, όπως θα διαπιστώσετε, ενώ η ακτίνα του αρχικού κύκλου είναι γνωστή, η ακτίνα του δεύτερου κύκλου, που προκύπτει μετά τη σμίκρυνση, μπορεί να υπολογιστεί με μια απλή αφαίρεση. (Για το σκοπό αυτό, ίσως είναι βολικότερο να εργαστείτε με τις διαμέτρους των δύο κύκλων.)

Ο δεύτερος τρόπος σμίκρυνσης εμβαθύνει σημαντικά τα ζητούμενα του προβλήματος. Πλέον, απαιτείται κάποιος βαθμός συνθετικής ικανότητας. Ενδεχομένως, η αναζήτηση της απάντησης να προϋποθέτει  γνώση των παραπάνω βασικών προτάσεων. Έτσι, ενώ, πάλι, η ακτίνα του αρχικού κύκλου δίνεται, η ακτίνα του δεύτερου κύκλου, που προκύπτει μετά τη σμίκρυνση, μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια κατάλληλης μετρικής σχέσης.

Η εφαρμογή δίνει τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεών σας. Επίσης, προσφέρει – αν χρειαστεί – κατάλληλες υποδείξεις. Να επεξεργαστείτε και τους δύο τρόπους σμίκρυνσης.

Καλή ενασχόληση!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.