Σχήμα Horner

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η πραγματοποίηση της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, μ’ ένα διαιρέτη της μορφής x-\rho, μπορεί να επιτευχθεί ελαττώνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων πράξεων που απαιτείται στο συνήθη αλγόριθμο της γενικότερης διαίρεσης δύο πολυωνύμων. Η διαδικασία είναι γνωστή ως σχήμα Horner, προς τιμή του Βρετανού μαθηματικού William George Horner (9 Ιουνίου 1786 – 22 Σεπτεμβρίου 1837), μολονότι, μάλλον, ήταν γνωστή 600 χρόνια νωρίτερα στον Κινέζο μαθηματικό Qin Jiushao.

Μπορείτε, άραγε, να εικάσετε πως προκύπτουν το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} όταν ο διαιρέτης είναι της μορφής x-\rho;

Το κίνητρο

Να παρατηρήσετε τα διαδοχικά βήματα, κατά την εφαρμογή του γνωστού αλγορίθμου της διαίρεσης δύο πολυωνύμων, σε μια προσπάθεια να βελτιωθούν ορισμένες διεργασίες αλλά και να αφαιρεθούν κάποιες περιττές, ίσως, συμβολικές παραστάσεις.

\begin{array}{*{20}{l}} {{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+{{\alpha }_{{\nu -1}}}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{-{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{\nu }}+\rho {{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}\text{}}}} \\ {\text{ (}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+{{\alpha }_{{\nu -2}}}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}\text{ }} \\ {\underline{{-\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -1}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}\text{ }}}} \\ {\text{(}{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho \text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{))}{{x}^{{\nu -2}}}+...+{{\alpha }_{2}}{{x}^{2}}+{{\alpha }_{1}}x+{{\alpha }_{0}}} \\ {\underline{{.............................................................................}}} \\ \begin{array}{l}\text{ }...\\\upsilon =.......................................................................\end{array} \end{array}\left| \begin{array}{l}\underline{{x-\rho }}\\{{\alpha }_{\nu }}{{x}^{{\nu -1}}}+\text{(}{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}\text{)}{{x}^{{\nu -2}}}+...\text{+}...............\\\\\\\\\\\\\end{array} \right.

Η “αφαίρεση”

Ενδεχομένως, κατά την προηγούμενη ρουτίνα, να αναγνωρίζεται η χρησιμότητα της συμπλήρωσης μιας διάταξης της ακόλουθης μορφής,

\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}} & {{{\alpha }_{{\nu -3}}}} & {...} & {{{\alpha }_{1}}} & {{{\alpha }_{0}}} \\ \downarrow & {\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {} & {} \\ {{{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }}} & {{{\alpha }_{{\nu -2}}}+\rho ({{\alpha }_{{\nu -1}}}+\rho {{\alpha }_{\nu }})} & {..................} & {...} & {..................} & {..................} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {\text{ }\rho } \\ {} \\ {} \end{array}

της οποίας τα στοιχεία τοποθετούνται ως εξής:

  • Πρώτη σειρά: Τα κελιά της απαρτίζονται από τους συντελεστές του διαιρετέου, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του , από τα αριστερά προς τα δεξιά. Ακόμη, λίγο δεξιότερα τοποθετείται η τιμή του  \rho.

Έπειτα, ενώ το πρώτο κελί της δεύτερης σειράς, απλώς, “προετοιμάζει την κάθοδο” του στοιχείου του κελιού υπεράνω του, το πρώτο κελί της τρίτης σειράς είναι το ίδιο με το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς.

  • Δεύτερη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της απαρτίζονται από τα γινόμενα του \rho επί το κελί της τρίτης σειράς που βρίσκεται στην αμέσως προηγούμενη στήλη.

  • Τρίτη σειρά: Εκτός του πρώτου, τα κελιά της προκύπτουν ως αθροίσματα των στοιχείων της πρώτης και δεύτερης σειράς.

Στην τελευταία σειρά του σχήματος Horner, έως το προτελευταίο κελί, ανακύπτουν οι συντελεστές του πηλίκου. Μπορείτε να μαντέψετε τι αποτελεί το ακροτελεύτιο κελί;

Λειτουργική χρήση του σχήματος

Η διαδικασία της διαίρεσης πολυωνύμων συμβάλλει, εκτός των άλλων, στην παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου. Το τελευταίο αποτελεί το “κλειδί” για την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων αλλά και ανισώσεων. Έτσι, το σχήμα Horner προσφέρει, σε αρκετές περιπτώσεις, ένα κομψό μηχανισμό επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων / ανισώσεων. (Να ανακαλέσετε τις αντίστοιχες μεθόδους όταν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι μικρότερος ή ίσος του 2.)

Από την άλλη πλευρά, το Σχήμα Horner, για να αποδώσει, κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου, προϋποθέτει την ύπαρξη μιας γνωστής ρίζας.

Στο τελευταίο μπορεί να αποδειχτεί ιδιαίτερα χρήσιμο το Θεώρημα Ακέραιων ριζών, στην περίπτωση, βέβαια, όπου οι συντελεστές των όρων των πολυωνύμων είναι ακέραιοι. Σύμφωνα με το θεώρημα, οι ακέραιες ρίζες, για ένα τέτοιο πολυώνυμο, πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των διαιρετών του σταθερού του όρου.

Η διαδραστική εφαρμογή

Όλα τα παραπάνω μπορούν να διαπραγματευτούν με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής. Με τη βοήθειά της, μπορείτε, στο Στάδιο 1, να εξασκηθείτε με διάφορα σχήματα Horner. Τα σχήματα αυτά μπορούν είτε να  παραχθούν με αυτοματοποιημένο τρόπο είτε να είναι δική σας επιλογής. Έπειτα, στο Στάδιο 2, παρέχεται η δυνατότητα παραγοντοποίησης πολυωνύμων με τη βοήθεια του σχήματος Horner. Η αρχική ρίζα εντοπίζεται αυτόματα από την εφαρμογή και δίνεται για υποβοήθηση. (Το τελευταίο είναι δυνατό ακόμα και για πολυώνυμο δική σας επιλογής.) Ακολούθως, στο Στάδιο 3, θα κληθείτε να αναζητήσετε επιπλέον ρίζα για το πολυώνυμο. Έτσι, μπορεί να συνεχιστεί η επίλυση της πολυωνυμικής εξίσωσης, από το προηγούμενο στάδιο, ενσωματώνοντας και το Θεώρημα των Ακέραιων Ριζών. Τέλος, στο Στάδιο 4, ζητείται η συμπλήρωση του πίνακα προσήμου για το αντίστοιχο πολυώνυμο της πολυωνυμικής εξίσωσης.

1 σχόλιο

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αυτός ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για να μειώσει τα ανεπιθύμητα σχόλια. Μάθετε πώς υφίστανται επεξεργασία τα δεδομένα των σχολίων σας.