Η παραβολή ως γραφική παράσταση συνάρτησης

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Ο στόχος του άρθρου είναι να παρουσιαστεί η παραβολή ως γραφική παράσταση κατάλληλης, κάθε φορά, συνάρτησης με αναφορές από την εμπειρία μας. Πιθανώς, κάποιες από τις έννοιες του άρθρου να μην σας είναι εντελώς άγνωστες.

Ενδεχομένως, να συναντήσατε για πρώτη φορά, στα Μαθηματικά, την παραβολή ως γραφική παράσταση διάφορων τετραγωνικών συναρτήσεων. Τύποι όπως το εμβαδόν ενός κύκλου, συναρτήσει της ακτίνας του, ή το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, όπου το μήκος είναι π.χ διπλάσιο από το πλάτος του, εκφράζουν σχέσεις που το ένα μέγεθος καθορίζεται από το τετράγωνο του άλλου μεγέθους. Τα προηγούμενα αποτελούν ορισμένα απλά παραδείγματα τετραγωνικών συναρτήσεων.

Η βασική παραβολή

Η παραβολή $y=\alpha x^2$ , με $\alpha=1$ , αποτελεί την απλούστερη αλγεβρική έκφραση τετραγωνικής συνάρτησης και συνάμα έναν οδηγό για τη μελέτη της γενικότερης περίπτωσης. Στην ακόλουθη εικόνα,

παριστάνεται η καμπύλη που προκύπτει αν τοποθετηθούν, στο Καρτεσιανό επίπεδο, τα σημεία που οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν τον προηγούμενο τύπο. Σάς φαίνεται οικείο το γράφημα;

Η παραβολή γύρω μας

Ας αναλογιστούμε, αρχικά, αν η μορφή αυτής της καμπύλης απαντάται στην καθημερινότητά μας.

Έχετε παρατηρήσει το σχήμα του κατόπτρου κατά την τελετή αφής της Ολυμπιακής φλόγας;
Αναγνωρίζετε την καμπύλη στον σχηματισμό του ουράνιου τόξου;
Μπορείτε να σχεδιάσετε την τροχιά ενός βλήματος όταν εκτοξεύεται πλάγια σε σχέση με τον ορίζοντα;

Στη φύση, η καμπύλη της παραβολής συναντάται από τις τροχιές κίνησης ως τον σχηματισμό λόφων και κοιλάδων.

Στις ανθρώπινες κατασκευές, όπως τα παραβολικά πιάτα των τηλεοράσεων, τα παραβολικά φανάρια αυτοκινήτων και μηχανών, τα παραβολικά κάτοπτρα, τα παραβολικά τηλεσκόπια, κ.α., αξιοποιείται μια πολύ σημαντική ιδιότητα της παραβολής, η ανακλαστική ιδιότητα, χάρη στην οποία διάφοροι τύποι κυμάτων, όπως φως, ήχος, ακτινοβολίες συγκεντρώνονται σ΄ ένα σημείο, σε μια εστία.

Το διαδραστικό παιχνίδι

Η παραβολή του “Σώτου”

Η παραβολή του “Σώτου”, – χωρίς να φιλοδοξεί να έχει την ίδια παιδευτική αξία με τη γνωστή παραβολή του ασώτου 😀 – ίσως, να μπορούσε να αποτελέσει μια διδακτική παρέμβαση για την καμπύλη της παραβολής. Όπως θα γίνει φανερό, ο τίτλος της παρέμβασης, είναι εμπνευσμένος από τον πρωταγωνιστή δύο διαφορετικών διασκεδαστικών ιστοριών, δηλαδή τον “Σώτο” …

Οι ακόλουθες διαδραστικές εφαρμογές αποσκοπούν, επιπρόσθετα, στο να αναδείξουν την αξία της αλγεβρικής περιγραφής αυτής της καμπύλης. Έτσι, προσδοκάται να μελετηθεί η παραβολή ως γραφική παράσταση συνάρτησης με έναν παιγνιώδη τρόπο. (Αντίστοιχη απόπειρα, από μια διαφορετική οπτική γωνία, γίνεται κι εδώ.)

Παραβολικό πιάτο

Ο Σώτος αναλαμβάνει να διερευνήσει πως μεταβάλλεται το ύψος ενός παραβολικού πιάτου τηλεόρασης, σε σχέση με το “πλάτος” του, για λογαριασμό της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Θα έχετε, τότε, τη δυνατότητα να πειραματιστείτε με τον αλγεβρικό τύπο $y=\alpha x^2$ της παραβολής. Ιδιαίτερα, με τον τρόπο που η τιμή του συντελεστή $\alpha$ προσδιορίζει το “άνοιγμα” της καμπύλης.

Εκπαιδεύοντας το δελφίνι

“Σώτος” είναι το όνομα ενός δελφινιού που, λόγω τραυματισμού, βρίσκεται σ΄ ένα κέντρο αποκατάστασης δελφινιών. Μπορείτε να βοηθήσετε τον μικρό μας φίλο να ανακτήσει τις αλτικές του ικανότητες; Μάλλον, θα χρειαστεί να εκφράσετε την τροχιά του άλματός του ως συνάρτηση που προκύπτει από κατάλληλη κατακόρυφη μετατόπιση κάποιας παραβολής. Αξιοποιώντας τον τύπο που θα βρείτε, ίσως να πετύχετε τη σωστή τοποθέτηση των βοηθητικών δαχτυλιδιών εξάσκησης του δελφινιού.