Η συμπλήρωση τετραγώνου για την εξίσωση του κύκλου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Πως εξειδικεύεται η συμπλήρωση τετραγώνου για την εξίσωση του κύκλου; Ποια είναι η χρησιμότητα της μεθόδου; Πως μπορούν να υπολογιστούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση;

Η συμπλήρωση τετραγώνου σε εξισώσεις μιας μεταβλητής

Η συμπλήρωση τετραγώνου πηγάζει από μια ευρηματική γεωμετρική μέθοδο, η οποία, συνήθως, εφαρμοζόταν σε εξισώσεις β΄ βαθμού μιας μεταβλητής. Αλγεβρικά, σκοπός της μεθόδου είναι να σχηματιστούν, στο ένα μέλος των εξισώσεων, τέλεια τετράγωνα, τα οποία θα συμβάλλουν στην αναγνώριση των λύσεών τους.

Για παράδειγμα, η εξίσωση, $x^2+10x=39$ , με τη βοήθεια της συμπλήρωσης τετραγώνου, μετασχηματίζεται, διαδοχικά, ως εξής,

$x^2+2\cdot x\cdot5=39$

$x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=39+5^2$

$(x+5)^2=64$

δηλαδή, $x+5=8$ ή $x+5=-8$ , οπότε $x=3$ ή $x=-13$ .

Ωστόσο, από τη στιγμή που για τις εξισώσεις β΄ βαθμού γνωρίζουμε τον γενικότερο τρόπο διερεύνησης των λύσεων τους, με τη βοήθεια της διακρίνουσάς τους $\Delta$ , ίσως να αναρωτηθήκατε προς τι τόσος κόπος. Η απάντηση είναι ότι τα γνωστά συμπεράσματα και οι τύποι που σχετίζονται με τη διακρίνουσα της εξίσωσης έχουν προέλθει, ακριβώς, από την εφαρμογή αυτής της μεθόδου.

Η συμπλήρωση τετραγώνου σε εξισώσεις δύο μεταβλητών όπως του κύκλου

Κάτι αντίστοιχο συντελείται και σε ορισμένες εξισώσεις β΄ βαθμού στο επίπεδο. Εδώ, προφανώς, το πλήθος των μεταβλητών είναι δύο ( $x$ και $y$ ). Αυτό είναι το θέμα που θα μάς απασχολήσει στη συνέχεια.

Ένας κύκλος με κέντρο $K(x_0,y_0)$ και ακτίνα $\rho$ έχει εξίσωση της μορφής $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ .

Για παράδειγμα, η εξίσωση $(x+1)^2+(y-2)^2=49$ , παριστάνει κύκλο κέντρου $K(-1,2)$ και ακτίνας $\rho=7$ . Μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι, με την εκτέλεση κατάλληλων πράξεων, η εξίσωση γράφεται $x^2+y^2+2x-4y-44=0$ .

Εύλογα, τίθεται το αντίστροφο ερώτημα, δηλαδή πως από την τελευταία εξίσωση θα μπορούσαμε, μετασχηματίζοντάς την, να τη φέρουμε στη μορφή $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ .

Γενικά, θα μπορούσαμε να το επιτύχουμε, ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

“Ομαδοποίηση” των μεταβλητών – Εμφάνιση “διπλάσιων γινομένων” – Μεταφορά του σταθερού όρου στο β΄μέλος:
$x^2+2 \cdot x \cdot 1+y^2-2 \cdot y \cdot2=44.$

Συμπλήρωση τετραγώνων με πρόσθεση αντίστοιχων όρων στα δύο μέλη της εξίσωσης:
$x^2+2 \cdot x \cdot 1+1^2+y^2-2 \cdot y \cdot2+2^2=44+1^2+2^2.$

Αξιοποίηση γνωστών ταυτοτήτων:
$(x+1)^2+(y-2)^2=49.$

Η τελευταία μορφή, προφανώς, ευνοεί τον υπολογισμό του κέντρου και της ακτίνας του κύκλου της αρχικής εξίσωσης.

Η διαδραστική εφαρμογή

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, προσφέρεται για εξάσκηση στην παραπάνω μέθοδο. Η εφαρμογή παρέχει ποικιλία εξισώσεων που, τελικά, οδηγούνται, με τη συμπλήρωση τετραγώνου, στη μορφή $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ της εξίσωσης του κύκλου. Έτσι, προκύπτουν άμεσα το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που παριστάνουν.