Σχετικές θέσεις σημείου-κύκλου, ευθείας-κύκλου και δύο κύκλων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι σχετικές θέσεις μεταξύ διάφορων γεωμετρικών αντικειμένων, όπως σημείου ως προς κύκλο, ευθείας ως προς κύκλο και κύκλου ως προς κύκλο, αποτελεί ένα ιδιαίτερο γεωμετρικό θέμα που συνδέεται με πραγματικές καταστάσεις.

Αρχικά, στο συγκεκριμένο άρθρο, θα αναλύσουμε, κατά περίπτωση, τις δυνατές σχετικές θέσεις.

Στη συνέχεια, θα συνδέσουμε τη θεωρία με ορισμένα προβλήματα από την καθημερινότητα τα οποία θα επιλύσουμε με τη βοήθεια κατάλληλων τύπων από την Αναλυτική Γεωμετρία.

Τέλος, μετά την ολοκλήρωση της ενότητας, ακολουθεί ένα διαδραστικό τεστ με ποικιλία ερωτήσεων κατανόησης και ασκήσεων εμπέδωσης κλειστού τύπου.

Σχετικές θέσεις σημείου και κύκλου

Να παρατηρήσετε τη θέση των σημείων, $A,B$ και $\mathit\Gamma$ ως προς τον κύκλο, $(K,\rho)$ , του παρακάτω σχήματος. Μπορείτε να περιγράψετε που βρίσκονται τα σημεία αναφορικά με τον κύκλο;

Γενικότερα, για τις σχετικές θέσεις ενός σημείου ως προς έναν κύκλο υπάρχουν οι εξής δυνατότητες:

Ένα σημείο, όπως το $A$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να βρίσκεται στο εσωτερικό ενός κύκλου.
Ένα σημείο, όπως το $B$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να βρίσκεται πάνω στον κύκλο.
Ένα σημείο, όπως το $\mathit{\Gamma}$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να βρίσκεται στο εξωτερικό ενός κύκλου.

Γεωμετρικά, οι αντίστοιχες συνθήκες προκύπτουν συγκρίνοντας την απόσταση του σημείου, από το κέντρο του κύκλου, με την ακτίνα του κύκλου.

Έτσι, αν το σημείο είναι το $M$ και αν $(MK)$ δηλώνει την απόσταση του $M$ από το κέντρο, $K$ , ενός κύκλου ακτίνας, $\rho$ :

Το σημείο $M$ βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου, αν, και μόνο αν,
$(MK)<\rho.$
Το σημείο $M$ βρίσκεται πάνω στον κύκλο, αν, και μόνο αν,
$(MK)=\rho.$
Το σημείο $M$ βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου, αν, και μόνο αν,
$(MK)>\rho.$

Εφαρμογή σε πραγματικές καταστάσεις

Σύνδεση με Αναλυτική Γεωμετρία

Μια κεραία ενός ραδιοφωνικού σταθμού βρίσκεται στο σημείο $K=(1,2)$ ενός συστήματος συντεταγμένων $Oxy$ . Το σήμα της κεραίας εκπέμπεται μέχρι ακτίνα $\rho=3$ . Ένα αυτοκίνητο βρίσκεται στη θέση $A=(5,-1)$ .

Άραγε, μπορεί το σήμα του σταθμού να φτάσει στο αυτοκίνητο;

Για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα αρκεί να προσδιορίσουμε τη σχετική θέση του $A$ ως προς τον κύκλου $(K,3)$ . Επομένως, θα πρέπει να υπολογιστεί η απόσταση, $AK$ , του σημείου, $A$ , από το κέντρο, $K$ , του κύκλου και να συγκριθεί με την ακτίνα, $\rho=3$ , του κύκλου. Έτσι, έχουμε,

$AK=\sqrt{(5-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5>\rho.$

Συνεπώς, το $A$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου κέντρου $K$ και ακτίνας $\rho=3$ . Δηλαδή, το σήμα δε μπορεί να φτάσει ως το σημείο $A$ που βρίσκεται το αυτοκίνητο.

Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

Να παρατηρήσετε τη θέση των ευθειών, $\varepsilon,\zeta$ και $\eta$ ως προς τον κύκλο, $(K,\rho)$ , του παρακάτω σχήματος. Μπορείτε να περιγράψετε που βρίσκονται οι ευθείες αναφορικά με τον κύκλο;

Γενικότερα, για τις σχετικές θέσεις μιας ευθείας ως προς έναν κύκλο υπάρχουν οι εξής δυνατότητες:

Μια ευθεία, όπως η $\varepsilon$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να τέμνει έναν κύκλο σε δύο (2) σημεία.
Μια ευθεία, όπως η $\zeta$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να εφάπτεται με έναν κύκλο. (Δηλαδή, να τον τέμνει σε ακριβώς ένα (1) σημείο.)
Μια ευθεία, όπως η $\eta$ στο παραπάνω σχήμα, μπορεί να βρίσκεται στο εξωτερικό ενός κύκλου.

Γεωμετρικά, οι αντίστοιχες συνθήκες προκύπτουν συγκρίνοντας την απόσταση του κέντρου του κύκλου, από την ευθεία, με την ακτίνα του κύκλου.

Έτσι, αν η ευθεία είναι η $\mu$ και αν $\mathrm{d}(K,\mu)$ παριστάνει την απόσταση του κέντρου, $K$ , ενός κύκλου ακτίνας, $\rho$ , από την ευθεία:

Η ευθεία, $\mu$ , είναι τέμνουσα του κύκλου, αν, και μόνο αν,
$\mathrm{d}(K,\mu)<\rho.$
Η ευθεία, $\mu$ , εφάπτεται στον κύκλο, αν, και μόνο αν,
$\mathrm{d}(K,\mu)=\rho.$
Η ευθεία, $\mu$ , βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου, αν, και μόνο αν,
$\mathrm{d}(K,\mu)>\rho.$

Με το συγκεκριμένο θέμα είχατε ασχοληθεί και στη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου. Για να ασκηθείτε, περισσότερο, με αυτές τις συνθήκες, μπορείτε να επεξεργαστείτε μια φόρμα διαδραστικών ερωτήσεων από εδώ.

Εφαρμογή σε πραγματικές καταστάσεις

Σύνδεση με αναλυτική γεωμετρία

Υπάρχουν σημεία της ευθείας, $\varepsilon$ , στα οποία θα μπορούσε να φτάσει το σήμα της κεραίας;

Για να απαντήσουμε σε τέτοια ερωτήματα θα πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση, $d(K,\varepsilon)$ , της ευθείας $\varepsilon$ από το κέντρο $K$ του κύκλου $(K,3)$ . Στη συνέχεια, θα τη συγκρίνουμε με την ακτίνα $\rho=3$ του κύκλου.

Οπότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης,

$d(K,\varepsilon)=\dfrac{|Ax_0+By_0+\mathit{\Gamma}|}{\sqrt{A^2+B^2}},$

του σημείου $K=(x_0,y_0)$ από την ευθεία $\varepsilon:Ax+By+\mathit{\Gamma}=0$ , προκύπτει ότι,

$d(K,\varepsilon)=\dfrac{|-3\cdot 1+4\cdot 2+10|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|15|}{\sqrt{25}}=\dfrac{15}{5}=3=\rho.$

Συνεπώς, η ευθεία, $\varepsilon$ , εφάπτεται του κύκλου. Τελικά, υπάρχει ακριβώς ένα σημείο, το σημείο επαφής της ευθείας, $\varepsilon$ , με τον κύκλο, $(K,3)$ , της εμβέλειας του σήματος, στο οποίο μπορεί να φτάσει το σήμα.

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Παρακάτω εικονίζονται πέντε διαφορετικά σχήματα δύο κύκλων $c_1$ και $c_2$ . Να παρατηρήσετε, κάθε φορά, τη θέση του $c_1$ ως προς τον $c_2$ . Μπορείτε να περιγράψετε τη σχετική τους θέση;

Δύο κύκλοι μπορεί να βρίσκονται καθένας τους στο εξωτερικό του άλλου κύκλου. (1ο σχήμα της εικόνας.)
Δύο κύκλοι μπορεί να εφάπτονται εξωτερικά. (Δηλαδή, να τέμνονται, εξωτερικά, σε ένα (1) ακριβώς σημείο.) (2ο σχήμα της εικόνας.)
Δύο κύκλοι μπορεί να τέμνονται μεταξύ τους σε δύο (2) σημεία. (3ο σχήμα της εικόνας.)
Δύο κύκλοι μπορεί να εφάπτονται εσωτερικά. (Δηλαδή, να τέμνονται, εσωτερικά, σε ένα (1) ακριβώς σημείο. (4ο σχήμα της εικόνας.)
Βέβαια, στην περίπτωση που οι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες, θα μπορούσαν ακόμη και να συμπίπτουν. Αυτό συμβαίνει όταν ταυτίζονται τα κέντρα τους.)
Δύο κύκλοι μπορεί να βρίσκονται σε τέτοιες θέσεις ώστε ο ένας να βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου κύκλου. (5ο σχήμα της εικόνας.)

Γεωμετρικά, οι αντίστοιχες συνθήκες προκύπτουν συγκρίνοντας την απόσταση των κέντρων των κύκλων (διάκεντρος), με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους.

Έτσι, αν $K$ και $\mathit{\Lambda}$ είναι τα κέντρα των κύκλων, αν $\delta=K\mathit{\Lambda}$ δηλώνει τη διάκεντρό τους και αν $R_1, R_2$ είναι οι ακτίνες των κύκλων, με $R{_2}\geq R{_1}$ :

Καθένας από τους δύο κύκλους βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου κύκλου, αν, και μόνο αν,
$\delta>R_1+R_2.$
Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, αν, και μόνο αν,
$\delta=R_1+R_2.$
Οι δύο κύκλοι τέμνονται μεταξύ τους σε δύο (2) σημεία, αν, και μόνο αν,
$R_2-R_1<\delta<R_1+R_2.$
Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, αν, και μόνο αν,
$\delta=R_2-R_1.$
Ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου κύκλου, και μόνο αν,
$\delta<R_2-R_1.$

Αυτές τις γεωμετρικές συνθήκες, μπορείτε να τις διαπραγματευτείτε, διεξοδικότερα, από εδώ.

Εφαρμογή σε πραγματικές καταστάσεις

Σύνδεση με αναλυτική Γεωμετρία

Δύο κεραίες ενός ραδιοφωνικού σταθμού βρίσκονται στα σημεία $K=(1,2)$ και ${\mathit\Lambda}=(13,7)$ ενός συστήματος συντεταγμένων $Oxy$ . Το σήμα του σταθμού $K$ εκπέμπεται μέχρι ακτίνα $R_{1}=3$ .

Άραγε, πόση, τουλάχιστον, πρέπει να είναι η ακτίνα, $R_{2}$ , του κύκλου εμβέλειας του σήματος του σταθμού $\it\Lambda$ για να μπορεί το σήμα και των δύο σταθμών να γίνεται, από το ίδιο σημείο ή από τα ίδια σημεία, ανιχνεύσιμο;

Η απάντηση σε τέτοια ερωτήματα συνδέεται με τη σχετική θέση δύο κατάλληλων κύκλων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θα πρέπει οι κύκλοι της εμβέλειας των σημάτων να μην είναι εξωτερικοί ο ένας του άλλου.

Άρα, η αντίστοιχη μαθηματική συνθήκη είναι, $\delta\leq R_{1}+R_{2}$ , όπου $\delta$ η διάκεντρός τους.

Έχουμε,

$\delta=K{{\mathit\Lambda}}=\sqrt{(13-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{144+25}=13.$

Συνεπώς, $13\leq 3+R_{2}$ . Δηλαδή, $R_{2}\geq 10$ . Τελικά, η ζητούμενη ελάχιστη τιμή για την ακτίνα, $R_{2}$ , ισούται με $10$ , όταν οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.