Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα ορόσημο σε μια μακρά διαδρομή. Η επιστημονική κοινότητα, παρόλο που τα είχε καταφέρει, περίφημα, με την περίπτωση των εμβαδών ευθύγραμμων σχημάτων, ταλανιζόταν, για αιώνες, από το πρόβλημα της αναζήτησης μεθόδων υπολογισμού εμβαδών μη ευθύγραμμων σχημάτων.

Η γεωμετρική μέθοδος εξάντλησης του Αρχιμήδη σηματοδοτεί, 2500 χρόνια πριν, την αφετηρία προς την κατεύθυνση θεμελίωσης του ορισμένου ολοκληρώματος. Τελικά, η έννοια εδραιώνεται, κατά τον 17^ο αιώνα, πάνω στις αναλυτικές μεθόδους των Ισαάκ Νεύτων (Isaac Newton) και Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibniz) οι οποίοι υπήρξαν οι προπάτορες του Απειροστικού Λογισμού.

Ο Λάιμπνιτς, στα τέλη του 17^ου αιώνα, για να περιγράψει τις έννοιες και τις διαδικασίες της ενότητας που, μετέπειτα, θα ονομαζόταν “Ολοκληρωτικός Λογισμός”, πρότεινε, αρχικά, τον όρο “Αθροιστικός Λογισμός”.

Άλλωστε, όπως θα γίνει φανερό, το (ορισμένο) ολοκλήρωμα, $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ δεν είναι τίποτε άλλο από ένα ιδιότυπο άθροισμα. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για ένα “άθροισμα γινομένων”, $f(x)\cdot\mathrm{d}x$ , των τιμών, $f(x)$ , της συνάρτησης επί τα “αντίστοιχα” $\mathrm{d}x$ , από το $\alpha$ ως το $\beta$ .

Όμως, τι ακριβώς μπορεί να δηλώνει ένα τέτοιο άθροισμα γινομένων;
Τι σημαίνουν οι προσθεταίοι $f(x)\cdot\mathrm{d}x$ των τιμών, $f(x)$ , της συνάρτησης επί τα “αντίστοιχα” $\mathrm{d}x$ , από το $\alpha$ ως το $\beta$ ;
Τι εξυπηρετεί ο ορισμός αυτού του αθροίσματος;

Αρχικά, θα ψηλαφίσουμε τις απαντήσεις στα προηγούμενα ερωτήματα αποσκοπώντας σε μια πρώτη επαφή με την κεντρική ιδέα που διαμόρφωσε τη θεωρία των ολοκληρωμάτων.

Στη συνέχεια, θα έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να οριστεί το ολοκλήρωμα με πιο αυστηρό τρόπο. Επιπλέον, θα παρουσιαστούν οι σημαντικότερες ιδιότητές του και τα θεωρήματα που το συνοδεύουν.

Τέλος, αξίζει τον κόπο, μέσω μιας διαδραστικής εφαρμογής Geogebra, να γνωρίσετε τις εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος, σε διάφορες περιπτώσεις, κατά τον υπολογισμό εμβαδών χωρίων.

Ο συμβολισμός

Ας σημειωθεί, παρενθετικά, ότι το σύμβολο $\int$ αποτελεί μια επιμήκυνση του κεφαλαίου γράμματος, “S”. Εδώ, το “S” προέρχεται από τη λέξη sum που σημαίνει άθροισμα.

Επίσης, το σύμβολο $\int_{\alpha}^{\beta}$ , υποδεικνύει ότι το άθροισμα οριοθετείται από τα άκρα, $\alpha$ και $\beta$ , κάτι που θα αναλυθεί στη συνέχεια.

Τέλος, το σύμβολο $\mathrm{d}x$ παριστάνει τη στοιχειώδη μεταβολή του $x$ , δηλαδή μια “οριακή” εκδοχή της διαφοράς, $\Delta x=x_{\mathrm{\tau\epsilon\lambda.}}-x_{\mathrm{\alpha\rho\chi.}}$ , όπως θα εξηγηθεί αργότερα.

Το βασικό ερέθισμα

Το κίνητρο ορισμού των ολοκληρωμάτων θα πρέπει να αναζητηθεί κατά τον υπολογισμό εμβαδών χωρίων που οριοθετούνται από τη γραφική παράσταση της $f$ , από τον οριζόντιο άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\alpha$ και $x=\beta$ .

Τον 17^ο αιώνα, όπου αναζωογονήθηκε το ενδιαφέρον τετραγωνισμού διάφορων καμπυλών, ήταν συνηθισμένη πρακτική να επιστρατεύονται ακολουθίες ορθογωνίων για να προσεγγιστούν, οριακά, διάφορα εμβαδά καμπυλόγραμμων σχημάτων.

Τέτοιες διαδικασίες, περίπου έναν αιώνα αργότερα, γενικεύτηκαν, από τους Νεύτων και Λάιμπνιτζ, στη μέθοδο της ολοκλήρωσης. Το 1854, ο Γερμανός μαθηματικός, Bernhand Riemann, θα θεμελιώσει, με πιο συστηματικό τρόπο, την έννοια του ολοκληρώματος το οποίο γενικεύει το εμβαδόν ενός χωρίου όπως το παραπάνω.

Για μια πρώτη γεύση, να αναρωτηθείτε, για παράδειγμα, ποιος τύπος θα μπορούσε να εκφράσει το συνολικό εμβαδόν των μπλε ορθογωνίων του παρακάτω σχήματος.

Να λάβετε υπόψη ότι τα ορθογώνια έχουν τις ίδιες βάσεις. Επιπλέον, να παρατηρήσετε ότι τα ύψη τους ισούνται με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης στα επιλεγμένα σημεία εντός των βάσεών τους. Στο σχήμα, τα σημεία αυτά συμβολίζονται με $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_\nu$ , ή συντομογραφικά, με $\xi_{\kappa}$ , όπου $\kappa=1,2,\dots,\nu$ . Ακόμη, για να απλοποιήσετε την απάντησή σας, θα μπορούσατε να συμβολίσετε με $\Delta x$ την κοινή τιμή της βάσης των ορθογωνίων.

Μήπως, πλέον, είστε έτοιμοι για τον υπολογισμό του συνολικού εμβαδού των μπλε ορθογωνίων;

Το άθροισμα,

$\begin{align*}S&={\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}}\\&=f(\xi_1)\Delta x+f(\xi_2)\Delta x+\cdots+f(\xi_\nu)\Delta x,\end{align*}$

στο οποίο καταλήγει η προηγούμενη διερεύνηση, θα μπορούσε να αξιοποιηθεί στον προσδιορισμό του εμβαδού, $E(\Omega)$ , του γραμμοσκιασμένου χωρίου, $\Omega$ . Για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο αρκεί να αυξηθεί απεριόριστα το πλήθος των παραπάνω ορθογωνίων.

Άραγε, το εμβαδόν, $E(\Omega)$ , να προκύπτει ως κατάλληλη οριακή τιμή του προηγούμενου αθροίσματος;

Διεύρυνση της έννοιας του εμβαδού χωρίου

Ας δούμε, σ’ ένα αναλυτικό πλαίσιο, πως υλοποιείται η διεύρυνση της έννοιας του εμβαδού χωρίου. Προφανώς, θα πορευτούμε με αιχμή του δόρατος μια άπειρη, οριακή, διαδικασία.

Θεωρούμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς και μη αρνητικής συνάρτησης, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ .

Πως θα μπορούσε να υπολογιστεί το εμβαδόν, $E(\Omega)$ , του χωρίου $\Omega$ ;

Το χωρίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ , από τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\alpha$ και $x=\beta$ .

Η ανάλυση της μεθόδου της ολοκλήρωσης, στο πλαίσιο υπολογισμού του εμβαδού του παραπάνω χωρίου, $\Omega$ , έχει ως εξής.

Το διάστημα $[\alpha,\beta]$ υποδιαιρείται σε $\nu$ , όπου $\nu \geq 1$ , υποδιαστήματα,

$[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots[x_{\nu-1},x_{\nu}].$

Τα υποδιαστήματα αυτά έχουν ίσο πλάτος, $\Delta x$ . Δηλαδή,

$\begin{align*}\Delta x&=x_1-x_0\\&=x_2-x_1\\&=\dots\\&=x_\nu-x_{\nu-1}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}{\nu}.\end{align*}$

Συντομογραφικά, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , είναι,

$\begin{align*}\Delta x&=x_{\kappa}-x_{\kappa-1}\\&=\dfrac{\beta-\alpha}{\nu}.\end{align*}$

Σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα επιλέγουμε ένα ενδιάμεσο σημείο και υψώνουμε ορθογώνιο όσο η τιμή της συνάρτησης σ’ αυτό το ενδιάμεσο σημείο. Έτσι, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , επιλέγεται σημείο,

$\xi_{\kappa}\in[x_{\kappa-1},x_{\kappa}],$

με $f(\xi_{\kappa})$ να παριστάνει το ύψος του αντίστοιχου ορθογωνίου.

Προφανώς, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , το αντίστοιχο ορθογώνιο έχει εμβαδόν,

$\begin{align*}E_{\kappa}&=f(\xi_{\kappa})\cdot (x_{\kappa}-x_{\kappa-1})\\&=f(\xi_{\kappa})\cdot\Delta x.\end{align*}$

Επομένως, το άθροισμα, $S_{\nu}$ , των εμβαδών όλων αυτών των ορθογωνίων ισούται με,

$S_{\nu}=f(\xi_{1})\Delta x+f(\xi_{2})\Delta x+\ldots+f(\xi_{\nu})\Delta x.$

Το άθροισμα, $S_{\nu}$ , ονομάζεται και άθροισμα Riemann της $f$ . Περιγραφικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω γραφικό, καθώς ο αριθμός, $\nu$ , των υποδιαστημάτων αυξάνεται απεριόριστα, το προηγούμενο άθροισμα πλησιάζει όλο και περισσότερο το εμβαδόν, $E(\Omega)$ , του χωρίου $\Omega$ .

Επειδή η $f$ είναι συνεχής μπορεί να αποδειχθεί ότι το όριο του προηγούμενου αθροίσματος (Riemann), καθώς $\nu\to +\infty$ , υπάρχει στο $\mathbb{R}$ . Έτσι,

$\begin{align*}E(\Omega)&=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}\\&=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\left({\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}}\right).\end{align*}$

Το τελευταίο όριο ονομάζεται (ορισμένο) ολοκλήρωμα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ και συμβολίζεται με $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ .

Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος

Γενικότερα, θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ .

Το διάστημα $[\alpha,\beta]$ έχει διαμεριστεί σε $\nu$ , όπου $\nu \geq 1$ , ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x$ .

Έστω, ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{\nu }}$ , τα σημεία του διαστήματος, $[\alpha,\beta]$ , που αποτελούν τα άκρα των προηγούμενων υποδιαστημάτων.

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , έχει επιλεγεί ένα τυχαίο ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}$ , στο διάστημα $[x_{\kappa}-1,x_{\kappa}]$ . Θέτουμε, $S_{\nu}=\left( {f\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right)$ , για το άθροισμα (Riemann) της $f$ που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διαμέριση του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ και στη συγκεκριμένη επιλογή ενδιάμεσων σημείων.

Η τιμή του ορίου,

$\displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}= \displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {f\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right)$

ονομάζεται (ορισμένο) ολοκλήρωμα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ και συμβολίζεται με $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ .

( Αποδεικνύεται ότι το συγκεκριμένο όριο υπάρχει στο $\mathbb{R}$ και, ότι, μάλιστα, είναι ανεξάρτητο της επιλογής των ενδιάμεσων σημείων. )

Δηλαδή, συντομογραφικά,

$\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}} \right).$

Τα $\alpha$ και $\beta$ λέγονται όρια ολοκλήρωσης.

Γεωμετρικά, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα,

είναι

$\int_\alpha^{\beta}f\left( x \right)\mathrm{d}x=E(\Omega_1)-E(\Omega_2)+E(\Omega_3).$

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τον ορισμό

Στα πρώτα βήματα οικοδόμησης μιας νέας έννοιας, το μόνο όπλο, που διαθέτει κανείς στη φαρέτρα του, είναι ο ορισμός της. Αξίζει τον κόπο να υπολογιστούν κάποια ορισμένα ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων με τη βοήθεια του ορισμού. Για λόγους απλότητας, θα ολοκληρώσουμε τις συναρτήσεις στο $[0,\mu]$ , όπου $\mu$ θετική σταθερά. Βέβαια, η εφαρμογή του ορισμού είναι απαιτητική διαδικασία. Ωστόσο, να επιδείξετε υπομονή! Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος καθώς και το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, που θα αναφέρουμε παρακάτω, μάς απελευθερώνουν από τέτοιες υπολογιστικές διαδικασίες.

Ολοκλήρωμα σταθερής

$f(x)=c$ . (Σταθερή συνάρτηση.)

Για $\mu>0$ , το διάστημα $[0,\mu]$ διαμερίζεται σε $\nu$ , όπου $\nu \geq 1$ , ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x=\frac{\mu}{\nu}$ .

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , επιλέγεται ένα τυχαίο ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}$ , στο αντίστοιχο διάστημα. (Οποιαδήποτε επιλογή ενδιάμεσων σημείων εξυπηρετεί το ίδιο διότι, εδώ, ειδικά, η συνάρτηση $f$ είναι σταθερή.)

Είναι,

$\int_0^{\mu}f(x)\mathrm{d}x=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}} \right)$

Έτσι,

$\begin{align*} \int_0^{\mu}f(x)\,\mathrm{d}x &= \underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{\kappa =1}^{\nu }{c} \frac{\mu}{\nu}\right)\\ &= \underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \nu c \frac{\mu}{\nu}\right)\\ &= \underset{\nu \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( c \cdot \mu\right). \end{align*}$

Άρα,

$\int_0^{\mu}f(x)\mathrm{d}x=c \cdot \mu.$

Ο ίδιος τύπος αποδεικνύεται, όμοια, στην περίπτωση που $\mu<0$ .

Ολοκλήρωμα ταυτοτικής

$f(x)=x$ . (Ταυτοτική συνάρτηση)

Για $\mu>0$ , το διάστημα $[0,\mu]$ διαμερίζεται σε $\nu$ , όπου $\nu \geq 1$ , ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x=\frac{\mu}{\nu}$ .

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , επιλέγεται το ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}=\frac{\kappa\cdot\mu}{\nu}$ , στο αντίστοιχο διάστημα. (Η συγκεκριμένη επιλογή ενδιάμεσων σημείων, που απαρτίζεται από τα δεξιά άκρα των υποδιαστημάτων της διαμέρισης του $[0,\mu]$ , θα αποδειχθεί ιδιαίτερα βολική.)

Είναι,

$\int_0^{\mu}f(x)\mathrm{d}x=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}} \right)$

Έτσι,

$\begin{align*} \int_0^{\mu} f(x) \, \mathrm{d}x &= \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}} \left( \sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{\xi_\kappa}} \frac{\mu}{\nu} \right)\\ &= \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}} \left( \sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu } \frac{\kappa \cdot \mu}{\nu} \frac{\mu}{\nu} \right)\\ &= \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}} \left( \frac{\mu^2}{\nu^2} \cdot \sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }\kappa \right) \end{align*}$

Άρα,

$\begin{align*}\int_0^{\mu}f(x)\mathrm{d}x&=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( \frac{\mu^2}{\nu^2} \cdot \frac{\nu(\nu+1)}{2}\right)\\&=\frac{\mu^2}{2}.\end{align*}$

Ο ίδιος τύπος αποδεικνύεται, όμοια, στην περίπτωση που $\mu<0$ .

Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

Χρήσιμες συμβάσεις

Αρχικά, θα ήταν καλό να γίνουν ορισμένες συμβάσεις. Για λόγους πληρότητας, που θα γίνουν κατανοητοί αργότερα, το ορισμένο ολοκλήρωμα θα οριστεί και στις εξής περιπτώσεις:

Όταν το άνω όριο ολοκλήρωσης είναι μικρότερο από το κάτω όριο ολοκλήρωσης, όπως στο ολοκλήρωμα $\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}x}}$ , όπου $\beta<\alpha$ .
Όταν τα δύο όρια ολοκλήρωσης είναι ίσα, όπως στο ολοκλήρωμα $\int_{\alpha }^{\alpha }{{f\left( x \right)\text{d}x}}$ .

Έστω, λοιπόν, $f$ μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα και έστω $\alpha, \beta$ σημεία τού διαστήματος αυτού με $\beta<\alpha$ . Ορίζουμε,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}x}}=-\int_{\beta }^{\alpha }{{f\left( x \right)\text{d}x}}$ . (Κατά μία έννοια, για τα ορθογώνια, στα αντίστοιχα αθροίσματα Riemann των δύο ολοκληρωμάτων, προκύπτουν αντίθετες τιμές για τις διαφορές $\Delta x$ .)
$\int_{\alpha }^{\alpha }{{f\left( x \right)\text{d}x}}=0$ . (Κατά μία έννοια, η βάση του ορθογωνίου, στο αντίστοιχο άθροισμα Riemann του ολοκληρώματος, μπορεί να θεωρηθεί ίση με το $0$ .)

Φαινομενικά, οι προηγούμενες δύο ισότητες δείχνουν να στερούνται νοήματος. Ωστόσο, επιτρέπουν την ενιαία εφαρμογή ορισμένων τύπων που θα αναφερθούν σε λίγο.

(Αυτή είναι μια συνήθης πρακτική στα Μαθηματικά. Ενδεικτικά, για $\alpha\neq0$ και $\nu$ φυσικό, ορίζουμε, συμβατικά, ότι $\alpha^{0}=1$ και $\alpha^{-\nu}=\frac{1}{\alpha^{\nu}}$ , για να μπορούμε π.χ. να γράφουμε $\frac{\alpha^{\kappa}}{\alpha^{\lambda}}=\alpha^{\kappa-\lambda}$ ακόμη κι όταν $\kappa\leq\lambda$ . Αν δεν είχαμε τις συγκεκριμένες εξ’ ορισμού ισότητες, τότε, σε ορισμένες αλγεβρικές διαδικασίες, θα χρειάζονταν επιπλέον χρονοβόρες και, τελικά, περιττές διερευνήσεις.)

Προσθετικότητα του ολοκληρώματος

Στην παρακάτω εικόνα,

παριστάνεται μια συνεχής συνάρτηση $f:\left[{\alpha,\beta}\right]\to\mathbb{R}$ . Μάλιστα, είναι $f\left( x \right)\geq0$ . Το χωρίο $\Omega$ περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ , από τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\alpha$ και $x=\beta$ . Η κατακόρυφη ευθεία $x=\gamma$ , διαμερίζει το $\Omega$ στα χωρία $\Omega_1$ και $\Omega_2$ .

Η γεωμετρική ισότητα, $E(\Omega)=E(\Omega_1)+E(\Omega_2)$ , μετασχηματίζεται στην αναλυτική ισότητα,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x=\int_{\alpha }^{{\gamma}}{{f\left( x \right)\text{d}}}x+\int_{{\gamma}}^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x.$

Ο προηγούμενος τύπος εκφράζει την προσθετικότητα του ορισμένου ολοκληρώματος. Η ιδιότητα αυτή η οποία είναι φανερή όταν $\alpha<\gamma<\beta$ , εξακολουθεί να ισχύει ανεξάρτητα από τη διάταξη των $\alpha,\beta,\gamma$ . Για παράδειγμα, $\int_{1}^{4}{{f\left( x \right)\text{d}}}x=\int_{1}^{3}{{f\left( x \right)\text{d}}}x+\int_{3}^{4}{{f\left( x \right)\text{d}}}x$ , οπότε, $\int_{1}^{3}{{f\left( x \right)\text{d}}}x=\int_{1}^{4}{{f\left( x \right)\text{d}}}x-\int_{3}^{4}{{f\left( x \right)\text{d}}}x$ , άρα, $\int_{1}^{3}{{f\left( x \right)\text{d}}}x=\int_{1}^{4}{{f\left( x \right)\text{d}}}x+\int_{4}^{3}{{f\left( x \right)\text{d}}}x$ .

Στο προηγούμενο παράδειγμα, για πρώτη φορά, αποκαλύπτεται η αξία των συμβάσεων που προηγήθηκαν. Μας απαλλάσσουν από άσκοπες διερευνήσεις, αναφορικά με τη διάταξη των ορίων ολοκλήρωσης, όταν κάνουμε χρήση του κανόνα της προσθετικότητας του ορισμένου ολοκληρώματος.

Μπορούμε, πλέον, να επεκτείνουμε τους υπολογισμούς των δύο ολοκληρωμάτων που έγιναν με τη βοήθεια του ορισμού.

$f(x)=c.$ (Σταθερή συνάρτηση.)

$\begin{align*}\int_\alpha^{\beta}c\mathrm{d}x&=\int_\alpha^{0}c\mathrm{d}x+\int_0^{\beta}c\mathrm{d}x\\&=-\int_0^{\alpha}c\mathrm{d}x+\int_0^{\beta}c\mathrm{d}x\\&=-c\alpha+c\beta&\\&=c(\beta-\alpha).\end{align*}$

Όταν $c>0$ , μπορείτε να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω συμπεράσματος;
Μήπως, στο ακόλουθο σχήμα, αναγνωρίζετε το εμβαδό του χωρίου με το οποίο ισούται το παραπάνω ολοκλήρωμα;

$f(x)=x.$ (Ταυτοτική συνάρτηση.)

$\begin{align*}\int_\alpha^{\beta}x\mathrm{d}x&=\int_\alpha^{0}x\mathrm{d}x+\int_0^{\beta}x\mathrm{d}x\\&=-\int_0^{\alpha}x\mathrm{d}x+\int_0^{\beta}x\mathrm{d}x\\&=-\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\beta^2}{2}\\&=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}.\end{align*}$

Όταν $\alpha,\beta>0$ , μπορείτε να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω συμπεράσματος;
Μήπως στο ακόλουθο σχήμα, αναγνωρίζετε το εμβαδό του χωρίου με το οποίο ισούται το παραπάνω ολοκλήρωμα;

Γραμμικότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Όπως είδαμε, το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα όριο ενός αθροίσματος. Έτσι, από τις γνωστές ιδιότητες των ορίων, σε συνδυασμό με την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού αριθμών ως προς την πρόσθεση, προκύπτουν οι εξής ιδιότητες.

Έστω , $f,g:\left[ {\alpha ,\beta } \right]\to \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις και έστω $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ . Τότε,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{\lambda f\left( x \right)\text{d}}}x=\lambda\cdot \int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x.$
$\int_{\alpha }^{\beta }{{\left( {f\left( x \right)+g\left( x \right)} \right)\text{d}x}}=\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}x+}}\int_{\alpha }^{\beta }{{g\left( x \right)\text{d}}}x.$
$\int_{\alpha }^{\beta }{{\left( {\lambda f\left( x \right)+\mu g\left( x \right)} \right)\text{d}x}}=\lambda\cdot \int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}x+}}\mu\cdot \int_{\alpha }^{\beta }{{g\left( x \right)\text{d}}}x.$

Επομένως, με βάση τους τύπους για τα ολοκληρώματα σταθερής και ταυτοτικής συνάρτησης, έχουμε, για παράδειγμα,

$\begin{align*} \int_{1}^{4} \left( 2x - 5 \right) \text{d}x &= 2 \cdot \int_{1}^{4} x \text{d}x - \int_{1}^{4} 5 \text{d}x\\ &= 2 \cdot \frac{4^2 - 1^2}{2} - 5(4 - 1)\\ &= 15 - 15\\ &= 0. \end{align*}$

Διάταξη και ολοκλήρωση

Θα συμφωνείτε ότι, γεωμετρικά, μάλλον είναι προφανές ότι για μια, μη αρνητική, συνεχή συνάρτηση, σ’ ένα κλειστό διάστημα, το αντίστοιχο ολοκλήρωμα θα είναι επίσης μη αρνητικό. Αυτό έχει την εξής συνέπεια. Αν μία συνάρτηση είναι μεγαλύτερη ή ίση από μία άλλη, σ’ ένα κλειστό διάστημα, τότε, τα αντίστοιχα ολοκληρώματα θα έχουν την ίδια διάταξη. Όπως θα γίνει φανερό, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, τα δύο συμπεράσματα θα μπορούσαν να βελτιωθούν.

Έστω $f:\left[ {\alpha ,\beta } \right]\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση, όπου $f(x)\geq 0$ , στο διάστημα $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ . Τότε,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{ f\left( x \right)\text{d}}}x\geq 0$ .
$\int_{\alpha }^{\beta }{{ f\left( x \right)\text{d}}}x>0$ , με την επιπλέον προϋπόθεση ότι δεν ισχύει $f(x)=0$ για κάθε $x\in \left[\alpha,\beta\right]$ . (Λόγω συνέχειας, αυτό σημαίνει ότι $f(x)>0$ σ’ ένα υποδιάστημα του $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ . )

Έστω $f,g:\left[ {\alpha ,\beta } \right]\to \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις, όπου $f(x)\geq g(x)$ , στο διάστημα $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ . Τότε,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x\ge \int_{\alpha }^{\beta }{{g\left( x \right)\text{d}}}x$ .
$\int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x>\int_{\alpha }^{\beta }{{g\left( x \right)\text{d}}}x$ , με την επιπλέον προϋπόθεση ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένα σημείο $\xi \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$ τέτοιο, ώστε, $f\left( \xi \right)>g\left( \xi \right)$ . (Λόγω συνέχειας, αυτό σημαίνει ότι $f(x)>g(x)$ σ’ ένα υποδιάστημα του $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ . )

Άνω και κάτω φράγμα για το ολοκλήρωμα

Είναι γνωστό ότι μια συνεχής συνάρτηση, $f:\left[ {\alpha ,\beta } \right]\to \mathbb{R}$ , λαμβάνει ελάχιστη τιμή, $m$ , όπως και μέγιστη τιμή, $M$ , στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ .

Ως πόρισμα των παραπάνω, ολοκληρώνοντας, στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ , τα μέλη της ανίσωσης, $m\leq f(x) \leq M$ , συνάγεται ότι,

$\int_{\alpha }^{\beta }{{m\text{d}}}x\leq \int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x \leq \int_{\alpha }^{\beta }{{M\text{d}}}x,$

δηλαδή,

$m(\beta-\alpha)\leq \int_{\alpha }^{\beta }{{f\left( x \right)\text{d}}}x \leq M(\beta-\alpha).$

Η τελευταία ανισοτική σχέση είναι χρήσιμη στην περίπτωση που επιχειρούμε να εκτιμήσουμε που κυμαίνεται η τιμή για ένα ολοκλήρωμα όταν ο ακριβής υπολογισμός της είναι δύσκολη αποστολή.

Ολοκλήρωση : Η ανταπόδοση της Διαφόρισης

Όπως έγινε φανερό, κατά την ολοκλήρωση σ’ ένα διάστημα, “αθροίζονται” τα “γινόμενα” των τιμών της συνάρτησης επί τις απειροστές μεταβολές της ανεξάρτητης μεταβλητής στο διάστημα αυτό. Ωστόσο, τέτοιες απειροστές μεταβολές – διαφορές, τόσο της ανεξάρτητης μεταβλητής όσο και των αντίστοιχων τιμών της $f$ , εμφανίζονται στο “πηλίκο” του τύπου μιας άλλης σπουδαίας έννοιας. Μαντέψατε ποια είναι αυτή η έννοια;

Λογικά, αναγνωρίζετε την αναστροφή στη σημασία μεταξύ των όρων “άθροισμα γινομένων” και “πηλίκο διαφορών”.

Μήπως, λοιπόν, η διαδικασία της ολοκλήρωσης, κατά την οποία ενσωματώνονται “αθροίσματα γινομένων”, αντιστρέφει τη διαδικασία της παραγώγισης, όπου, αντίστοιχα, ενσωματώνονται “πηλίκα διαφορών”;

Πράγματι, στον ορισμό της παραγώγου, αυτό που διαδραματίζει κυρίαρχο ρόλο είναι οι «στοιχειώδεις διαφορές», στο “πηλίκο”, $\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}$ . Παρεμπιπτόντως, η παράγωγος της $f$ στο $x_0$ ερμηνεύει, γενικότερα την έννοια της κλίσης της συνάρτησης, $f$ , στο σημείο, $x_0$ . Πρόκειται, τελικά, για τον συντελεστή διεύθυνσης, $f'(x_0)$ , της εφαπτομένης της, $\varepsilon$ , στο $A(x_0,f(x_0))$ .

Συγκεκριμένα, εκφράζεται από την τιμή του ορίου,

$\begin{align*}f'(x_0)&=\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}|_{x=x_0}\\&= \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\end{align*}$

Η συσχέτιση της διαφόρισης και της ολοκλήρωσης, των δύο αυτών πυλώνων του Απειροστικού Λογισμού, φαίνεται να είναι θεμελιακή.

Ο Ολοκληρωτικός Λογισμός, όπως, τελικά, οι Γιόχαν Μπερνούλλι και Γκότφριντ Λάιμπνιτζ, συμφώνησαν να αποκαλείται το νέο αυτό πεδίο, αποτελεί το alter ego του Διαφορικού Λογισμού. Οι δεσμοί τους είναι τόσο ισχυροί και αναμενόμενοι όσο όλες οι άρρηκτα συνδεδεμένες διαδικασίες στα Μαθηματικά.

Άλλωστε, το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, που ακολουθεί στη συνέχεια, συμπυκνώνει ένα σπουδαίο συμπέρασμα: Κάποτε, η ολοκλήρωση (“άθροιση”) και η παραγώγιση (“διαφόριση”) λειτουργούν ανταποδοτικά. Αυτή η σχέση αμοιβαιότητάς τους παραπέμπει στην Αριθμητική, όπου οι στοιχειώδεις πράξεις – η πρόσθεση (άθροισμα) και η αφαίρεση (διαφορά) – δρουν παρόμοια.

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Θα συμφωνείτε ότι στο άθροισμα,

$S=c_{1}-\kappa+c_{2}-c_{1}+c_{3}-c_{2}+\cdots+c_{\nu}-c_{\nu-1}+\lambda-c_{\nu},$

εμφανίζονται διαφορές όπου, ο αφαιρετέος της κάθε διαφοράς ισούται με τον μειωτέο της προηγούμενής της διαφοράς. (Για παράδειγμα, στη δεύτερη διαφορά, $c_{2}-c_{1}$ , ο αφαιρετέος, $c_{1}$ , ταυτίζεται με τον μειωτέο της πρώτης διαφοράς, $c_{1}-\kappa$ . ) Έτσι, μετά τις διαδοχικές απλοποιήσεις – διαγραφές, προκύπτει η ισότητα,

$\begin{align*}S&=\not{c_{1}}-\kappa+\not{c_{2}}-\not{c_{1}}+\not{c_{3}}-\not{c_{2}}+\cdots+\not{c_{\nu}}-\not{c_{\nu-1}}+\lambda-\not{c_{\nu}}\\&=\lambda-\kappa.\end{align*}$

Σύντομα, θα διαπιστωθεί ότι η προηγούμενη παρατήρηση μπορεί να συνδεθεί με τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος όπως το $\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x$ , όπου $f'$ συνεχής συνάρτηση. Διότι, το τελευταίο ολοκλήρωμα, αποτελεί ένα παρόμοιο “άθροισμα” διαφορών όπως εκείνο της παράστασης $S$ .

Πράγματι, επιδεικνύοντας μια σχετική ευελιξία στους συμβολισμούς, έχουμε,

$\begin{align*}\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x&=\int_\alpha^{\beta}\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\&=\int_\alpha^{\beta}\mathrm{d}f(x).\end{align*}$

Για σκεφτείτε: Τρόπον τινά, στο ολοκλήρωμα, $\int_\alpha^{\beta}\mathrm{d}f(x)$ , αθροίζονται οι διαδοχικές διαφορές των τιμών της $f$ , καθώς το $x$ κυμαίνεται από το $\alpha$ ως το $\beta$ , οι οποίες είναι παρόμοιες με τις διαφορές στην παράσταση $S$ . Ο πρώτος, στη σειρά, αφαιρετέος είναι το $f(\alpha)$ – όπου υποτίθεται ότι αφαιρείται από το “κοντινό του” $f(x_1)$ – και ο τελευταίος, στη σειρά, μειωτέος το $f(\beta)$ – όπου υποτίθεται ότι αφαιρεί το “κοντινό του” $f(x_{\nu-1})$ .

Εύλογα, $\int_\alpha^{\beta}\mathrm{d}f(x)=f(\beta)-f(\alpha)$ .

Συνεπώς, προκύπτει η ισότητα,

$\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha),$

που εκφράζει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Όπως στην παράσταση $S$ , οι διαδικασίες του αθροίσματος και διαφοράς αλληλοαναιρούνται έτσι και στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού αναδεικνύεται η αντιστροφή κατά τη “συνεχή άθροιση” (ολοκλήρωση) αναφορικά με τη “διαφόριση” (παραγώγιση).

Απόδειξη

Για μια περισσότερο τυπική τεκμηρίωση του Θεμελιώδους Θεωρήματος θα μπορούσε να αξιοποιηθεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού. Έστω, λοιπόν, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε η $f'$ να είναι συνεχής.

Διαμερίζουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x$ , όπου $\nu \geq 1$ .

Θεωρούμε τα σημεία, ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{\nu }}$ , στο διάστημα, $[\alpha,\beta]$ , που αποτελούν τα άκρα των προηγούμενων υποδιαστημάτων.

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού επιλέγουμε ένα ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}$ , στο διάστημα $[x_{\kappa},x_{\kappa-1}]$ έτσι ώστε,

$f(x_{\kappa})-f(x_{\kappa-1})=f'(\xi_{\kappa})\Delta x.$

Είναι,

$S_{\nu}=\left( {f'\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f'\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right),$

δηλαδή,

$S_{\nu}=\not{f(x_{1})}-f(x_{0})+\not{f(x_{2})}-\not{f(x_{1})}+\ldots+f(x_{\nu})-\not{f(x_{\nu-1})},$

οπότε,

$\begin{align*}S_{\nu}&=f(x_{\nu})-f(x_0)\\&=f(\beta)-f(\alpha).\end{align*}$

Τελικά,

$\begin{align*}\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x&=\displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}\\&=f(\beta)-f(\alpha).\end{align*}$

Εφαρμογές του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Αν $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ , είναι συνεχής συνάρτηση, τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $F:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία είναι αρχική (παράγουσα) της $f$ . Δηλαδή, υπάρχει συνάρτηση $F:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοια, ώστε, για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$ , να ισχύει, $F'(x)=f(x)$ .

(Μια τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση – ολοκλήρωμα:

$F(x)=\int_\alpha^{x}f(t)\mathrm{d}t, x\in[\alpha,\beta].)$

Επομένως, με βάση το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, είναι,

$\begin{align*}\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x&=\[\int_\alpha^{\beta}F'(x)\mathrm{d}x\\&=F(\beta)-F(\alpha).\end{align*}$

Πολλές φορές, για την τελευταία διαφορά, χρησιμοποιείται το σύμβολο, $\left[F(x\right]_{\alpha}^{\beta}.$

Έτσι, προκύπτει ότι,

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{\alpha}^{\beta}.$

Το τελευταίο συμπέρασμα έχει πολλή μεγάλη αξία ιδιαίτερα σε υπολογισμούς ολοκληρωμάτων.

Για παράδειγμα,

$\begin{align*}\int_1^{e}\frac{1}{x}\mathrm{d}x&=\int_1^{e}\left(\ln x\right)'\mathrm{d}x\\&=\left[\ln x\right]_{1}^{e}\\&=\ln e-\ln 1\\&=1.\end{align*}$
$\begin{align*}\int_{\ln 2}^{1}e^x\mathrm{d}x&=\int_{\ln 2}^{1}\left(e^x\right)'\mathrm{d}x\\&=\left[e^{x}\right]_{\ln 2}^{1}\\&=e^{1}-e^{\ln 2}\\&=e-2.\end{align*}$
$\begin{align*}\int_0^{3}x^2\mathrm{d}x&=\int_0^{3}\left(\frac{x^3}{3}\right)'\mathrm{d}x\\&=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3}\\&=\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}=9.\end{align*}$
$\begin{align*}\int_0^{1}x\sqrt{x}\mathrm{d}x&=\int_0^{1}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x\\&=\int_0^{1}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right)'\mathrm{d}x\\&=\left[\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1}\\&=\frac{1^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{0^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\\&=\frac{2}{5}.\end{align*}$

Μη λησμονείτε τη γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος. Επειδή οι προηγούμενες συναρτήσεις ήταν μη αρνητικές, στο αντίστοιχο διάστημα ολοκλήρωσης, τα προηγούμενα ολοκληρώματα εκφράζουν, κατά σειρά, το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται,

από το γράφημα της $f(x)=\frac{1}{x}$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=1$ και $x=e$ ,
από το γράφημα της $g(x)=e^x$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\ln 2$ και $x=1$ ,
από το γράφημα της $h(x)=x^2$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=0$ και $x=3$ ,
από το γράφημα της $w(x)=x\sqrt{x}$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=0$ και $x=1$ .

Συμπερασματικά, όταν, για μια συνάρτηση, μπορεί να βρεθεί ένας λειτουργικός – από υπολογιστικής πλευράς – τύπος για μια αρχική της, τότε, ένα οποιοδήποτε ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί χάρη στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να μην είναι εφικτό να βρεθεί εύκολα αυτός ο λειτουργικός τύπος για την αρχική μιας συνάρτησης. Τότε, μπορούμε να καταφύγουμε σε κάποια από τις παρακάτω μεθόδους ολοκλήρωσης.

Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Για το ολοκλήρωμα,

$I=\int_{\ln 2}^{1}x\cdot e^x\mathrm{d}x,$

είναι δύσκολο να βρεθεί, κατευθείαν, μια αρχική για τη συνάρτηση, $y=x\cdot e^x$ .

Ο υπολογισμός τέτοιων ολοκληρωμάτων διευκολύνεται με τη χρησιμοποίηση της μεθόδου της παραγοντικής ολοκλήρωσης ή ολοκλήρωσης κατά παράγοντες.

Για να εμβαθύνετε στη μέθοδο αυτή, να παρατηρήσετε ότι μπορεί να βρεθεί, άμεσα, μια παράγουσα για τον καθέναν από τους δύο παράγοντες του γινομένου $x\cdot e^x$ . Π.χ., για τον παράγοντα $e^x$ , είναι $(e^x)'=e^x$ .

Έτσι, $x\cdot e^x=x\left(e^x\right)'$ . Άρα, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μορφή $f(x)\cdot g'(x)$ .

Έχετε συναντήσει, στη θεωρία των παραγώγων, κάποιον τύπο στον οποίο εμφανίζεται μια παράσταση αυτής της μορφής;

Θεωρούμε, λοιπόν, δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ .

Η γνωστή ισότητα,

$\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x),$

για την παράγωγο του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, από τον Διαφορικό Λογισμό, αναδεικνύει ένα αξιοσημείωτο συμπέρασμα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αν οι συναρτήσεις $f,g$ , έχουν, επίσης, συνεχείς παραγώγους, στο $[\alpha,\beta]$ , τότε,

$\int_{\alpha}^{\beta}\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x+\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\cdot g'(x)\mathrm{d}x,$

που σημαίνει ότι,

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\cdot g'(x)\mathrm{d}x=-\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x+\left[f(x)\cdot g(x)\right]_{\alpha}^{\beta}.$

Εφαρμογή της μεθόδου

Για παράδειγμα,

$\begin{align*}I&=\int_{\ln 2}^{1}x\cdot e^x\mathrm{d}x\\&=\int_{\ln 2}^{1}x\cdot \left(e^x\right)'\mathrm{d}x\\&=-\int_{\ln 2}^{1}\left(x\right)'\cdot e^x\mathrm{d}x+\left[x\cdot e^{x}\right]_{\ln 2}^{1},\end{align*}$

έτσι,

$\begin{align*}I&=-\int_{\ln 2}^{1}e^x\mathrm{d}x+e-2\ln2\\&=-\left[e^{x}\right]_{\ln 2}^{1}+e-2\ln2\\&=-e+2+e-2\ln2\\&=2-2\ln2.\end{align*}$

Ακόμη,

$\begin{align*}J&=\int_{1}^{e}\ln x\mathrm{d}x\\&=\int_{1}^{e}\ln x\cdot (x)'\mathrm{d}x\\&=-\int_{1}^{e}(\ln x)'\cdot x\mathrm{d}x+\left[x\cdot \ln x\right]_{1}^{e},\end{align*}$

οπότε,

$\begin{align*}J&=-\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\cdot x\mathrm{d}x+e\lne-\ln1\\&=-\int_{1}^{e}1\mathrm{d}x+e\\&=-\left[x]_{1}^{e}+e\\&=-e+1+e\\&=1.\end{align*}$

Η ολοκλήρωση, κατά παράγοντες, προσφέρει τη δυνατότητα εύρεσης αρχικής για μια συνάρτηση που, όπως στα ολοκληρώματα $I$ και $J$ , είναι ή μπορεί να μετασχηματιστεί στη μορφή ενός γινομένου μιας συνάρτησης επί την παράγωγο μιας άλλης συνάρτησης.

Ενδεικτικά, να παρατηρήσετε ότι, από την εφαρμογή της μεθόδου, στα αντίστοιχα ολοκληρώματα, έπεται ότι,

Μια αρχική της $y=x\cdot e^x,\,x\in\mathbb{R}$ είναι η συνάρτηση $y=x\cdot e^x-e^x,\,x\in\mathbb{R}$ .
Μια αρχική της $y=\ln x,\,x>0$ είναι η συνάρτηση $y=x\cdot \ln x-x,\,x>0$ .

Η μέθοδος της αντικατάστασης

Από την άλλη μεριά, για το ολοκλήρωμα,

$K=\int_{2}^{3}x\cdot \sqrt{x-2}\mathrm{d}x,$

η εφαρμογή της παραγοντικής ολοκλήρωσης – παρατηρώντας π.χ. ότι $\left(\frac{x^2}{2}\right)'=x$ – μάλλον, δυσχεραίνει τον υπολογισμό του αφού περιπλέκει τον ήδη σύνθετο τύπο της συνάρτησης στο ολοκλήρωμα.

Εντούτοις, να παρατηρήσετε ότι θέτοντας, $u=x-2$ , η προς ολοκλήρωση συνάρτηση μπορεί να γραφεί,

$\begin{align*}(u+2)\sqrt{u}&=u\sqrt{u}+2\sqrt{u}\\&=u^{\frac{3}{2}}+2u^{\frac{1}{2}}\\&=\left(\frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right)'\\&=\left(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}\right)',\end{align*}$

γεγονός που, ίσως, επιτρέψει τον ευκολότερο υπολογισμό του $K$ .

Άραγε, μετά την αλλαγή μεταβλητής, τα όρια ολοκλήρωσης θα παραμείνουν ίδια;
Πως δομείται μια τέτοια διαδικασία αντικατάστασης, μεταξύ των δύο μεταβλητών, κατά την ολοκλήρωση;

Προηγούμενα, διαπιστώθηκε ότι ο βασικός άξονας της μεθόδου της ολοκλήρωσης, κατά παράγοντες, είναι ο κανόνας της παραγώγισης του γινομένου δύο συναρτήσεων.

Αντίστοιχα, στον πυρήνα της μεθόδου της αντικατάστασης βρίσκεται ο κανόνας της αλυσίδας, δηλαδή, αλλιώς, ο τύπος παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Έτσι, κατά την αντίστροφη πορεία, η μέθοδος της αντικατάστασης αποσυνθέτει ένα πολύπλοκο, αρχικά, ολοκλήρωμα.

Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, έχουμε,

$\left(F\left(g(x)\right)\right)'=F'\left(g(x)\right)\cdot g'(x),$

για κάθε $x$ , σ’ ένα διάστημα $[\alpha,\beta]$ , όπου ορίζονται οι σημειούμενες συναρτήσεις.

Αν, επιπλέον, η $F$ είναι αρχική της $f$ , στο $g\left([\alpha,\beta]\right)$ , τότε, με την προϋπόθεση ότι οι εμφανιζόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς, είναι,

$\left(F\left(g(x)\right)\right)'=f\left(g(x)\right)\cdot g'(x),$

οπότε,

$\int_{\alpha}^{\beta}\left(F(g(x)\right)'\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\mathrm{d}x,$

άρα,

$F\left(g(\beta)\right)-F\left(g(\alpha)\right)=\int_{\alpha}^{\beta}f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\mathrm{d}x,$

συνεπώς,

$\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(u)\mathrm{d}u=\int_{\alpha}^{\beta}f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\mathrm{d}x.$

Στην ισότητα,

$\int_{\alpha}^{\beta}f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\mathrm{d}x=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(u)\mathrm{d}u,$

που εκφράζει την ολοκλήρωση με αντικατάσταση, φαίνεται ότι μπορεί να τεθεί, $u=g(x)$ , καθώς και $\mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x$ .

Να παρατηρήσετε, επίσης, την αλλαγή στα όρια ολοκλήρωσης, από $x_1=\alpha$ και $x_2=\beta$ , σε $u_1=g(\alpha)$ και $u_2=g(\beta)$ , κατά την αντίστοιχη αλλαγή μεταβλητής από $x$ σε $u$ .

Εφαρμογή της μεθόδου

Για παράδειγμα, θέτοντας στο ολοκλήρωμα,

$K=\int_{2}^{3}x\cdot \sqrt{x-2}\mathrm{d}x,$

$u=x-2$ , είναι $u_1=2-2=0$ , $u_2=3-2=1$ , $\mathrm{d}u=(x-2)'\mathrm{d}x=\mathrm{d}x$ , οπότε,

$\begin{align*}K&=\int_{0}^{1}(u+2)\cdot \sqrt{u}\mathrm{d}u\\&=\int_{0}^{1}u\cdot \sqrt{u}\mathrm{d}u+\int_{0}^{1}2\sqrt{u}\mathrm{d}u\\&=\int_{0}^{1}u^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}u+2\int_{0}^{1}u^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}u,\end{align*}$

δηλαδή,

$\begin{align*}K&=\left[\frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]_{0}^{1}+2\left[\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}\\&=\frac{2}{5}+\frac{4}{3}\\&=\frac{26}{15}.\end{align*}$

Κι εδώ, πρέπει να γίνει φανερή η γενικότερη πτυχή της μεθόδου της αντικατάστασης στην εύρεση αρχικής μιας συνάρτησης. Από την εφαρμογή της μεθόδου στο ολοκλήρωμα $K$ φαίνεται ότι, θέτοντας $u=x-2$ , προκύπτει ότι μια αρχική για τη συνάρτηση $x\to x\cdot \sqrt{x-2},\,x\geq 2$ είναι η συνάρτηση $u \to \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}},\,u\geq 0$ . Επιστρέφοντας στη μεταβλητή $x$ , προκύπτει ότι μια αρχική για τη συνάρτηση $y=x\cdot \sqrt{x-2},\,x\geq 2$ είναι η συνάρτηση,

$y=\frac{2}{5} (x-2)^{2}\sqrt{x-2}+\frac{4}{3} (x-2)\sqrt{x-2},\,x\geq 2.$

Η διαδραστική εφαρμογή

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή περιλαμβάνει ποικιλία υπολογιστικών ασκήσεων στο εμβαδό χωρίου με ολοκλήρωση. Ιδιαίτερα, η επίλυση αρκετών από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου θα μπορούσαν να αντιμετωπιστούν με τη βοήθειά της.

Οι ασκήσεις της εφαρμογής, διακρίνονται σε τέσσερις βασικές ομάδες για καλύτερη διαπραγμάτευση.

Ομάδα Α : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας συνάρτησης, $f$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και δύο κατακόρυφες ευθείες τις $x=\alpha$ και $x=\beta$ .
Ομάδα Β : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας δίκλαδης συνάρτησης, $f$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και δύο κατακόρυφες ευθείες τις $x=\alpha$ και $x=\beta$ .
Ομάδα Γ : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από τα γραφήματα δύο συναρτήσεων, $f$ και $g$ . Έτσι, τα όρια ολοκλήρωσης εντοπίζονται, κατάλληλα, μεταξύ των σημείων τομής αυτών των δύο γραφημάτων. ( Τα όρια ολοκλήρωσης μπορούν να καθοριστούν και κατόπιν επιλογής από τον ίδιο τον χρήστη. )
Ομάδα Δ : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας συνάρτησης, $f$ , από την εφαπτομένη της, σε κάποιο σημείο, καθώς και από τον άξονα $x'x$ . Σε κάποιες περιπτώσεις, καθορίζεται και από μια επιπλέον κατακόρυφη ευθεία.

Μερικά χαρακτηριστικά της εφαρμογής είναι τα ακόλουθα:

Το γραφικό περιβάλλον της συμβάλει στη γεωμετρική εποπτεία των ορισμένων ολοκληρωμάτων που απαιτούνται κατά την επίλυση της κάθε άσκησης.
Ο χρήστης μπορεί να πληκτρολογήσει ο ίδιος, με τη βοήθεια του εικονικού πληκτρολογίου της εφαρμογής, τις παραστάσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό των ζητούμενων εμβαδών.
Η εφαρμογή προσφέρει υποδείξεις καθώς ελέγχει τις απαντήσεις που καταχωρίζει ο χρήστης.
Παρέχεται η δυνατότητα στον χρήστη να εισάγει τις δικές του ασκήσεις, ανά ομάδα, καθώς και να ελέγξει την επίλυσή τους βήμα προς βήμα.

Καλή ενασχόληση!

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Εισαγωγή

Ο συμβολισμός

Το βασικό ερέθισμα

Διεύρυνση της έννοιας του εμβαδού χωρίου

Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τον ορισμό

Ολοκλήρωμα σταθερής

Ολοκλήρωμα ταυτοτικής

Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

Χρήσιμες συμβάσεις

Προσθετικότητα του ολοκληρώματος

Γραμμικότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Διάταξη και ολοκλήρωση

Άνω και κάτω φράγμα για το ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωση : Η ανταπόδοση της Διαφόρισης

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Απόδειξη

Εφαρμογές του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Εφαρμογή της μεθόδου

Η μέθοδος της αντικατάστασης

Εφαρμογή της μεθόδου

Η διαδραστική εφαρμογή

Σχετικά άρθρα:

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης