Ρητές εξισώσεις - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι ρητές εξισώσεις εμφανίζονται ως ειδική κατηγορία των κλασματικών εξισώσεων. Μια εξίσωση ονομάζεται κλασματική, όταν ο άγνωστος της εξίσωσης εμφανίζεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος της εξίσωσης. Αν οι όροι της εξίσωσης έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή κλασμάτων, όπου τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, τότε, η εξίσωση λέγεται ρητή. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις, $\dfrac{x+2}{x^2+1}=\dfrac{1}{x}$ και $\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{x+1}$ είναι ρητές, ενώ η εξίσωση $\dfrac{-2}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{-2}$ συγκαταλέγεται στις κλασματικές.

Βασική μεθοδολογία

Κατά την επίλυση μιας ρητής εξίσωσης, αρχικά, καλό είναι να περιοριστεί το πεδίο αναζήτησης των λύσεών της, εξαιρώντας τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τους εμφανιζόμενους παρονομαστές. Γι’ αυτό αποδεικνύεται, ιδιαίτερα, χρήσιμο οι παρονομαστές να έχουν προηγουμένως παραγοντοποιηθεί. Η παραγοντοποίηση, άλλωστε, συμβάλλει στον υπολογισμό του ΕΚΠ των παρονομαστών, βήμα σημαντικό κατά τη μετέπειτα απαλοιφή τους. Πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους μιας κλασματικής εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών της, μετά την εκτέλεση των απλοποιήσεων που προκύπτουν, η αρχική εξίσωση μετασχηματίζεται σε πολυωνυμική εξίσωση. Στο πλαίσιο της Γ΄ Γυμνασίου, συνήθως, πρόκειται για μια εξίσωση πρώτου ή δεύτερου βαθμού.

Η διαδραστική εφαρμογή

Γενικά, είναι διαπιστωμένο ότι η ενότητα αυτή εμφανίζει σημαντικές δυσκολίες, κατά τη διδακτική προσέγγιση, αφού προϋποθέτει πλήρη κατανόηση για μια πληθώρα προ απαιτούμενων γνώσεων όπως ταυτότητες, παραγοντοποίηση, εύρεση ΕΚΠ, απλοποίηση, επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγή όμοιων όρων, επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού.

Η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή πραγματεύεται τα παραπάνω θέματα για ποικίλες ρητές εξισώσεις. Ο χρήστης μπορεί να εισαγάγει τις απαντήσεις του οι οποίες ελέγχονται από την εφαρμογή. Επιπλέον, παρέχονται κατευθυντήριες γραμμές μέσα από κατάλληλες υποδείξεις. Το επίπεδο δυσκολίας, μετά από σχετική επιλογή, διαφοροποιείται μεταβάλλοντας τις προκλήσεις των εξισώσεων.