Όριο συνάρτησης - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Το όριο συνάρτησης καταλαμβάνει, παραδοσιακά, σημαντικό μερίδιο του διδακτικού χρόνου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου. Η έννοια του ορίου προετοιμάζει τους μαθητές, εννοιολογικά, για τους θεμελιώδεις ορισμούς και τις σπουδαιότερες προτάσεις που ακολουθούν. Ιδιαίτερα, παρέχει τα απαραίτητα συστατικά για να κατανοηθεί καλύτερα η συνέχεια, η παράγωγος και το ολοκλήρωμα συνάρτησης, που απαντώνται στην πορεία του μαθήματος .

Εκτός, βέβαια, από προπομπός του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού, η ενότητα αυτή ασκεί τους μαθητές με υπολογιστικές διαδικασίες. Οι περισσότερο αξιοσημείωτες περιλαμβάνουν τον εντοπισμό ορισμένων απροσδιόριστων μορφών υπολογισμού ορίων, καθώς και την άρση αυτών των απροσδιοριστιών έπειτα από την εφαρμογή κατάλληλων μεθόδων.

Η έννοια του ορίου

Πολλές φορές, είναι χρήσιμο να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης σε κάποια θέση του πεδίου ορισμού της.

Για παράδειγμα, η πλευρά ενός τετραγώνου, με εμβαδό $x$ , δίνεται από τον τύπο, $f(x)=\sqrt{x}, x\geq 0$ , οπότε η πλευρά του τετραγώνου εμβαδού $1000$ , ισούται με $f(1000)=10\sqrt{10}$ .

Ωστόσο, σε αρκετές περιπτώσεις, αυτό που αναζητείται, περισσότερο, είναι η “τάση” των τιμών της συνάρτησης για κάποια αντίστοιχη “τάση” των τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Για παράδειγμα, αν η χρέωση / εβδομάδα, για την ενοικίαση των ταινιών από ένα κατάστημα, δίνεται από τον τύπο $f(x)=\dfrac{x^2+x}{x}$ , όπου $x>0$ παριστάνει τον αριθμό των εβδομάδων, τότε, ποιο είναι το ελάχιστο ποσό που μπορεί να πληρώσει ένας πελάτης ανά εβδομάδα;

Πρώτα απ’ όλα, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, από τις συνθήκες του προβλήματος, το $x$ δε μπορεί να λάβει την τιμή $0$ που σίγουρα θα ελαχιστοποιούσε τη χρέωση / εβδομάδα. Αυτό, όμως, που θα μπορούσε να γίνει είναι να αφεθεί ελεύθερο το $x$ να πλησιάσει οσοδήποτε κοντά στο $0$ ( $x\rightarrow 0$ ) και να διαπιστωθεί αν οι τιμές $f(x)$ τείνουν να προσεγγίσουν, αντίστοιχα, κάποιο “όριο” $l$ .

Δε θα δυσκολευτείτε να πειστείτε ότι $f(x)\rightarrow 1$ καθώς $x\rightarrow 0$ . (Για $x=0,1$ , είναι $f(x)=1,1$ , για $x=0,01$ , είναι $f(x)=1,01$ , για $x=0,001$ , είναι $f(x)=1,001$ κ.ο.κ..) Αυτό συμβολίζεται, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+x}{x}=1$ και διαβάζεται “το όριο της παράστασης $\dfrac{x^2+x}{x}$ καθώς το $x$ τείνει στο $0$ είναι $1$ .”

Ωστόσο, η πρώτη σας επαφή με την έννοια του ορίου ίσως να σάς μεταφέρει σε προηγούμενες τάξεις. Ενδεικτικά, στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου, διαπιστώσατε ότι η παράσταση $\big (1+ \dfrac{1}{\nu}\big)^{\nu},$ όπου $\,\nu\in\mathbb{N}$ , προσεγγίζει τον περίφημο αριθμό του Euler ( $e\approx 2,718$ ), καθώς το $\nu$ αυξάνεται απεριόριστα, ή, όπως λέμε, καθώς το $\nu$ τείνει στο συν άπειρο, δηλαδή ότι, $\displaystyle\lim_{\nu\to+\infty} \big (1+ \dfrac{1}{\nu}\big)^{\nu} =e$ . Παρόμοια όρια συναντήσατε, τουλάχιστον περιγραφικά, στη Γεωμετρία, κατά την προσέγγιση του κύκλου από κανονικά πολύγωνα.

Πλευρικά όρια

Κάποιες φορές, κατά τη διερεύνηση ενός ορίου, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$ , είναι αναγκαίο η μεταβλητή να τείνει στο σημείο $x_{0}$ μόνο από μια ορισμένη πλευρά· είτε από μικρότερες τιμές ( $x<x_{0}$ ), είτε από μεγαλύτερες τιμές ( $x>x_{0}$ ). Πρόκειται για τα πλευρικά όρια, τα οποία συμβολίζονται, αντίστοιχα, με $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)$ .

Μάλλον είναι αυτονόητο ότι για να υπάρχει το όριο συνάρτησης, σε κάποια θέση όπου μπορούν να αναζητηθούν τα πλευρικά όρια, πρέπει και αρκεί τα πλευρικά όρια να υπάρχουν και να είναι ίσα. Τι πιστεύετε ότι συμβαίνει με το όριο της παρακάτω συνάρτησης στο σημείο $1$ ;

Μη πεπερασμένα όρια

Η συνάρτηση, $\dfrac{1}{x^2}$ , καθώς το $x\to 0$ , λαμβάνει τιμές οι οποίες αυξάνονται απεριόριστα ξεπερνώντας οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Αυτό συμβολίζεται, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty$ και διαβάζεται “το όριο της $\dfrac{1}{x^2}$ , καθώς το $x\to 0$ , ισούται με συν άπειρο.” Παρόμοια, $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{1}{x}=-\infty$ και $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ .

Απλές περιπτώσεις

Για μια σημαντική κατηγορία, το όριο συνάρτησης, σ’ ένα σημείο, $x_0$ , υπολογίζεται σχετικά εύκολα. Συγκεκριμένα, η τιμή του προκύπτει αντικαθιστώντας τη μεταβλητή της συνάρτησης από την τιμή $x_0$ στην οποία η μεταβλητή τείνει. Μια τέτοια συνάρτηση, γραφικά, δε διακόπτεται στο σημείο $x_0$ το οποίο, προφανώς, ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Για το λόγο αυτό μια τέτοια συνάρτηση καλείται συνεχής στο $x_0$ . Να παρατηρήσετε τις παρακάτω εικόνες για να αντιληφθείτε τη σχετική διαφορά και τη συσχέτιση με τα αντίστοιχα όρια.

Αν είστε εξοικειωμένοι με τις γραφικές παραστάσεις των στοιχειωδών συναρτήσεων και τις μετατοπίσεις των γραφημάτων, που έχετε διδαχθεί στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου, σε συνδυασμό με ορισμένους “αναμενόμενους” κανόνες υπολογισμού των ορίων, δε θα δυσκολευτείτε να πειστείτε, για παράδειγμα, ότι,

$\lim_{x\to1}(x^3-2x^2+1)=1^3-2\cdot1^2+1=0,$

$\lim_{x\to-1}\dfrac{x-1}{x^3-1}=\dfrac{-1-1}{(-1)^3-1}=1,$

$\lim_{x\to\pi}\operatorname{sin}(x-\dfrac{\pi}{2})=\operatorname{sin}(\pi-\dfrac{\pi}{2})=\operatorname{sin}(\pi/2)=1,$

$\lim_{x\to 0}(e^{x^2-1})=e^{-1}=\dfrac{1}{e}.$

Απροσδιόριστες μορφές

Από την άλλη μεριά, επιχειρώντας κανείς να υπολογίσει το όριο $l=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{x^2-1}$ , θα αντιλαμβανόταν ότι δεν υπάρχει δυνατότητα υπολογισμού του, με αντικατάσταση της μεταβλητής από το $1$ . Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο $1$ , ενώ, η αντικατάσταση οδηγεί στην απροσδιοριστία $\dfrac{0}{0}$ . Όταν, όμως, παραγοντοποιηθούν οι όροι του κλάσματος, τότε, μετά από την εφαρμογή των απλοποιήσεων, συνάγεται ότι, $l=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x+1}$ . Για το τελευταίο όριο, προφανώς, $l=\dfrac{1}{2}$ . Έτσι, αίρεται η προηγούμενη απροσδιοριστία. Ας σημειωθεί ότι οι απλοποιήσεις είναι θεμιτές μιας και το όριο αναζητείται όταν $x \to1$ που σημαίνει ότι μπορεί να θεωρείται $x\neq1$ .

Ενδιαφέρον παρουσιάζει κι ο υπολογισμός ορίων όπου η εμφανιζόμενη απροσδιοριστία οφείλεται στην ύπαρξη ριζικών. Για παράδειγμα, το όριο $l=\displaystyle\lim_{x\to9}\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}$ , θα μπορούσε να υπολογιστεί αφού, πρώτα, οι όροι του κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τη συζυγή παράσταση της $\sqrt{x}-3$ , δηλαδή με την παράσταση $\sqrt{x}+3$ .

Πράγματι, $l=\displaystyle\lim_{x\to9}\dfrac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3) (\sqrt{x}+3) } =\displaystyle\lim_{x\to9}\dfrac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9} =\displaystyle\lim_{x\to9}(\sqrt{x}+3)=6$ .

Τέλος, στον πυρήνα της απροσδιοριστίας, για μια σειρά από τριγωνομετρικά όρια, βρίσκεται το χαρακτηριστικό όριο, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sin}x}{x}$ . Να επιχειρήσετε, με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, να συγκρίνετε, για “πολύ μικρά” $x$ , τις ποσότητες $\operatorname{sin}x$ και $x$ . Δε θα διαφωνήσετε ότι μπορούμε, χωρίς “μετρήσιμο” σφάλμα, να θεωρήσουμε ότι $\operatorname{sin}x\approx x$ , για $x$ αρκούντως μικρά. Τι μπορεί να σημαίνει η τελευταία παρατήρηση για την τιμή του προηγούμενου ορίου;

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, ίσως, να μπορούσατε να εξασκηθείτε με μια πλούσια γκάμα ορίων εμπλουτίζοντας τις υπολογιστικές διαδικασίες που αναφέρθηκαν πρωτύτερα. Τα περισσότερα είναι στο πνεύμα των αντίστοιχων ασκήσεων του σχολικού βιβλίου:

Απλά όρια τα οποία τελικά υπολογίζονται με αντικατάσταση της μεταβλητής από την τιμή στην οποία τείνει.
Απροσδιοριστία ( $\dfrac{0}{0}$ ) ρητών συναρτήσεων.
Απροσδιοριστία ( $\dfrac{0}{0}$ ) που προκαλείται από την ύπαρξη ριζικής παράστασης στον αριθμητή.
Απροσδιοριστία ( $\dfrac{0}{0}$ ) που προκαλείται από την ύπαρξη ριζικής παράστασης στον παρονομαστή.
Απροσδιοριστία ( $\dfrac{0}{0}$ ) που προκαλείται από την ύπαρξη ριζικής παράστασης στον αριθμητή και στον παρονομαστή.
Απροσδιοριστία που προκαλείται από χαρακτηριστικά τριγωνομετρικά όρια.
Τυχαίες επιλογές και συνδυασμοί από τις προηγούμενες κατηγορίες.