Η μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Ο Θαλής, με τη μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα, μάς συστήνει σε ένα ευρύ τομέα εφαρμογών της Γεωμετρίας. Ουσιαστικά, πρόκειται για τις απαρχές του κλάδου της Ομοιότητας και της Τριγωνομετρίας. Πράγματι, ο υπολογισμός του απρόσιτου ύψους του εντυπωσιακού μνημείου υλοποιήθηκε χάρη στην αντιστοίχισή του σ’ ένα “επίγειο” ανάλογό του.

Φανταστείτε, λοιπόν, να στέκεστε μπροστά στην τεράστια πυραμίδα του Χέοπα, ένα από τα πιο επιβλητικά αρχιτεκτονικά επιτεύγματα του αρχαίου κόσμου. Υπάρχει κάποιος έμμεσος τρόπος να προσδιορίσετε το ύψος της; Άραγε, πώς θα μπορούσατε να επιλύσετε το φαινομενικά αδύνατο πρόβλημα χωρίς τα σύγχρονα εργαλεία που διαθέτουμε σήμερα;

Στο άρθρο αυτό, θα εξερευνήσουμε τις απλές γεωμετρικές αρχές που χρησιμοποίησε ο Θαλής κατορθώνοντας να υπολογίσει με ακρίβεια το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα. Όπως θα διαπιστώσετε, φαίνεται, ότι, στη συγκεκριμένη περίπτωση, η σκιά – και όχι μόνο το φως – είναι αυτή που μπορεί να αποκαλύψει την αλήθεια …

Ο Θαλής ο Μιλήσιος

Ο Θαλής ο Μιλήσιος γεννήθηκε στη Μίλητο της Μ. Ασίας περίπου το 624 π.Χ.. Ήταν ο πρώτος απ’ τους επτά σοφούς της αρχαιότητας και ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος. Μάλιστα, ίσως, ιστορικά, να πρέπει να θεωρηθεί ως ο πρώτος μαθηματικός. Γενικότερα, αναζήτησε επιστημονικές εξηγήσεις για φυσικά φαινόμενα, απορρίπτοντας τις μυθολογικές ερμηνείες.

Η συμβολή του Θαλή στα μαθηματικά είναι καθοριστική. Αναμφίβολα, υπήρξε ο θεμελιωτής της Γεωμετρίας διότι εισήγαγε την απόδειξη. Ωστόσο, η πιο γνωστή συνεισφορά του είναι το Θεώρημα του Θαλή. Το Θεώρημα αναφέρει ότι αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε, τα τμήματα που ορίζονται στις δύο ευθείες είναι ανάλογα.

Από την άλλη μεριά, είναι αξιοσημείωτη η χρήση της Γεωμετρίας, από τον Θαλή, σε πρακτικά προβλήματα. Σύμφωνα με αναφορές, ο Θαλής, εκτός από τη μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα, στην Αίγυπτο, είχε τρόπο να υπολογίσει την απόσταση πλοίων από την ακτή χάρη στην ισότητα κατάλληλων τριγώνων.

Όμως, ποιοι μύησαν τον Θαλή στις γεωμετρικές μεθόδους; Ο Θαλής διδάχθηκε τη Γεωμετρία στον τόπο γέννησής της. Αυτός δεν ήταν άλλος από την Αρχαία Αίγυπτο. Αξίζει τον κόπο να γίνει μια αναφορά σ’ ένα πρόβλημα που ταλάνιζε τους Αιγύπτιους οδηγώντας τους στην ανακάλυψη των πρώτων γεωμετρικών εννοιών.

Οι πρώτες γεωμετρικές έννοιες στην Αίγυπτο

Οι Αιγύπτιοι, περίπου από το 3000 π.Χ., κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος, έπρεπε να αποκαταστήσουν τα σύνορα των ιδιοκτησιών τους. Αυτή η ανάγκη τους οδήγησε στο να διαμορφώσουν ένα σύνολο πρακτικών αρχών, που προοριζόταν, κυρίως, σε μετρήσεις πάνω στη γη.

Ο Θαλής μαθήτευσε δίπλα στους Αιγύπτιους ιερείς γνωρίζοντας τις πρώτες γεωμετρικές τεχνικές. Βέβαια, η διορατικότητά του θα του υπαγόρευε να αντιληφθεί σ’ αυτές τις διαδικασίες τη γέννηση μιας νέας επιστήμης. Πραγματικά, αντικείμενα της εμπειρίας όπως πάσσαλοι, σχοινιά, καθώς και κυκλικές περιφέρειες εδαφικών εκτάσεων, θα μπορούσαν να απεικονιστούν στο χαρτί ως σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες γραμμές και κύκλοι. Έτσι, με την επιστροφή του στην αρχαία Ελλάδα, μεταφέρει τις εμπειρικές αρχές των Αιγυπτίων σε μια πιο γενική εκδοχή τους. Εκείνη την εποχή, λοιπόν, θεμελιώνεται το υπόβαθρο πάνω στο οποίο μπορεί να γίνει η καταγραφή αλλά και η αιτιολόγησή τους.

Φυσικά, δεν είναι καθόλου τυχαίος ο τίτλος “Γεωμετρία”, που εμπνεύστηκαν οι Έλληνες για να περιγράψουν το σύνολο των αρχών αυτού του νέου επιστημονικού πεδίου. Διαχρονικά, ο τίτλος θα υπενθυμίζει τις καταβολές των πρώτων γεωμετρικών θεωρημάτων από τους λαούς της Ανατολής.

Τα πρώτα γεωμετρικά Θεωρήματα

Ενδεικτικά, ας αναφερθεί ότι οι παρακάτω πέντε προτάσεις πρέπει να ήταν γνωστές στους Αιγύπτιους. Εντούτοις, οι αποδείξεις τους αποδίδονται από ορισμένους ιστορικούς των Μαθηματικών στον Θαλή.

Κάθε διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα (ημικύκλια).
Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.
Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
Αν μία πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά ενός δεύτερου τριγώνου και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι ίσες μία προς μία, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.

Ο Θαλής και η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα

Ο αρχαίος Έλληνας ιστορικός Διογένης ο Λαέρτιος αναφέρει ότι ο Θαλής, κατά τη διάρκεια της παραμονής του στην Αίγυπτο, κατάφερε τη μέτρηση του ύψους της Πυραμίδας του Χέοπα. Σύμφωνα με εκείνον, ο Θαλής πραγματοποίησε τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας τη σκιά του εαυτού του. Εύστοχα, ο Θαλής παρατήρησε ότι αν κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε, το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά του ύψους της πυραμίδας.

Επομένως, η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας μπορούσε, τελικά, να γίνει στο έδαφος.

Όμως, ποια γωνία θα σχημάτιζαν, τότε, οι ακτίνες του ήλιου με το έδαφος;
Θα μπορούσε να συμβεί κάτι τέτοιο; Αν ναι, ποια χρονική στιγμή;
Τι προσανατολισμό έπρεπε να έχει η σκιά της πυραμίδας, ώστε να είναι δυνατό να μετρηθεί η σκιά του ύψους της;
Πώς μπορούσε ο Θαλής, έστω και στο έδαφος, να μετρήσει τη σκιά του ύψους της πυραμίδας, αφού ένα μέρος αυτής της σκιάς δεν ήταν ορατό;

Η διαδραστική εφαρμογή για τον υπολογισμό του ύψους της πυραμίδας

Το ακόλουθο γραφικό, με το οποίο μπορείτε να αλληλεπιδράσετε, βοηθά στο να κατανοηθούν, καλύτερα, τα προηγούμενα ερωτήματα. Η εφαρμογή σας δίνει τη δυνατότητα να μετακινήσετε, κατάλληλα, την κορυφή $A$ της πυραμίδας $KAB{\it\Gamma}{\it\Delta}$ αλλάζοντας τις διαστάσεις της βάσης της. Παρόμοια, μπορείτε να μετακινήσετε το άκρο $Z$ του ευθύγραμμου τμήματος $ZH$ αλλάζοντας το μήκος του.

Επίσης, χρησιμοποιώντας το σημείο ελέγχου του ήλιου, μπορείτε να αλλάξετε την κατεύθυνσή των ακτινών του φωτός. Ακόμη, για να περιστραφεί το γραφικό, αρκεί να κρατηθεί το δεξί πλήκτρο του ποντικιού πατημένο και να μετακινηθεί ο κέρσορας. Τέλος, μπορείτε να αλλάξετε τη θέση της πυραμίδας και του τμήματος μετακινώντας κατάλληλα σημεία. Μπορείτε να δοκιμάσετε να το επεξεργαστείτε από τώρα ή αφού ολοκληρώσετε την ανάγνωση του άρθρου.

Τα αστρονομικά δεδομένα

Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθούν τα εξής. Πρώτα απ’ όλα ότι το γεωγραφικό πλάτος της Γκίζας, όπου βρίσκεται η πυραμίδα, είναι $29^\circ 57'\approx 30^\circ$ βόρεια του Ισημερινού. Να παρατηρήσετε ότι η τιμή αυτή δεν απέχει σημαντικά από την απόκλιση ( $23,4^\circ$ ) του άξονα της γης.

Έτσι, κατά το θερινό ηλιοστάσιο, στις 21 Ιουνίου, όπου η διάρκεια της ημέρας είναι η μέγιστη, συμβαίνει το εξής αξιοπρόσεκτο. Τότε, οι ακτίνες του ήλιου, το μεσημέρι, θα είναι περίπου κάθετες. Άρα, θα σχηματίζουν, περίπου, γωνία $90^\circ$ με το έδαφος.

Αντίστοιχα, κατά το χειμερινό ηλιοστάσιο, στις 21 Δεκεμβρίου, όπου η διάρκεια της νύχτας είναι η μέγιστη, οι ακτίνες του ήλιου, το μεσημέρι, θα σχηματίζουν, περίπου, γωνία $30^\circ$ με το έδαφος.

Ας το εξηγήσουμε λίγο περισσότερο. Στα ηλιοστάσια, το βόρειο και το νότιο ημισφαίριο, αντίστοιχα, της γης “γέρνουν” προς τον ήλιο, τόσο, όσο η κλίση του άξονα της γης. Τότε, λοιπόν, ένας τόπος που βρίσκεται ψηλότερα, σε σχέση με τον Ισημερινό, τόσο, όσο αυτή η κλίση, θα έχει τις ακτίνες του ήλιου:

στην κατακόρυφο κατά το μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου.
να σχηματίζουν γωνία $90^\circ-30^\circ-23,4^\circ<span style="font-size: 12pt;"><span style="font-family: georgia,palatino;">\approx</span></span>30^\circ$ με το έδαφος.

Επομένως, ενδιάμεσα των δύο εξαμήνων 21 Ιουνίου – 21 Δεκεμβρίου και 21 Δεκεμβρίου – 21 Ιουνίου, αναλογικά και κατά προσέγγιση, οι ακτίνες του ήλιου, το μεσημέρι, θα σχηματίζουν γωνία $45^\circ$ με το έδαφος. Ίσως, αυτή η ειδική τιμή της γωνίας να διαδραμάτισε σημαντικό ρόλο στην προσπάθεια του Θαλή. Πραγματικά, όχι μακριά από τις δύο ισημερίες, δηλαδή, κοντά στις 23 Σεπτεμβρίου και στις 21 Μαρτίου, το μεσημέρι, το μήκος της σκιάς ενός κατακόρυφου αντικειμένου γίνεται ίσο με το ύψος του.

Τα δεδομένα στην κατασκευή της πυραμίδας

Από την άλλη μεριά, η πυραμίδα είχε κατασκευαστεί, έτσι, ώστε η μία έδρα της να είναι στραμμένη προς την ανατολή. Στο γραφικό η έδρα αυτή είναι η $KAB$ . Επομένως, αυτό σημαίνει ότι τα μεσημέρια, όπου ο ήλιος «βλέπει» την έδρα $KA\it\Delta$ , οι ακτίνες του ήλιου είναι κάθετες στην πλευρά $A\it\Delta$ της βάσης της πυραμίδας. Συνεπώς, τότε, η σκιά της πυραμίδας είναι το ισοσκελές τρίγωνο $K^{\prime }B\it\Gamma$ .

Φαίνεται ότι τόσο τα αστρονομικά δεδομένα της περιοχής όσο και τα δεδομένα της κατασκευής της πυραμίδας ήταν εξίσου ευνοϊκά.

Οι μαθηματικοί υπολογισμοί

Άρα, το μεσημέρι μιας τέτοιας μέρας, όπου η σκιά του Θαλή γινόταν ίση με το ύψος του, θα είχαμε,

$KO=OK^{\prime }=OE+EK^{\prime }=\dfrac{AB}{2}+EK^{\prime }.$

Προφανώς, τα επιμέρους μεγέθη βρίσκονται στο έδαφος και μπορούν, πλέον, να μετρηθούν.

Επίλογος

Την εποχή της κατασκευής της, το 2560 π. Χ., η πυραμίδα του Χέοπα είχε ύψος 146,6 μέτρα. Για 3800 χρόνια ήταν το ψηλότερο μνημείο στον κόσμο. Σήμερα, γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι 138,8 μέτρα, περίπου, αφού εκτός από καθίζηση έχει υποστεί και φθορές στο εξωτερικό της. Ο Θαλής πέθανε περίπου το 547 π.Χ..

Όμως, ό,τι συμβαίνει με την ύλη, δε συμβαίνει με το ανθρώπινο πνεύμα. Η βασική ιδέα που υπήρχε στη μέθοδο του Θαλή, γενικεύεται στο “Θεώρημα του Θαλή”, το οποίο παραμένει, αναλλοίωτα στο χρόνο, ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα των Μαθηματικών.

Αναφορές

Douglass C., Thales, California 2006.
Guedj D., Το Θεώρημα του παπαγάλου, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, 1999.
O’Connor J. J. and Robertson E. F., Thales of Miletus, School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland ,1999.
VanDerWaerdenB. L., Η αφύπνιση της επιστήμης, μετάφραση – επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007.
Wikipedia, the free encyclopedia, Great pyramid of Giza.
Η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα από τον Θαλή (η ταινία …) (Γυμνάσιο Μακρυκάπας)