Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Στη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου, οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων, δηλαδή όλες οι δυνατές περιπτώσεις για τη θέση του ενός κύκλου αναφορικά με τη θέση ενός δεύτερου κύκλου, αποτελεί το τελευταίο σκέλος της ενότητας των ανισοτικών σχέσεων.

Βέβαια, όσο κι αν ο κορυφαίος Γερμανός μαθηματικός D. Hilbert διατεινόταν ότι η σχέση που πραγματικά κυβερνάει τα Μαθηματικά είναι η ανισότητα, μάλλον, στο σχολείο, έχετε συνηθίσει να επεξεργάζεστε σχέσεις ισότητας. Έτσι, ίσως, σε ορισμένες περιπτώσεις, να νιώθετε λίγο άβολα όταν καλείστε να διερευνήσετε ανισοτικές σχέσεις.

Τελικά, ίσως να μην είναι πολλοί οι εκείνοι οι μαθητές που καταφέρνουν να εμπεδώσουν τις τυπικές σχέσεις που αντιστοιχούν στις διάφορες σχετικές θέσεις δύο κύκλων. Ενδεχομένως, μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση, που αξιοποιεί ποικίλα διαδραστικά εργαλεία, να δημιουργούσε τις απαραίτητες συνδέσεις για μια πιο ολοκληρωμένη παρουσίαση των εννοιών αυτής της παραγράφου.

Πρόκληση ενδιαφέροντος

Θα έχετε παρατηρήσει ότι, για ένα ασύρματο δίκτυο Wifi, το σήμα μπορεί να χαθεί αν απομακρυνθούμε από το σημείο που βρίσκεται ο δρομολογητής (router). Αυτό συμβαίνει γιατί το σήμα του δρομολογητή έχει μια συγκεκριμένη εμβέλεια. Έτσι, το σήμα, καθώς εκπέμπεται προς κάθε κατεύθυνση, φτάνει, στο επίπεδο, μέχρι τις παρυφές ενός νοητού κύκλου κάποιας ακτίνας με κέντρο τον δρομολογητή.

Τώρα, να σκεφτείτε το παρακάτω πρόβλημα:

Δύο φίλοι μένουν σε δύο διαφορετικά σπίτια, $K$ και $\it\Lambda$ , σε κάποια απόσταση μεταξύ τους. Το κάθε σπίτι έχει το δικό του ασύρματο δίκτυο WiFi με διαφορετική εμβέλεια γύρω από το σπίτι.

Συγκεκριμένα, ο δρομολογητής του σπιτιού $K$ καλύπτει μια ακτίνα $30$ μέτρων ενώ ο δρομολογητής του σπιτιού $\it\Lambda$ καλύπτει μια ακτίνα $25$ μέτρων στο επίπεδο που θεωρείται ότι βρίσκονται τα παιδιά.

Οι δύο φίλοι επιθυμούν να συναντηθούν και να συνδεθούν, από το ίδιο σημείο, καθένας τους στο δίκτυο του σπιτιού του. Μ’ αυτόν τον τρόπο, θα κατορθώσουν να παίξουν, από κοντά, ως συμπαίκτες, ένα διαδικτυακό παιχνίδι χωρίς να μειωθεί η ταχύτητα των δικτύων τους. Άραγε:

➡️ Υπάρχουν τέτοια σημεία στα οποία να μπορούν να βρεθούν οι δύο φίλοι; Αν ναι, που εντοπίζονται;

➡️ Μήπως οι κυκλικές περιοχές των ασύρματων δικτύων WiFi δε συναντιούνται πουθενά;

Τέτοια ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν αν προσδιορίσουμε τη σχετική θέση των δύο κύκλων. Δηλαδή, αυτό σημαίνει να προσδιορίσουμε τη θέση του ενός κύκλου αναφορικά με τη θέση του άλλου κύκλου. Για παράδειγμα, αν ο κάθε κύκλος είναι εξωτερικά του άλλου κύκλου, τότε, οι περιοχές των ασύρματων δικτύων Wifi δε συναντιούνται πουθενά.

Τελικά, ποιο επιπλέον στοιχείο, μαζί με τις ακτίνες των δύο κύκλων, χρειάζεται να γνωρίζουν οι δύο φίλοι; Ακόμη, σε τι υπολογισμούς και συγκρίσεις θα πρέπει να προβούν τα δύο παιδιά;

Να θυμάστε ότι επιθυμούν να διερευνήσουν τη δυνατότητα να συνδεθούν, από κοινό σημείο, καθένας τους στο δίκτυο του σπιτιού του.

Η διάκεντρος των δύο κύκλων

Το στοιχείο που, μαζί με τις ακτίνες τους, καθορίζει τη σχετική θέση δύο κύκλων είναι η απόσταση των κέντρων τους.

Έτσι, λοιπόν, αρκεί να προσδιοριστεί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα κέντρα τους. Το συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται διάκεντρος των κύκλων και συμβολίζεται με $\delta$ . Φυσικά, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η διάκεντρος εκφράζει την απόσταση των σπιτιών των δύο φίλων. Άλλωστε, αυτά αποτελούν τα αντίστοιχα κέντρα των κύκλων των σημάτων των δικτύων. Ας δούμε, λοιπόν, όλες τις δυνατότητες και τις αντίστοιχες μαθηματικές συνθήκες που προκύπτουν κατά περίπτωση.

Δυνατές περιπτώσεις

Ο κάθε κύκλος βρίσκεται εξωτερικά του άλλου

Σίγουρα, μια τέτοια περίπτωση δεν επιτρέπει στους δύο φίλους, ανεξάρτητα από το σημείο που θα σταθούν, να καταφέρουν να συνδεθούν καθένας τους στο δίκτυο του σπιτιού του.

Μήπως μπορείτε να ανακαλύψετε την αντίστοιχη συνθήκη για την απόσταση των σπιτιών τους;

Με τη βοήθεια του παραπάνω σχήματος, φαίνεται ότι η απόσταση, $\delta=K{\it\Lambda}$ , σε μέτρα, των σπιτιών των δύο φίλων, που αποτελούν τα κέντρα των παραπάνω κύκλων, θα είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα, $55$ , των ακτίνων αυτών των κύκλων. Για παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι $\delta=70$ μέτρα. Μη λησμονείτε ότι αυτή η απόσταση αποτελεί τη διάκεντρο των δύο κύκλων που σχηματίζονται στα όρια της εμβέλειας των σημάτων των δύο δικτύων. Επομένως, πιο γενικά, η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ο κάθε κύκλος στο εξωτερικό του άλλου είναι,

$\delta>R_{1}+R_{2}.$

Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

Εδώ, οι φίλοι έχουν μόνο ένα κοινό σημείο στο οποίο θα μπορούσαν να βρεθούν και να συνδεθούν ο καθένας στο δίκτυο του σπιτιού του. Πρόκειται για το σημείο στο οποίο εφάπτονται εξωτερικά οι δύο κύκλοι. Προφανώς, κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί αν και μόνο αν $\delta=K{\it\Lambda}=55$ μέτρα. Συνεπώς, πρέπει και αρκεί η απόσταση των σπιτιών τους να ισούται με το άθροισμα των ακτίνων της εμβέλειας των δικτύων τους. Πιο γενικά, η αντίστοιχη μαθηματική συνθήκη, για να εφάπτονται εξωτερικά οι δύο κύκλοι, είναι

$\delta=R_{1}+R_{2}.$

Οι δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία

Τότε, αναμφίβολα, οι δύο φίλοι έχουν αρκετά κοινά σημεία που θα μπορούσαν να σταθούν για να ευχαριστηθούν το διαδικτυακό τους παιχνίδι. Αναλυτικότερα, τα δύο παιδιά θα μπορούσαν να σταθούν στα σημεία τομής των δύο κυκλικών δίσκων. (Ο κυκλικός δίσκος περιλαμβάνει, εκτός από τα σημεία της περιφέρειας του κύκλου, και τα εσωτερικά σημεία του.)

Για παράδειγμα, σε μια τέτοια κατάσταση, θα μπορούσε να ισχύει, $\delta=50$ μέτρα. Πιο γενικά, εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο $KA\Lambda$ , έπεται ότι η αντίστοιχη μαθηματική συνθήκη. Άρα, οι δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία αν, και μόνο αν, ισχύει,

$R_{2}-R_{1}<\delta<R_{1}+R_{2}.$

Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά

Εδώ, οι δύο φίλοι θα μπορούσαν να σταθούν, συγχρόνως, οπουδήποτε στον μικρότερο κυκλικό δίσκο. Επιπλέον, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η απόσταση των σπιτιών ισούται με τη διαφορά των ακτίνων των κύκλων. Πράγματι, προεκτείνοντας τη διάκεντρο, $K\it\Lambda$ ωσότου συναντήσει το σημείο επαφής των δύο κύκλων, προκύπτει ότι, $\delta=R_{2}-R_{1}=5$ μέτρα. Έτσι, λοιπόν, η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εφάπτονται εσωτερικά δύο κύκλοι εκφράζεται από τη σχέση

$\delta=R_{2}-R_{1}.$

Ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου

Αν η απόσταση των δύο σπιτιών, δηλαδή η διάκεντρος, ελαττωθεί ακόμη περισσότερο, δηλαδή όταν, σε μέτρα, $\delta<5$ , τότε, ο μικρότερος κύκλος θα βρεθεί στο εσωτερικό του μεγαλύτερου κύκλου. Συνεπώς, πάλι, οι δύο μαθητές μπορούν να σταθούν σε οποιοδήποτε σημείο του μικρότερου κυκλικού δίσκου. Οπότε, η γενικότερη μαθηματική συνθήκη για να είναι ο ένας κύκλος στο εσωτερικό του άλλου κύκλου είναι,

$\delta<R_{2}-R_{1},$

όπου $R_{2}>R_{1}.$

Γραφική προσέγγιση των σχετικών θέσεων δύο κύκλων

Για να διερευνήσετε ακόμη περισσότερο τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, μπορείτε να αλληλεπιδράσετε με το ακόλουθο γραφικό. Να λάβετε υπόψη ότι έχετε τη δυνατότητα να κινείτε τα κέντρα των δύο κύκλων και να μεταβάλετε τις ακτίνες τους. Η εφαρμογή καταγράφει, κάθε φορά, τη σχετική θέση των δύο κύκλων. Έτσι, έχετε την ευκαιρία να πειραματιστείτε με διάφορες περιπτώσεις.

Διαδραστική εφαρμογή – Μη μου τους “κύνους” τάραττε …

Θα θέλατε να δοκιμάσετε να προσεγγίσετε το συγκεκριμένο θέμα μέσα από μια, ακόμη, διαδραστική εφαρμογή Geogebra; Αν ναι, να διαβάσετε την ακόλουθη χιουμοριστική ιστοριούλα …

Τι ακριβώς συνέβη και ο ήσυχος περίπατος, δύο μαθητών, εξελίχθηκε, απροσδόκητα, σε πραγματικό εφιάλτη; Μπορείτε να βοηθήσετε τους δύο μαθητές να τιθασεύσουν τα δύο σκυλάκια που έχουν μαζί τους για συντροφιά;

Τα προβλήματα, στην ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, ξεκίνησαν όταν τα δύο σκυλάκια επιχείρησαν να διεκδικήσουν ένα κόκκαλο που βρέθηκε στο δρόμο τους. Η ορμητικότητα που επέδειξαν, τα δύο κατοικίδια, για να προσεγγίσουν το κόκκαλο, είχε ως αποτέλεσμα τα δύο λουράκια, με τα οποία τα παιδιά τα συγκρατούν, να παραμένουν, συνεχώς, τεντωμένα. Έτσι, οριοθετούνται τα πεδία δράσης των δύο σκύλων από κύκλους ακτίνας, καθένας τους, όσο το αντίστοιχο λουράκι. Τα κέντρα των προηγούμενων κύκλων μπορούν να θεωρούνται τα σημεία που βρίσκονται τα δύο παιδιά.
Θα καταφέρουν, άραγε, οι δύο μαθητές να χειριστούν, σε διάφορες περιπτώσεις, τα δύο σκυλάκια;

Μήπως το εγχείρημά τους συνδέεται με τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων;

Δεν έχετε παρά να δοκιμάσετε κάνοντας κλικ στην παρακάτω εικόνα.

Καλή ενασχόληση!

Διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης

Με τις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις κατανόησης μπορείτε να ελέγξετε τον βαθμό κατανόησης της ενότητας της σχετικής θέσης δύο κύκλων. Πρόκειται για ένα τεστ με ποικιλία ερωτήσεων κλειστού τύπου.

Να επιχειρήσετε να απαντήσετε στις ερωτήσεις αυτές ακόμη κι αν δεν έχετε διαβάσει, επαρκώς, την αντίστοιχη θεωρία. Η δομή των ερωτήσεων είναι τέτοια που ευνοεί τη διερεύνηση των αντίστοιχων συμπερασμάτων της θεωρίας. Επίσης, οι ερωτήσεις παρέχουν ανατροφοδότηση με τα συνοδευτικά σχόλια καθώς και με τις βοήθειες που προσφέρουν. Οι τελευταίες ερωτήσεις προσφέρονται για μια πρώτη εφαρμογή των σχέσεων της θεωρίας σε αριθμητικά παραδείγματα. Αν γνωρίζετε τους τύπους της απόστασης δύο σημείων και της απόστασης σημείου από ευθεία, που διδάσκονται, κυρίως, στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου, θα μπορούσατε να δείτε και ορισμένες εφαρμογές των σχετικών σχέσεων από εδώ.

Καλή ενασχόληση!