Ο Νόμος των Συνημιτόνων

Εισαγωγή

Ο Νόμος των Συνημιτόνων εκφράζει μια μαθηματική σχέση που ελέγχει, τελικά, τη διαφορά του τετραγώνου μιας πλευράς ενός τριγώνου από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του.

Δραστηριότητα

Ο μηδέν αδικών ουδενός δείται νόμου. (μτφρ: Όποιος δεν αδικεί, δε χρειάζεται κανένα νόμο.)

Αντιφάνης, 405 – 335 π.Χ., Αρχαίος Κωμωδιογράφος

Να υποθέσετε ότι τα τρία τετράγωνα, σε καθένα απ’ τα ακόλουθα σχήματα, είναι από χρυσό.

Καθένας από δύο φίλους έχει να επιλέξει, σε κάθε περίπτωση, είτε το τετράγωνο πλευράς είτε τα άλλα δύο τετράγωνα, μαζί, πλευρών και .

• Ποια επιλογή θα ήταν περισσότερο συμφέρουσα κάθε φορά;
• Να προσδιορίσετε την «αδικία», που ενδεχομένως «συντελείται» σε κάποιες περιπτώσεις, μεταξύ της μοιρασιάς των δύο φίλων.
• Πότε, σε σχέση με τη γωνία , η προηγούμενη «αδικία» μεγιστοποιείται σε βάρος αυτού που επιλέγει το τετράγωνο πλευράς και πότε σε βάρος αυτού που επιλέγει τα άλλα δύο τετράγωνα, μαζί, πλευρών και ;
• Σε ποιες περιπτώσεις, λοιπόν, επιβάλλεται η «θέσπιση» κάποιου «νόμου»;

Η διαδραστική εφαρμογή – Τα “παραβατικά” τετράγωνα

Είναι δυνατόν αυτή η διαφορά – αυτός είναι ο μαθηματικός όρος για την προηγούμενη “αδικία” – να μετρηθεί συναρτήσει κατάλληλων στοιχείων του τριγώνου; Όπως θα διαπιστωθεί, σ΄αυτόν τον υπολογισμό, θα διαδραματίσει καταλυτικό ρόλο ένας γνωστός τριγωνομετρικός αριθμός.

Μπορείτε, λοιπόν, να ανακαλύψετε, με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής, το λόγο που τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου έχουν “παραβατική” συμπεριφορά και το νόμο που μπορεί να τα ελέγξει;

Η εφαρμογή διερευνά κάποιες ειδικές «καταχρηστικές» περιπτώσεις τριγώνων. Στόχος είναι να αποσαφηνιστεί η σχέση που συνδέει τα τρία τετράγωνα.

Για παράδειγμα, όταν ή όταν , ποια σχέση φαίνεται να ικανοποιούν οι πλευρές και ; Μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη σχέση των τετραγώνων τους;

Βέβαια, το κρίσιμο και ουσιαστικότερο ζήτημα είναι η περαιτέρω διερεύνηση. Συγκεκριμένα, εξετάζεται, γραφικά, η μεταβολή της προαναφερόμενης διαφοράς καθώς η γωνία διατρέχει όλες τις δυνατές τιμές. Ίσως το γράφημα που θα προκύψει να μην είναι τελείως άγνωστο σε εσάς.

Καλή ενασχόληση!