Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η ενότητα που αναφέρεται στις συντεταγμένες των διανυσμάτων, αποτελεί, για τα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου, τον προπομπό της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Διότι, κατορθώνοντας, σε κάθε διάνυσμα του επιπέδου, να αποδοθεί, κατάλληλα, ένα ζεύγος αριθμών, ενδεχομένως, διάφορα γεωμετρικά προβλήματα, να μπορούσαν να αντιμετωπιστούν με αναλυτικές μεθόδους.

Άλλωστε, η ευχέρεια που προσφέρουν οι αριθμητικές και αλγεβρικές μέθοδοι, σχεδόν, καθιστούν επιβεβλημένο το εγχείρημα της ανάπτυξης αναλυτικών μεθόδων.

Ίσως, η προηγούμενη επαφή σας με την έννοια των συντεταγμένων να έγινε στο πλαίσιο της μελέτης της θέσης σημείων στο επίπεδο. Όπως θα δούμε, η κλασική αντιστοιχία των σημείων του επιπέδου σε ζεύγη αριθμών, που αποτελούν τις συντεταγμένες της θέσης τους, επεκτείνεται με τρόπο παρεμφερή και για τα διανύσματα.

Γνωρίζετε ότι, από τον τρόπο που ορίζεται η ισότητα διανυσμάτων, ένα διάνυσμα που μετατοπίζεται, ελεύθερα, παράλληλα προς τον εαυτό του, χωρίς να αλλάζει το μέτρο του και η φορά του, παραμένει αμετάβλητο. Συνεπώς, για ένα διάνυσμα, με δεδομένη αρχή, καθορίζεται, μονοσήμαντα, η θέση του πέρατος του. Έτσι, αν μπορούσαμε να θεωρήσουμε ένα σημείο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (κοινή αρχή), για τα διανύσματα του ενδιαφέροντός μας, τότε, τα περατά τους θα είναι τα σημεία κατατεθέν τους.

Άραγε, ποιο σημείο θα μπορούσε να αποτελέσει την κοινή αρχή διανυσμάτων στο Καρτεσιανό επίπεδο;

Συντεταγμένες διανυσμάτων – Βασικές έννοιες

Όπως προαναφέρθηκε, για ένα διάνυσμα, με δεδομένη αρχή, το πέρας του είναι μονοσήμαντα ορισμένο. Επομένως, η αντιστοιχία διανυσμάτων – ζευγών αριθμών επιτυγχάνεται στη βάση του ότι ένα διάνυσμα, με αρχή το κέντρο $O$ του Καρτεσιανού επιπέδου, θα μπορούσε, κάλλιστα, να “κληρονομήσει” τις συντεταγμένες του πέρατός του.

Δηλαδή, για παράδειγμα, στο προηγούμενο σχήμα, είναι, $\vec{\alpha}=(3,2)$ . Ας θεωρήσουμε, τώρα, τα μοναδιαία διανύσματα, $\vec{i}$ και $\vec{j}$ , με αρχή το $O$ , τα οποία βρίσκονται πάνω στους ημιάξονες, $Ox$ και $Oy$ , αντίστοιχα. Τότε, μπορεί να προκύψει μια ενδιαφέρουσα ανάλυση για το διάνυσμα $\vec\alpha$ .

Πράγματι, το $\vec{\alpha}$ αναλύεται ως άθροισμα δύο κάθετων συνιστωσών, $\vec{\alpha}=3\cdot\vec{i}+2\cdot\vec{j}.$

Φυσικά, οι συντεταγμένες ενός διανύσματος θα διατηρούνται ίδιες ανεξάρτητα από τις συντεταγμένες των άκρων του οι οποίες είναι δυνατόν να μεταβάλλονται. Έτσι, στο παρακάτω σχήμα,

εφόσον το διάνυσμα $\vec\alpha$ παραμένει, σε σχέση με προηγούμενα, αμετάβλητο, προφανώς, θα πρέπει, πάλι, να ισχύει, $\vec\alpha=(3,2)$ . Οπότε, το σπουδαίο, στην προκειμένη περίπτωση, είναι ότι το ζεύγος των συντεταγμένων του $\vec\alpha$ καθορίζει την ανάλυσή του σε οριζόντια ( $3\vec{i}$ ) και κάθετη ( $2\vec{j}$ ) συνιστώσα.

Προφανώς, αυτή η ανάλυση δε διαφοροποιείται, όσο το $\vec\alpha$ δεν αλλάζει, παρόλο που μπορούν να αλλάζουν οι συντεταγμένες των άκρων του $\vec{\alpha}$ .

Έτσι, λοιπόν, για κάθε διάνυσμα, οι συντεταγμένες του ορίζονται μονοσήμαντα. Το τελευταίο, όπως καταλαβαίνετε, έχει ιδιαίτερη σημασία.

Βέβαια, ειδικά στα διανύσματα, πολλές φορές το ενδιαφέρον στρέφεται και στο αποτέλεσμα των διάφορων πράξεων που θα μπορούσαν να εκτελεστούν. Συνεπώς, εύλογα τίθενται ερωτήματα όπως:

Ποιες είναι οι συντεταγμένες του αθροίσματος / διαφοράς δύο διανυσμάτων;
Ποιες είναι οι συντεταγμένες του γινομένου ενός διανύσματος επί έναν αριθμό;

Γενικότερα,

Ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων;

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα $\vec{u}$ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ όταν $\vec{u}=\lambda_1 \cdot \vec{\alpha}+\lambda_2\cdot\vec{\beta}$ , όπου $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ .

Απαραίτητη συνθήκη, λοιπόν, για την απρόσκοπτη κατανόηση αυτής της ενότητας, αποτελεί η εμπέδωση της ίδιας της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων.

Άρα, είναι σημαντικό να προϋπάρχει μια σχετική εξοικείωση με τα διανύσματα και τις πράξεις των διανυσμάτων.

Συντεταγμένες διανυσμάτων – Βασικοί τύποι

Έστω ότι οι συντεταγμένες δύο διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ του επιπέδου, είναι, αντίστοιχα, $(x_1,y_1)$ και $(x_2,y_2)$ .

Υποθέτουμε, δηλαδή, ότι $\vec{\alpha}=(x_1,y_1)$ και $\vec{\beta}=(x_2,y_2)$ . Τότε, μπορεί να αποδειχθεί ότι,

$\vec{\alpha}+\vec{\beta}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
$\lambda \cdot \vec{\alpha}=\lambda\cdot (x_1,y_1)=(\lambda\cdot x_1, \lambda\cdot y_1)$
$\lambda \cdot \vec{\alpha}+\mu \cdot \vec{\beta}=(\lambda \cdot x_1+\mu \cdot x_2,\lambda \cdot y_1+\mu \cdot y_2)$ .

Διαδραστική εφαρμογή

Σκοπός της ακόλουθης εφαρμογής είναι να συνδράμει στη βαθύτερη κατανόηση των σχέσεων που αναφέρονται στη συγκεκριμένη ενότητα. Η εφαρμογή εστιάζει στον υπολογισμό των συντεταγμένων του γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων. Ίσως, χάρη στο γραφικό και συνάμα διαδραστικό περιβάλλον της, να δοθεί η δυνατότητα να ερμηνευτούν, με τη βοήθεια ποικιλίας παραδειγμάτων, οι γνωστοί τύποι των συντεταγμένων του αθροίσματος, της διαφοράς, του γινομένου αριθμού επί διάνυσμα και γενικότερα του γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων.

Καλή ενασχόληση!

Φόρμα ερωτήσεων

Η ακόλουθη φόρμα ερωτήσεων αποσκοπεί στον έλεγχο των γνώσεων σχετικά με τις συντεταγμένες ενός γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων. Έτσι, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως ένα διαδραστικό τεστάκι το οποίο υποβάλλεται και διορθώνεται, άμεσα, με αυτοματοποιημένο τρόπο.

Καλή επιτυχία!