Η περίμετρος του κύκλου και ο αριθμός π

Εισαγωγή

Ποιος αριθμός είναι ο αριθμός π και πως συνδέεται η περίμετρος του κύκλου με τον συγκεκριμένο αριθμό; Για ποιο λόγο χρησιμοποιείται ένα γράμμα για ένα “γνωστό” αριθμό; Γιατί ο αριθμός π ισούται περίπου με ; Ποια είναι η “ακριβής” τιμή του αριθμού π;

Tα προηγούμενα ερωτήματα συνδέονται με την προσπάθεια να ανακαλύψουμε πόσες φορές “χωράει” στην περιφέρεια ενός κύκλου η διάμετρός του. Για να αντιμετωπιστεί, λοιπόν, αυτό το κρίσιμο ζήτημα θα εκτελέσουμε το παρακάτω διαδραστικό πείραμα.

Το διαδραστικό πείραμα για το π

Αρχικά, να φανταστείτε ότι παίρνουμε ένα νήμα με μήκος ίσο με τη διάμετρο τού κύκλου. Στη συνέχεια, στερεώνουμε τη μία άκρη του σ’ ένα σημείο τού κύκλου το οποίο το συμβολίζουμε με .

Φροντίζοντας, έτσι, ώστε το νήμα να παραμένει “εγκλωβισμένο” στην περιφέρεια του κύκλου, σημειώνουμε με το σημείο τού κύκλου στο οποίο καταλήγει η άλλη άκρη τού νήματος.

Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία, στερεώνοντας, αυτή τη φορά, τη μία άκρη ενός ίδιου νήματος στο σημείο , οπότε η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου το οποίο συμβολίζουμε με .

Παρατηρούμε ότι υπάρχει περιθώριο για ακριβώς μία, ακόμη, επανάληψη της διαδικασίας, με αφετηρία αυτή τη φορά το σημείο και κατάληξη το σημείο τού κύκλου που συμβολίζουμε με .

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι, μέχρι στιγμής, το νήμα “χωράει” 3 φορές στην περιφέρεια του κύκλου.

Στη συνέχεια, γίνεται φανερό ότι αν θέλουμε να “καλύψουμε” ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου, θα πρέπει να καταφύγουμε σε υποδιαιρέσεις ενός τέτοιου νήματος.

Αρχικά, το κόβουμε σε δέκα ίσα μέρη. Στερεώνοντας τη μια άκρη, για το ένα απ’ αυτά τα δέκα μέρη, στο σημείο , παρατηρούμε ότι η άλλη άκρη καταλήγει στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα .

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα “χωράει” 3,1 φορές στον κύκλο και για να συνεχίσουμε θα χρειαστούμε επιπλέον υποδιαίρεση.

Λοιπόν, το κόβουμε, τώρα, σε εκατό ίσα μέρη. Χρησιμοποιώντας τα τέσσερα απ’ αυτά, διαδοχικά, το ένα μετά το άλλο, σύμφωνα με την προηγούμενη διαδικασία, ξεκινώντας απ’ το σημείο , παρατηρούμε ότι καταλήγουμε στο σημείο τού κύκλου που το συμβολίζουμε με το γράμμα .

Άρα, μέχρι στιγμής, το νήμα “χωράει” 3,14 φορές στον κύκλο.

Όλα αυτά μπορούν να επιβεβαιωθούν αξιοποιώντας την παρακάτω διαδραστική εφαρμογή.

Να παρατηρήσετε ότι το σημείο φαίνεται να έχει συμπέσει με το σημείο και η διαδικασία μοιάζει να έχει ολοκληρωθεί.

Είναι, όμως, έτσι, ή μήπως πρόκειται για οφθαλμαπάτη;

Η συνέχεια

Για να διαπιστώσετε ότι, πράγματι, πρόκειται για οφθαλμαπάτη, θα πρέπει να μεγεθύνετε το σχήμα της διαδραστικής εφαρμογής. Να μεγεθύνετε όσο χρειαστεί, διαλέγοντας την αντίστοιχη επιλογή, ωσότου γίνει φανερό ότι τα σημεία και είναι διαφορετικά.

Επομένως, δε μπορούμε να πούμε ότι το νήμα “χωράει” ακριβώς 3,14 φορές στον κύκλο. Απεναντίας, κάποιο, έστω μικρό, μέρος τού κύκλου εξακολουθεί να παραμένει “ακάλυπτο”.

Όσο κι αν προσπαθήσουμε, όσες φορές κι αν ακολουθήσουμε την προηγούμενη διαδικασία (κόβοντας το νήμα διαδοχικά σε κ.ο.κ. ίσα μέρη), δε θα καταφέρουμε να “καλύψουμε” ολόκληρη την περιφέρεια τού κύκλου. Βέβαια, κάθε φορά θα ανακαλύπτουμε κι ένα ακόμη δεκαδικό ψηφίο τού αριθμού που μάς δείχνει πόσες φορές “χωράει” η διάμετρος τού κύκλου στην περιφέρειά του. Μπορείτε να δοκιμάσετε να ανακαλύψετε περισσότερα ψηφία του π, π-εριτυλίγοντας … τον κύκλο από εδώ. 

Επίλογος

Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτό συμβαίνει σε οποιονδήποτε κύκλο.

Τα δεκαδικά ψηφία αυτού τού αριθμού δεν τελειώνουν ποτέ. Δε μπορούμε να τον διαβάσουμε, όπως διαβάζουμε έναν φυσικό, έναν ακέραιο ή έναν δεκαδικό αριθμό (περιοδικό ή μη), ωστόσο, αυτό μοιάζει περισσότερο με δική μας αδυναμία. Είναι ευπρόσδεκτος στην “οικογένεια” των αριθμών. Άλλωστε, όπως και οι υπόλοιποι “συγγενείς του”, επιτελεί ένα σημαντικό έργο μέτρησης. Η περίμετρος του κύκλου, πλέον, μπορεί να υπολογιστεί και ο αριθμός αυτός (π) έχει καθοριστική συμβολή.

   

Συμβολίζεται, διεθνώς, με το γράμμα π, από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης “περιφέρεια”. Τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία αυτού του άρρητου αριθμού είναι,

   

(Για μια ενδελεχή μελέτη και επικύρωση των δεκαδικών του ψηφίων, λίγη υπομονή μέχρι τη Β΄ Λυκείου …)

“Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι”