Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η παράγωγος, ως ρυθμός μεταβολής, αναπτύσσεται στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ΄ Λυκείου. Η συγκεκριμένη ενότητα αποκαλύπτει, ως ένα βαθμό, την αξία των παραγώγων και συμβάλει στη βαθύτερη κατανόησή τους.

Στο αντίστοιχο κεφάλαιο, προηγείται η θεμελίωση των βασικών εννοιών. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός της παραγώγου σε σημείο και στη συνέχεια ο ορισμός της παραγώγου ως συνάρτησης. Έπονται οι αναλυτικοί υπολογισμοί των παραγώγων, για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, σε συνδυασμό με την παρουσίαση των κανόνων παραγώγισης. Έτσι, λοιπόν, αμέσως μετά, παρουσιάζεται μια πρώτης τάξης ευκαιρία να ισορροπήσει η διδασκαλία μεταξύ των γενικότερων “υποσχέσεων” του κεφαλαίου των παραγώγων και ορισμένων πρώτων εφαρμογών τους.

Γνωστές δυσχέρειες

Έχει, γενικά, παρατηρηθεί ένα έλλειμμα θετικής προαίρεσης, σημαντικής μερίδας μαθητών, απέναντι στη συγκεκριμένη ενότητα.

Ενδεχομένως, αυτό να οφείλεται στο γεγονός ότι η ενότητα συνδέεται με μια σειρά από ποικίλα μαθηματικά προβλήματα από διάφορα πεδία. Είναι γνωστό ότι η ανάλυση των δεδομένων ενός μαθηματικού προβλήματος και η αναγνώριση του ζητούμενου είναι ιδιαίτερα απαιτητική διαδικασία. Ακόμη, το συνθετικό στάδιο, που ακολουθεί κατά την επίλυσή του προβλήματος, παραδοσιακά, δυσκολεύει αρκετούς μαθητές.

Από την άλλη μεριά, αυτή η απροθυμία ενασχόλησης με τις ασκήσεις και τα προβλήματα αυτής της παραγράφου, πιθανώς να οφείλεται στις δυσκολίες που άπτονται της ενσωμάτωσης μιας “νέας” ανεξάρτητης μεταβλητής. Ο χρόνος, $t$ , που συναντάται, κυρίως, στα προβλήματα αυτού του είδους, ανατρέπει αρκετά από τα πρότυπα με τα οποία είναι εξοικειωμένοι οι μαθητές στα Μαθηματικά.

Βασικές Παρατηρήσεις – Επισημάνσεις

Εδώ, ειδικά, η συνήθης μεταβλητή, $x$ , μπορεί να είναι συνάρτηση του χρόνου $t$ . Επομένως, παριστάνει κάτι διαφορετικό από την ανεξάρτητη μεταβλητή στο πρόβλημα. Ενδεικτικά, θα μπορούσε π.χ. να εκφράζει τη θέση (τετμημένη) κάποιου κινητού σημείου, σε συνάρτηση του χρόνου. Έτσι, συχνά, στη μελέτη του ρυθμού μεταβολής, εμφανίζονται συναρτήσεις του τύπου $x=x(t)$ .

(Η παράγωγός μιας τέτοιας συνάρτησης, δεν ισούται με $(x)'=1$ : Προφανώς, $\dfrac{dx}{dx}=1$ , ωστόσο, σε μια περίπτωση όπως η παραπάνω, υπονοείται ότι $(x)'=\dfrac{dx}{dt}$ , δηλαδή οι όποιες παραγωγίσεις συντελούνται ως προς $t$ .)

Έστω, για παράδειγμα, ένα σημείο $M(x)$ που κινείται στον οριζόντιο άξονα, συναρτήσει του χρόνου $t$ . Υποθέτουμε, επιπλέον, ότι η θέση του μεταβάλλεται αναλογικά συναρτήσει του χρόνου και ότι τη στιγμή $t_0=0$ βρίσκεται στην αρχή $O(0)$ . Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί έχει μηδενική επιτάχυνση;Στη γλώσσα των συναρτήσεων, αυτό που δίνεται είναι ότι $x=x(t)=\alpha t$ , όπου $\alpha$ σταθερά. Αντίστοιχα, αυτό που ζητείται είναι ότι $(x)''=0$ . Πραγματικά,

$(x)''=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{d}{dt}\big(\dfrac{d(\alpha t)}{dt}\big)=\dfrac{d}{dt}\big({\alpha}\big)=0.$

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με τη μεταβλητή $y$ που μπορεί, τελικά, να είναι συνάρτηση του $t$ και όχι του $x$ , όταν π.χ. εκφράζει την τεταγμένη ενός κινητού σημείου.

Για παράδειγμα, θεωρούμε σημείο $M(x,y)$ , το οποίο κινείται στο γράφημα συνάρτησης $f$ . Οι συντεταγμένες του, ως συναρτήσεις του χρόνου, πληρούν τη σχέση $y=f(x)$ . Τούτο σημαίνει ότι, κατά την παραγώγιση, θα ήταν λανθασμένη η σχέση $(y)'=f'(x)$ , όσο οι παραγωγίσεις συντελούνται ως προς $t$ .

Αντίθετα, με βάση τον κανόνα της αλυσίδας, είναι,

$(y)'=y'(t)=f'(x(t))x'(t)=f'(x)x'(t).$

Άλλο ένα σημείο που χρήζει ιδιαίτερης προσοχής είναι ο “σκιώδης” ρόλος της μεταβλητής του χρόνου. Συγκεκριμένα, στο προηγούμενο παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής του σημείου, $M(x,y)$ , όταν π.χ. $x=x_0$ , θα είναι $y'(t_0)=f'(x(t_0))x'(t_0)$ , δηλαδή, $y'(t_0)=f'(x_0)x'(t_0)$ , όπου $t_0$ παριστάνει τη χρονική στιγμή όπου $x=x_0$ .

Η διαδραστική εφαρμογή

Πως θα σας φαινόταν διάφορες ασκήσεις του βιβλίου να επιλυθούν στο περιβάλλον του Geogebra; Ποια θα ήταν τα πλεονεκτήματα μιας προσέγγισης των προβλημάτων αυτών μέσω κατάλληλων προσομοιώσεων;

Στην παρακάτω εφαρμογή,

Διαδραστική εφαρμογή: Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής

επιχειρείται μία γραφική προσέγγιση, με διαδραστικά χαρακτηριστικά, για μια σειρά από ασκήσεις και προβλήματα που πραγματεύεται το σχολικό βιβλίο. Η εφαρμογή παρέχει τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεων του χρήστη. Επίσης, δίνονται – όπου χρειάζεται – κατάλληλες υποδείξεις.

Καλή ενασχόληση!