Μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο - Ορθές προβολές

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγική Δραστηριότητα

Οι μετρικές σχέσεις, στο τρίγωνο, στη Γεωμετρία της Β΄Λυκείου, περιλαμβάνουν ορισμένες βασικές προτάσεις που αναφέρονται σε ορθές προβολές πλευρών. Οι προτάσεις αυτές στηρίζονται στις αναλογίες που προκύπτουν από κατάλληλα όμοια τρίγωνα.

Για παράδειγμα, θα μπορούσατε, στην παρακάτω ορθογώνια στέγη, να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου $AB\Gamma$ ;

Παρεμπιπτόντως, τα τμήματα $B\it\Delta$ και $\it\Gamma\Delta$ είναι οι ορθές προβολές των κάθετων πλευρών $AB$ και $A\it\Gamma$ , πάνω στην υποτείνουσα $B\it\Gamma$ .

Είναι παρατηρημένο ότι η αναγνώριση και η κατασκευή των ορθών προβολών πλευρών σε μια ευθεία προκαλεί σύγχυση σε αρκετούς μαθητές. Επίσης, είναι γεγονός ότι, μεταξύ διάφορων τριγώνων, η ανακάλυψη και τεκμηρίωση της ομοιότητας καθώς και η καταγραφή των αντίστοιχων αναλογιών δυσκολεύει σημαντική μερίδα μαθητών. Ωστόσο, η συγκεκριμένη ενότητα, έχει ιδιαίτερη αξία και αξίζει να σημειωθεί ότι τα συμπεράσματά της οδηγούν στην απόδειξη του περίφημου Πυθαγόρειου Θεωρήματος.

Τετράγωνο κάθετης πλευράς ορθογώνιου τριγώνου

Ανακαλύψατε τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων στο σχήμα της εισαγωγικής Δραστηριότητας; Υπάρχουν διάφορες επιλογές. Ίσως να παρατηρήσατε, ήδη, την ομοιότητα των δύο “μικρότερων” ορθογώνιων τριγώνων. Πολύ σωστά! Έτσι, θα μπορούσε να υπολογιστεί και το ύψος $A\it\Delta$ του “μεγαλύτερου” τριγώνου. Μη βιαστείτε να θεωρήσετε ότι το πρόβλημα έχει επιλυθεί, ενδεχομένως με χρήση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Απεναντίας, θεωρείτε άγνωστο, για την ώρα, ενώ χάρη στις σχέσεις που αναζητούμε, θα μπορούσε να αποδειχτεί.

Εναλλακτικά, ίσως να ήταν χρήσιμο να αξιοποιήσετε την ομοιότητα του “μεγαλύτερου” ορθογώνιου τριγώνου με καθένα από τα δύο “μικρότερα” ορθογώνια τρίγωνα.

Μήπως καταλήξατε στις σχέσεις $A{{B}^{2}}=B{\it\Gamma} \cdot B\it\Delta$ και $A{{\it\Gamma}^{2}}=B{\it\Gamma} \cdot \it\Gamma\Delta$ ;

Τι παρατηρείτε αν τις προσθέσουμε κατά μέλη; Αν τις διαιρέσουμε κατά μέλη;

Διαδραστική εφαρμογή

Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω

Η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή είναι στο πνεύμα της παραπάνω ενότητας. Δηλαδή αναφέρεται στις μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο, ιδιαίτερα, στις διάφορες προτάσεις με τις ορθές προβολές.

Σκοπός σας είναι να βοηθήσετε έναν χειριστή ενός παιχνιδιού στο Λούνα Παρκ “Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω”. Ο δύσμοιρος υπάλληλος τα έχει βρει μπαστούνια με δύο παιδιά, με καλές γνώσεις Γεωμετρίας, που του κάνουν δύσκολη τη ζωή …

Η εφαρμογή ελέγχει κατάλληλα τις επιλογές σας και σας προσφέρει – όπου χρειάζεται – τις απαραίτητες υποδείξεις. Στην περίπτωση που καταφέρετε το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα, ίσως να αποζημιωθείτε με τη διήγηση μιας διδακτικής ιστορίας.

Καλή ενασχόληση!