Η μέτρηση του κύκλου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η μέτρηση του κύκλου, δηλαδή, ο υπολογισμός του μήκους του και του εμβαδού του, είναι ένα θέμα με βαθιές ιστορικές ρίζες. Μάλιστα, στις παρυφές του προβλήματος, απαντάται η ανακάλυψη ενός πολύ σημαντικού αριθμού: του αριθμού $\pi$ .

Το $\pi$ , διαχρονικά, έχει ασκήσει μεγάλη γοητεία και όχι αποκλειστικά μέσα στα όρια των τειχών του μαθηματικού κόσμου. Βέβαια, για τους περισσότερους, ο διάσημος αυτός αριθμός συμβολίζει, κατά προσέγγιση, ένα δεκαδικό αριθμό, τον αριθμό $3,14$ . Ωστόσο, ο αριθμός $\pi$ είναι άρρητος και τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα σε πλήθος. Παρεμπιπτόντως, η προσπάθεια εύρεσης όλο και περισσότερων ψηφίων του, καθώς και η γενικότερη διερεύνηση της «φύσης» του, έθεσε τις βάσεις για την απόδειξη περίφημων ισοτήτων και σημαντικών θεωρημάτων.

Μήκος κύκλου και η έννοια του π

Όμως, τι σημαίνει, τελικά, το $\pi$ και πως θα μπορούσε κανείς να εκτιμήσει την αριθμητική τιμή του;

Στο Γυμνάσιο, είχατε διαπιστώσει, ενδεχομένως, μ’ έναν τρόπο πιο περιγραφικό, ότι υπάρχει ένας βασικός τύπος που συνδέει το μήκος της περιφέρειας ενός οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του. Πρόκειται, ακριβώς, για τη σχέση από την οποία πηγάζει το $\pi$ .

Ο στόχος, δηλαδή, είναι να εκφραστεί η περίμετρος του κύκλου με τη βοήθεια της διαμέτρου του. Ο αριθμός $\pi$ δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο αριθμός που υπολογίζει το μήκος του κύκλου με μονάδα μέτρησης την ίδια του τη διάμετρο. Φανερώνει, δηλαδή, “πόσες διάμετροι” χρειάζονται για να καλύψουν, πλήρως και χωρίς αλληλοεπικαλύψεις, τον κύκλο.

Με οδηγό, λοιπόν, την ισότητα $\pi=\dfrac{L}{\delta}$ , όπου $L$ το μήκος του κύκλου και $\delta$ η διάμετρός του, θα μπορούσαν να ανακαλυφθούν τα πρώτα ψηφία του $\pi$ . (Σε προηγούμενες τάξεις, ίσως, αυτό να μπορούσε να γίνει με τη βοήθεια κάποιας διαδραστικής εφαρμογής, με χειραπτικά μέσα, όπως, για παράδειγμα, εδώ.)

Το σκεπτικό, πλέον, είναι να επιστρατευτούν ευθύγραμμα σχήματα για να εκτιμηθεί, ακριβέστερα, το μήκος $L$ του καμπυλόγραμμου κύκλου. Άραγε, ποια θα μπορούσαν να είναι αυτά τα ευθύγραμμα σχήματα;

Εμβαδό κυκλικού δίσκου

Στο Γυμνάσιο, είχατε μελετήσει, πάλι διαισθητικά, την αντίστοιχη σχέση $E=\pi \rho^2$ για το εμβαδό, $E$ , του κυκλικού δίσκου με τη βοήθεια της ακτίνας του $\rho$ . Ασφαλώς, απαραίτητη προϋπόθεση – ακόμη και κατά την προαναφερόμενη διαισθητική προσέγγιση – αποτελεί η επικύρωση της ισότητας $L=2\pi \rho$ .

Με δεδομένο τον τύπο $L=2\pi \rho$ , υπάρχει μια περισσότερο φορμαλιστική διαδρομή για να καταλήξει κανείς στο εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Η αξιοποίηση κατάλληλων ευθύγραμμων σχημάτων, σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες γεωμετρικές σχέσεις, θα αποτελέσουν, και σ’ αυτήν την περίπτωση, το κλειδί της απόδειξης.

Τα κανονικά πολύγωνα

Τα κανονικά πολύγωνα, τα εγγεγραμμένα και τα περιγεγραμμένα στον κύκλο, αποτελούν την κοινή βάση για τη μέτρηση του κύκλου. Αυτά, καθώς ο αριθμός των πλευρών τους αυξάνεται απεριόριστα, τείνουν προς τον κύκλο γεγονός καταλυτικό για την τεκμηρίωση του $\pi$ . Επιπλέον, τούτο είναι καθοριστικό και για την απόδειξη των τύπων του μήκους του κύκλου όπως και του εμβαδού του κυκλικού δίσκου που προαναφέρθηκαν.

Η μέτρηση του κύκλου με τη μέθοδο της εξάντλησης

Πιο συγκεκριμένα, λοιπόν, χάρη στα κανονικά πολύγωνα, ίσως να είναι εφικτό να ψηλαφηθεί, πιο εμπεριστατωμένα, ο αριθμός $\pi$ . Για έναν οποιονδήποτε κύκλο, είναι δυνατόν να θεωρηθούν δύο ακολουθίες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, όπου δύο αντίστοιχοι όροι τους έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών.

Έτσι, καθώς το πλήθος των πλευρών των πολυγώνων αυξάνεται απεριόριστα, τα πολύγωνα αυτά πλαισιώνουν, “ασφυκτικά”, εσωτερικά και εξωτερικά τον κύκλο.

Ο Αρχιμήδης, τον 3^ο αιώνα π.Χ., χρησιμοποιώντας τα κανονικά $96$ – γωνα, κατόρθωσε να προσεγγίσει τον αριθμό $\pi$ με την εκπληκτική, για την εποχή, ακρίβεια, $\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}$ .

Οι ακόλουθες διαδραστικές εφαρμογές αποσκοπούν στην αποσαφήνιση της μεθόδου εξάντλησης του Αρχιμήδη.

Οι διαδραστικές εφαρμογές

Προσέγγιση του κύκλου από εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα

Παρακάτω, σκιαγραφείται η μέθοδος του Αρχιμήδη, στο περιβάλλον του Geogebra, για μια ακολουθία που αποτελείται από εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών. Προφανώς, η μέθοδος φιλτράρεται μέσα από το πρίσμα των σύγχρονων Μαθηματικών όπου αξιοποιούνται βασικά συμπεράσματα από την Τριγωνομετρία.

Διαδραστική εφαρμογή για την απόδειξη του τύπου του μήκους του κύκλου και την επικύρωση των ψηφίων του π.

(Αφού αλληλοεπιδράσετε με την προηγούμενη εφαρμογή, ίσως, πλέον, να μπορείτε να οδηγηθείτε στον τύπο,

$\dfrac{2}{\pi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\,\dots$

του Viète. Ο συγκεκριμένος τύπος, που διατυπώθηκε κατά το 1593, ενδεχομένως, να διεκδικεί τα πρωτεία ως προς την παρουσία και την αποδοχή μιας άπειρης διαδικασίας, όπως το παραπάνω γινόμενο, στα Μαθηματικά.)

Με δεδομένα τα προηγούμενα, να ανακαλέσετε την ισότητα $E_{\nu}=\dfrac{1}{2}P_{\nu}\alpha_{\nu}$ , όπου $E_{\nu}, P_{\nu}, \alpha_{\nu}$ παριστάνουν το εμβαδό, την περίμετρο και το απόστημα, αντίστοιχα, ενός κανονικού $\nu-$ γώνου. Έτσι, στην περίπτωση του κυκλικού δίσκου, μια κατάλληλη προσαρμογή δίνει,

$E=\dfrac{1}{2}L\rho,$

όπου $E, L$ το εμβαδό και η περίμετρος του κυκλικού δίσκου. Με αντικατάσταση του γνωστού πλέον τύπου για το $L$ προκύπτει ο αντίστοιχος τύπος για το $E$ .

“Ο π – ελάτης έχει πάντα δίκιο!”

Τέλος, θα μπορούσατε να εφαρμόσετε τις γνώσεις σας στο παρακάτω διαδραστικό πρόβλημα.

Μια απαιτητική πελάτισσα, με αφορμή την τροποποίηση ενός στρογγυλού γυάλινου τραπεζιού, “εξαντλεί” τα “όρια” των ικανοτήτων ενός δεξιοτέχνη υαλοποιού. Θα βοηθήσετε τον υαλοποιό να ολοκληρώσει την παραγγελία ικανοποιώντας την πελάτισσά του;