Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα ορόσημο σε μια μακρά διαδρομή αναζήτησης τρόπων υπολογισμού εμβαδών μη ευθύγραμμων σχημάτων. Η θεμελίωσή του ξεκίνησε από τη μέθοδο εξάντλησης του Αρχιμήδη και συνεχίστηκε με τις μεθόδους του Απειροστικού Λογισμού.

Ο κορυφαίος Γερμανός Μαθηματικός Λάιμπνιτζ, στα τέλη του 17^ου αιώνα, για να περιγράψει τις έννοιες και τις διαδικασίες της ενότητας που, στην πορεία, θα ονομαζόταν “Ολοκληρωτικός Λογισμός”, πρότεινε, αρχικά, τον όρο “Αθροιστικός Λογισμός”.

Άλλωστε, όπως θα γίνει φανερό, το (ορισμένο) ολοκλήρωμα, $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ δεν είναι τίποτε άλλο από ένα ιδιότυπο άθροισμα. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για ένα “άθροισμα γινομένων”, $f(x)\cdot\mathrm{d}x$ , των τιμών, $f(x)$ , της συνάρτησης επί τα αντίστοιχα $\mathrm{d}x$ , από το $\alpha$ ως το $\beta$ .

Όμως, τι ακριβώς μπορεί να δηλώνει το προηγούμενο άθροισμα και τι εξυπηρετεί ο ορισμός του;

Η απάντηση στα προηγούμενα ερωτήματα μπορεί να μας φέρει σε επαφή με την κεντρική ιδέα που διαμόρφωσε τη θεωρία των ολοκληρωμάτων.

Ας σημειωθεί, παρενθετικά, ότι το σύμβολο $\int$ αποτελεί μια επιμήκυνση του κεφαλαίου γράμματος, “S”. Εδώ, το “S” προέρχεται από τη λέξη sum που σημαίνει άθροισμα. Επίσης, το σύμβολο $\int_{\alpha}^{\beta}$ , υποδεικνύει ότι το άθροισμα οριοθετείται από τα άκρα, $\alpha$ και $\beta$ , κάτι που θα αναλυθεί στη συνέχεια. Τέλος, το σύμβολο $\mathrm{d}x$ παριστάνει τη στοιχειώδη μεταβολή του $x$ , δηλαδή μια “οριακή” εκδοχή της διαφοράς, $\Delta x=x_{\mathrm{\tau\epsilon\lambda.}}-x_{\mathrm{\alpha\rho\chi.}}$ , όπως θα εξηγηθεί αργότερα.

Το κίνητρο ορισμού τέτοιων “αθροισμάτων” θα πρέπει να αναζητηθεί κατά τον υπολογισμό εμβαδών χωρίων που οριοθετούνται από τη γραφική παράσταση της $f$ , από τον οριζόντιο άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\alpha$ και $x=\beta$ .

Για μια πρώτη γεύση, να αναρωτηθείτε, για παράδειγμα, με ποιο τρόπο το άθροισμα των μπλε ορθογωνίων θα μπορούσε να προσεγγίσει, ολοένα και περισσότερο, το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου, $\Omega$ , του ακόλουθου σχήματος.

Ολοκλήρωση : Η ανταπόδοση της Διαφόρισης

Έτσι, λοιπόν, κατά την ολοκλήρωση σ’ ένα διάστημα, “αθροίζονται” τα “γινόμενα” των τιμών της συνάρτησης επί τις απειροστές μεταβολές τις ανεξάρτητης μεταβλητής στο διάστημα αυτό.

Ποια γνωστή διαδικασία θα μπορούσε να εκφράσει την αντιστροφή ενός τέτοιου “αθροίσματος γινομένων”;

Αναγνωρίζετε την αναστροφή στη σημασία μεταξύ των όρων “άθροισμα γινομένων” και “πηλίκο διαφορών”;

Η απάντηση στα προηγούμενα ερωτήματα μας οδηγεί με φυσικό τρόπο στην παράγωγο.

Πράγματι, στον ορισμό της παραγώγου, αυτό που διαδραματίζει κυρίαρχο ρόλο είναι οι «στοιχειώδεις διαφορές», στο “πηλίκο”, $\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}$ . Παρεμπιπτόντως, η παράγωγος της $f$ στο $x_0$ ερμηνεύει, γενικότερα την έννοια της κλίσης της συνάρτησης, $f$ , στο σημείο, $x_0$ . Πρόκειται, τελικά, για τον συντελεστή διεύθυνσης, $f'(x_0)$ , της εφαπτομένης της, $\varepsilon$ , στο $A(x_0,f(x_0))$ .

Συγκεκριμένα, εκφράζεται από την τιμή του ορίου,

$f'(x_0)=\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}|_{x=x_0}= \lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Η συσχέτιση της διαφόρισης και της ολοκλήρωσης, των δύο αυτών πυλώνων του Απειροστικού Λογισμού, είναι θεμελιακή.

Ο Ολοκληρωτικός Λογισμός, όπως, τελικά, ο Γιόχαν Μπερνούλλι και Γκότφριντ Λάιμπνιτζ συμφώνησαν να αποκαλείται το νέο αυτό πεδίο, αποτελεί το alter ego του Διαφορικού Λογισμού. Οι δεσμοί τους είναι τόσο ισχυροί και αναμενόμενοι όσο όλες οι άρρηκτα συνδεδεμένες διαδικασίες στα Μαθηματικά.

Κάποιες φορές η ολοκλήρωση (“άθροιση”) και η παραγώγιση (διαφόριση) λειτουργούν ανταποδοτικά όπως, παρόμοια, στην Αριθμητική, συμβαίνει με την πρόσθεση (άθροισμα) και την αφαίρεση (διαφορά).

Διεύρυνση της έννοιας του εμβαδού χωρίου

Θεωρούμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς και μη αρνητικής συνάρτησης, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ .

Πως θα μπορούσε να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ , από τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=\alpha$ και $x=\beta$ ;

Τον 17^ο αιώνα, όπου αναζωογονήθηκε το ενδιαφέρον τετραγωνισμού διάφορων καμπυλών, ήταν συνηθισμένη πρακτική να επιστρατεύονται ακολουθίες ορθογωνίων για να προσεγγιστούν, οριακά, διάφορα εμβαδά καμπυλόγραμμων σχημάτων.

Έναν αιώνα, αργότερα, οι προηγούμενες διαδικασίες θα γενικεύονταν, από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτζ, στη μέθοδο της ολοκλήρωσης. Η ανάλυση της μεθόδου, με σύγχρονη ορολογία, στο πλαίσιο υπολογισμού του εμβαδού του παραπάνω χωρίου, $\Omega$ , έχει ως εξής.

Το διάστημα $[\alpha,\beta]$ υποδιαιρείται σε $\nu$ , όπου $\nu \geq 1$ , υποδιαστήματα

$[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots[x_{\nu-1},x_{\nu}],$

ίσου πλάτους, $\Delta x$ . Δηλαδή, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , είναι,

$\Delta x=x_{\kappa}-x_{\kappa-1}=\dfrac{\beta-\alpha}{\nu}.$

Σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα επιλέγουμε ένα ενδιάμεσο σημείο και υψώνουμε ορθογώνιο όσο η τιμή της συνάρτησης σ’ αυτό το ενδιάμεσο σημείο. Έτσι, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , επιλέγεται σημείο,

$\xi_{\kappa}\in[x_{\kappa-1},x_{\kappa}],$

με $f(\xi_{\kappa})$ να παριστάνει το ύψος του αντίστοιχου ορθογωνίου.

Προφανώς, για κάθε $\kappa=1,2,\ldots,\nu$ , το αντίστοιχο ορθογώνιο έχει εμβαδόν,

$E_{\kappa}=f(\xi_{\kappa})\cdot (x_{\kappa}-x_{\kappa-1}).$

Επομένως, το άθροισμα, $S_{\nu}$ , των εμβαδών όλων αυτών των ορθογωνίων ισούται με,

$S_{\nu}=f(\xi_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})+f(\xi_{2})\cdot (x_{3}-x_{2})+\ldots+f(\xi_{\nu})\cdot (x_{\nu}-x_{\nu-1}).$

Περιγραφικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω γραφικό, καθώς ο αριθμός, $\nu$ , των υποδιαστημάτων αυξάνεται απεριόριστα, το προηγούμενο άθροισμα πλησιάζει όλο και περισσότερο το εμβαδό του χωρίου $\Omega$ .

Επειδή η $f$ είναι συνεχής μπορεί να αποδειχθεί ότι το όριο του προηγούμενου αθροίσματος (Riemann), καθώς $\nu\to +\infty$ , υπάρχει στο $\mathbb{R}$ . Έτσι, $E(\Omega)=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}$ . Το τελευταίο όριο ονομάζεται (ορισμένο) ολοκλήρωμα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ και συμβολίζεται με $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ .

Το ορισμένο ολοκλήρωμα

Γενικότερα, θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ .

Το διάστημα $[\alpha,\beta]$ έχει διαμεριστεί σε $\nu$ ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x$ , όπου $\nu \geq 1$ .

Έστω, ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{\nu }}$ , τα σημεία του διαστήματος, $[\alpha,\beta]$ , που αποτελούν τα άκρα των προηγούμενων υποδιαστημάτων.

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , έχει επιλεγεί ένα τυχαίο ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}$ , στο διάστημα $[x_{\kappa},x_{\kappa-1}]$ . Θέτουμε, $S_{\nu}=\left( {f\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right)$ , για το άθροισμα (Riemann) της $f$ που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διαμέριση του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ και στη συγκεκριμένη επιλογή ενδιάμεσων σημείων.

Η τιμή του ορίου,

$\displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}= \displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {f\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right)$

ονομάζεται (ορισμένο) ολοκλήρωμα της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ και συμβολίζεται με $\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x$ . Δηλαδή, συντομογραφικά,

$\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\sum\limits_{{\kappa =1}}^{\nu }{{f\left( {{{\xi }_{\kappa }}} \right)\Delta x}}} \right).$

Γεωμετρικά, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα,

είναι

$\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=E(\Omega_1)-E(\Omega_2)+E(\Omega_3).$

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Θα συμφωνείτε ότι στο άθροισμα,

$S=c_{1}-\kappa+c_{2}-c_{1}+c_{3}-c_{2}+\cdots+c_{\nu}-c_{\nu-1}+\lambda-c_{\nu},$

εμφανίζονται διαφορές όπου, ο αφαιρετέος της κάθε διαφοράς ισούται με τον μειωτέο της προηγούμενής της διαφοράς. (Για παράδειγμα, στη δεύτερη διαφορά, $c_{2}-c_{1}$ , ο αφαιρετέος, $c_{1}$ , ταυτίζεται με τον μειωτέο της πρώτης διαφοράς, $c_{1}-\kappa$ . ) Έτσι, μετά τις διαδοχικές απλοποιήσεις – διαγραφές, προκύπτει η ισότητα,

$S=\not{c_{1}}-\kappa+\not{c_{2}}-\not{c_{1}}+\not{c_{3}}-\not{c_{2}}+\cdots+\not{c_{\nu}}-\not{c_{\nu-1}}+\lambda-\not{c_{\nu}}=\lambda-\kappa$

Πως θα μπορούσε η προηγούμενη παρατήρηση να συνδεθεί με τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος όπως το $\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x$ , όπου $f'$ συνεχής συνάρτηση; Μήπως το τελευταίο ολοκλήρωμα αποτελεί ένα παρόμοιο “άθροισμα” διαφορών όπως εκείνο της παράστασης $S$ ;

Πράγματι, επιδεικνύοντας μια σχετική ευελιξία στους συμβολισμούς, έχουμε,

$\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x=\int_\alpha^{\beta}\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\int_\alpha^{\beta}\mathrm{d}f(x)=f(\beta)-f(\alpha).$

Η ισότητα $\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha)$ εκφράζει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Όπως στην παράσταση $S$ , οι διαδικασίες του αθροίσματος και διαφοράς αλληλοαναιρούνται έτσι και στο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού αναδεικνύεται η αντιστροφή κατά τη “συνεχή άθροιση” (ολοκλήρωση) αναφορικά με τη διαφόριση (παραγώγιση).

Για μια περισσότερο τυπική τεκμηρίωσή του θα μπορούσε να αξιοποιηθεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού. Έστω, λοιπόν, $f:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε η $f'$ να είναι συνεχής.

Διαμερίζουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ ισομήκη υποδιαστήματα, πλάτους $\Delta x$ , όπου $\nu \geq 1$ .

Θεωρούμε τα σημεία, ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{\nu }}$ , στο διάστημα, $[\alpha,\beta]$ , που αποτελούν τα άκρα των προηγούμενων υποδιαστημάτων.

Για κάθε $\kappa =1,2,\ldots ,\nu$ , εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού επιλέγουμε ένα ενδιάμεσο σημείο, $\xi_{\kappa}$ , στο διάστημα $[x_{\kappa},x_{\kappa-1}]$ έτσι ώστε,

$f(x_{\kappa})-f(x_{\kappa-1})=f'(\xi_{\kappa})\Delta x.$

Συνεπώς,

$S_{\nu}=\left( {f'\left( {{{\xi }_{1}}} \right)\Delta x+\,\ldots +f'\left( {{{\xi }_{\nu }}} \right)\Delta x} \right),$

δηλαδή,

$S_{\nu}=\not{f(x_{1})}-f(x_{0})+\not{f(x_{2})}-\not{f(x_{1})}+\ldots+f(x_{\nu})-\not{f(x_{\nu-1})},$

οπότε,

$S_{\nu}=f(\beta)-f(\alpha).$

Τελικά,

$\int_\alpha^{\beta}f'(x)\mathrm{d}x=\displaystyle \underset{{\nu \to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,S_{\nu}=f(\beta)-f(\alpha).$

Εφαρμογές του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Αν $f:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ , είναι συνεχής συνάρτηση, τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $F:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία είναι αρχική (παράγουσα) της $f$ . Δηλαδή, υπάρχει συνάρτηση $F:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοια, ώστε, για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$ , να ισχύει, $F'(x)=f(x)$ .

Επομένως, με βάση το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού, είναι,

$\int_\alpha^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\[\int_\alpha^{\beta}F'(x)\mathrm{d}x=F(\beta)-F(\alpha).$

Πολλές φορές, για την τελευταία διαφορά, χρησιμοποιείται το σύμβολο, $\left[F(x\right]_{\alpha}^{\beta}.$

Έτσι, προκύπτει ότι,

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{\alpha}^{\beta}.$

Για παράδειγμα,

$\int_0^{3}x^2\mathrm{d}x=\int_0^{3}\left(\frac{x^3}{3}\right)'\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3}=9.$

Μη λησμονείτε τη γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος. Το τελευταίο ολοκλήρωμα παριστάνει το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της $f(x)=x^2$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και από τις κατακόρυφες ευθείες $x=0$ και $x=3$ .

Η διαδραστική εφαρμογή

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή περιλαμβάνει ποικιλία υπολογιστικών ασκήσεων στο εμβαδό χωρίου με ολοκλήρωση. Ιδιαίτερα, η επίλυση αρκετών από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου θα μπορούσαν να αντιμετωπιστούν με τη βοήθειά της.

Οι ασκήσεις της εφαρμογής, διακρίνονται σε τέσσερις βασικές ομάδες για καλύτερη διαπραγμάτευση.

Ομάδα Α : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας συνάρτησης, $f$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και δύο κατακόρυφες ευθείες τις $x=\alpha$ και $x=\beta$ .
Ομάδα Β : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας δίκλαδης συνάρτησης, $f$ , τον άξονα $x'x$ , καθώς και δύο κατακόρυφες ευθείες τις $x=\alpha$ και $x=\beta$ .
Ομάδα Γ : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από τα γραφήματα δύο συναρτήσεων, $f$ και $g$ . Έτσι, τα όρια ολοκλήρωσης εντοπίζονται, κατάλληλα, μεταξύ των σημείων τομής αυτών των δύο γραφημάτων. ( Τα όρια ολοκλήρωσης μπορούν να καθοριστούν και κατόπιν επιλογής από τον ίδιο τον χρήστη.
Ομάδα Δ : Στη συγκεκριμένη ομάδα εντάσσονται ασκήσεις υπολογισμού εμβαδού χωρίου που οριοθετείται από το γράφημα μιας συνάρτησης, $f$ , από την εφαπτομένη της, σε κάποιο σημείο, καθώς και από τον άξονα $x'x$ . Σε κάποιες περιπτώσεις, καθορίζεται και από μια επιπλέον κατακόρυφη ευθεία.

Μερικά χαρακτηριστικά της εφαρμογής είναι τα ακόλουθα:

Το γραφικό περιβάλλον της συμβάλει στη γεωμετρική εποπτεία των ορισμένων ολοκληρωμάτων που απαιτούνται κατά την επίλυση της κάθε άσκησης.
Ο χρήστης μπορεί να πληκτρολογήσει ο ίδιος, με τη βοήθεια του εικονικού πληκτρολογίου της εφαρμογής, τις παραστάσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό των ζητούμενων εμβαδών.
Η εφαρμογή προσφέρει υποδείξεις καθώς ελέγχει τις απαντήσεις που καταχωρίζει ο χρήστης.
Παρέχεται η δυνατότητα στον χρήστη να εισάγει τις δικές του ασκήσεις, ανά ομάδα, καθώς και να ελέγξει την επίλυσή τους βήμα προς βήμα.

Καλή ενασχόληση!