Όρια συναρτήσεων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Συνήθως, η διδασκαλία, κατά την παρουσίαση της ενότητας που αναφέρεται στα όρια συναρτήσεων, επικεντρώνεται στις αλγεβρικές μεθόδους υπολογισμού τους. Φυσικά, οι μέθοδοι αυτές ξεδιπλώνουν γνώσεις των μαθητών από προηγούμενες τάξεις. Εντούτοις, στον αντίποδα, κάποιες φορές, μ’ αυτόν τον τρόπο, μάλλον, επισκιάζεται ο γεωμετρικός χαρακτήρας των εξεταζόμενων ορίων. Έτσι, η κατάχρηση των υπολογιστικών διαδικασιών, ενδεχομένως, να επιβαρύνει την κατανόηση της έννοιας του ορίου.

Η έννοια του ορίου περιγραφικά

Γενικά, ο αριθμός, l, που προσεγγίζουν οι τιμές μιας συνάρτησης, f, (\displaystyle f\left( x \right)\to l) καθώς η ανεξάρτητη μεταβλητή, x, πλησιάζει ολοένα και περισσότερο (τείνει) σε κάποιον αριθμό, x_0, (\displaystyle x\to {{x}_{0}}), όταν υπάρχει, λέγεται όριο της συνάρτησης.

Σε μια τέτοια περίπτωση, γράφουμε, \displaystyle \underset{{x\to {{x}_{0}}}}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)=l.

Για παράδειγμα, για την ακόλουθη συνάρτηση,

προκύπτει, γραφικά, ότι, \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}=0, \displaystyle \underset{{x\to 4}}{\mathop{{\lim }}}\,\sqrt{x}=2 κ.ο.κ..

Επίσης, για τη συνάρτηση,

ισχύει, \displaystyle\underset{{x\to -2}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{{{x}^{2}}-4}}{{x+2}}} \right)=-4,

παρόλο που δεν ορίζεται όταν x=-2.

Τέλος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παρακάτω περίπτωση.

Μπορείτε να υπολογίσετε το \displaystyle\underset{{x\to 5}}{\mathop{{\lim }}}\,\varphi \left( x \right); (Μη βιαστείτε να απαντήσετε πως η ζητούμενη τιμή είναι το 2. Αυτό είναι η τιμή της συνάρτησης για x=5, δηλαδή το \varphi(5) και όχι το όριο της συνάρτησης, \displaystyle\underset{{x\to 5}}{\mathop{{\lim }}}\,\varphi \left( x \right), όπου το x τείνει στο 5.)

Η διαδραστική εφαρμογή

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή επιχειρεί να συγκεράσει δύο διδακτικές προσεγγίσεις για ορισμένα βασικά όρια συναρτήσεων. Πρώτα απ’ όλα, εστιάζει στον γραφικό τρόπο υπολογισμού των ορίων που πραγματεύεται. Από την άλλη μεριά, προσφέρει μια σειρά από υποδείξεις για τον αλγεβρικό τρόπο αντιμετώπισης των ορίων.

Η εφαρμογή είναι προσαρμοσμένη στην ύλη των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας που πλέον δε διδάσκονται στο Γενικό Λύκειο. Ωστόσο, ίσως, να προσφέρεται για μια πρώτη επαφή με μια έννοια που σίγουρα απαιτεί πιο διεξοδική διερεύνηση για την πληρέστερη κατανόησή της. (Μια αντίστοιχη εφαρμογή όπως και το σχετικό άρθρο, στο πνεύμα της ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού, υπάρχουν εδώ.)

Καλή ενασχόληση!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.