Ταυτότητες - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Όπως, ίσως, γνωρίζετε από το Γυμνάσιο, οι ταυτότητες είναι εκείνες οι ισότητες οι οποίες περιέχουν μεταβλητές και επαληθεύονται από οποιαδήποτε τιμή των μεταβλητών αυτών. Για παράδειγμα, ενώ η σχέση $1+1=2$ εκφράζει μια απλή ισότητα μεταξύ των δύο μελών της, χωρίς να εμφανίζεται κάποια μεταβλητή σε κάποιο από αυτά τα μέλη, η ισότητα $\alpha+\alpha=2\alpha$ , η οποία περιέχει μια μεταβλητή ποσότητα ( $\alpha$ ) και επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή αυτής της μεταβλητής – π.χ. όταν $\alpha=5$ , είναι, $5+5=2\cdot5$ , όταν $\alpha=7$ , είναι, $7+7=2\cdot7$ , όταν $\alpha=\frac{-1}{3}$ , είναι $\frac{-1}{3}+\frac{-1}{3}=2\cdot\frac{-1}{3}$ κ.ο.κ. – είναι μια ταυτότητα.

Μάλλον, έχετε, ήδη, συναντήσει αρκετές αξιοσημείωτες ταυτότητες. Μερικές από τις πιο κλασικές είναι το τετράγωνο του αθροίσματος και της διαφοράς, ο κύβος του αθροίσματος και της διαφοράς, καθώς και η διαφορά τετραγώνων. (Πρόκειται, αντίστοιχα, για τα αναπτύγματα των εξής παραστάσεων $(\alpha+\beta)^2$ , $(\alpha-\beta)^2$ , $(\alpha+\beta)^3$ , $(\alpha-\beta)^3$ , καθώς και για την παραγοντοποιημένη εκδοχή της παράστασης, $\alpha^2-\beta^2$ .)

Οι ταυτότητες είναι σημαντικές διότι αποκαλύπτουν τον τρόπο που διάφορες αριθμητικές ή αλγεβρικές παραστάσεις αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους. Προφανώς, αυτή η αλληλοεπίδραση καθορίζεται από τις ιδιότητες των πράξεων.

Από την άλλη πλευρά, οι ταυτότητες αναδεικνύουν και ενδιαφέρουσες γεωμετρικές σχέσεις. Ίσως, στο Γυμνάσιο να είχατε σχολιάσει τη γεωμετρική ερμηνεία για τις πιο συνηθισμένες ταυτότητες του τετραγώνου και του κύβου αθροίσματος.

Μολονότι είναι δύσκολο να αναζητηθούν οι ιστορικές τους ρίζες, είναι βέβαιο ότι οι αρχαίοι λαοί των Ελλήνων, των Ινδών και των λαών της Μεσοποταμίας χρησιμοποιούσαν διάφορες ταυτότητες. Ακόμη, κατά την Ισλαμική χρυσή εποχή τον 8ο και 9ο αιώνα μ.Χ., η ταυτότητα του τετραγώνου του αθροίσματος αξιοποιείται από τον Πέρση Μαθηματικό Αλ – Κβαρίσμ κατά την επίλυση εξισώσεων β΄ βαθμού. Αντίστοιχα, η ταυτότητα του κύβου αθροίσματος μπορεί να συνεισφέρει κατά την επίλυση εξισώσεων γ΄ βαθμού.

Διαδραστική εφαρμογή

Θα μπορούσε η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή να αποτελέσει την αφορμή για να εμπλακείτε ερμηνεύοντας, γραφικά, μία από τις πιο γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες;

Σκοπός είναι να ανασυνθέσετε το σχέδιο της κάτοψης ενός σπιτιού για να οδηγηθείτε στη γνωστή ταυτότητα, $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$ . Για να πετύχετε τον στόχο σας, θα πρέπει να μετακινήσετε και να περιστρέψετε, κατάλληλα, τα τέσσερα τετράπλευρα που αποτελούν το σχέδιο.

Καλή ενασχόληση!

Διαδραστική εφαρμογή: Τετράγωνο αθροίσματος

Ένα πρόβλημα για το τετράγωνο αθροίσματος

Θα καταφέρετε, εφαρμόζοντας την ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος, να επιλύσετε το παρακάτω πρόβλημα;

Στο καφενείο του χωριού, δύο κτηνοτρόφοι έλεγαν ότι κάποτε είχαν, συνεταιρικά, αγελάδες. Στην πορεία αποφάσισαν να τις πουλήσουν. Η τιμή που πήραν, για το κάθε κεφάλι, ήταν όσα και τα ζώα. (Π.χ. αν οι αγελάδες ήταν $50$ , τότε, πουλήθηκαν προς $50$ ευρώ η μία.)

Οι δύο συνέταιροι διέθεσαν τα χρήματα που εισέπραξαν για να αγοράσουν, από τη μια μεριά, όσα περισσότερα πρόβατα μπορούσαν στην τιμή των $10$ ευρώ το καθένα, ενώ, από την άλλη μεριά, με το ακέραιο ποσό που περίσσεψε, αγόρασαν και έναν σκύλο.

Κάποια στιγμή αποφάσισαν να μοιραστούν τα ζώα τους, έτσι, ώστε να πάρουν από ίσο αριθμό. Τότε, διαπίστωσαν ότι έπρεπε να μπει και ο σκύλος στη μοιρασιά. Έτσι, τον έδωσε ο ένας στον πρώην πλέον συνέταιρό του οπότε, πλέον, καθένας τους έχει πάρει τον ίδιο αριθμό ζώων. Ένας χωρικός, που άκουγε αμίλητος όλη αυτή την ώρα, απευθύνεται στον έναν από τους δύο κτηνοτρόφους: «Φαντάζομαι ότι, εκτός από τον σκύλο, θα του έδωσες και $2$ ευρώ, επιπλέον, για να είναι σωστή η μοιρασιά». Πώς ο χωρικός οδηγήθηκε στο προηγούμενο συμπέρασμα;

Βασικές ταυτότητες : Αλγεβρικές αποδείξεις

Εδώ, μπορείτε να επιχειρήσετε να τεκμηριώσετε, αλγεβρικά, διάφορες ταυτότητες με οδηγό κατάλληλες υποδείξεις.

Αρχικά, καλείστε να αποδείξετε την ταυτότητα, $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$ .

Για τον σκοπό αυτό, να συμπληρώσετε, κατάλληλα, τα κενά στις ισότητες που ακολουθούν.

$\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {\alpha +\beta } \right)}^{2}}=\left( {....................} \right)\bullet \left( {....................} \right) \\{{\left( {\alpha +\beta } \right)}^{2}}={{\alpha }^{2}}+.........+.........+.........\\ {{\left( {\alpha +\beta } \right)}^{2}}=........................................... \end{array}$

Υπόδειξη: Στην πρώτη ισότητα, να θυμηθείτε τον ορισμό της δύναμης για να αναλύσετε το $(\alpha+\beta)^2$ . Στη δεύτερη ισότητα, να εφαρμόσετε την επιμεριστική ιδιότητα στο β’ μέλος της προηγούμενης ισότητας. Στην τρίτη ισότητα, να εκτελέσετε τις αναγωγές των όμοιων όρων που προέκυψαν στο β’ μέλος της προηγούμενης ισότητας.

Στη συνέχεια, μπορείτε να συμπληρώσετε, κατάλληλα, τα κενά στις ταυτότητες που ακολουθούν.

$\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {\alpha -\beta } \right)}^{2}}=.........-............+.........\\{{\alpha }^{2}}-{{\beta }^{2}}=\left( {......+......} \right)\left( {......-......} \right)\\{{\left( {\alpha +\beta } \right)}^{3}}=.........+3{{\alpha }^{2}}\beta +............+{{\beta }^{3}}\\{{\left( {\alpha -\beta } \right)}^{3}}=.........-............+............-.........\\{{\alpha }^{{...}}}+{{\beta }^{{...}}}=\left( {\alpha +\beta } \right)\left( {{{\alpha }^{2}}-\alpha \beta +{{\beta }^{2}}} \right)\\{{\alpha }^{3}}-{{\beta }^{3}}=\left( {\alpha -\beta } \right)\left( {{{\alpha }^{{...}}}+.........+{{\beta }^{{...}}}} \right)\\{{\left( {\alpha +\beta +\gamma } \right)}^{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{{...}}}+{{\gamma }^{{...}}}+2\,......\cdot .......+2\,......\cdot .......+2\,......\cdot .......\end{array}$

Υπόδειξη: Στα σημεία που δεν είσαστε σίγουροι για το αποτέλεσμα μπορείτε, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα, να ανακαλύψετε τον όρο / τους όρους που συμπληρώνουν σωστά την κάθε ταυτότητα.

Διαδραστικές ασκήσεις

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τις γνώσεις σας πάνω στις βασικές ταυτότητες; Η παρακάτω δοκιμασία αποτελείται από ορισμένες διαδραστικές ασκήσεις κλειστού τύπου. Στις ασκήσεις αυτές, μέσω κατάλληλων σχολίων κατά την υποβολή, παρέχεται η αντίστοιχη ανατροφοδότηση. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα να αναθεωρήσετε τις απαντήσεις σας. Μάλιστα, μπορείτε να υποβάλλετε τις απαντήσεις σας όσες φορές επιθυμείτε. Σε κάθε περίπτωση, καλό είναι να διαβάσετε προσεχτικά τις εκφωνήσεις.

Ωστόσο, αν δεν αισθάνεστε, ακόμη, έτοιμοι μπορείτε να ξαναδιαβάσετε την θεωρία.

Ίσως, πάλι, να θεωρείτε ότι μπορείτε να ξεκινήσετε. Γιατί όχι; Ίσως, μ’ αυτόν τον τρόπο, στην πορεία των ασκήσεων, να εμπεδώσετε, καλύτερα, τη θεωρία.

Να μη βιαστείτε να απαντήσετε … ( Το τεστ αποτελείται από 14 ερωτήσεις. Σίγουρα, θα χρειαστούν μερικά λεπτά. Να έχετε “ετοιμοπόλεμα” ένα μολύβι και ένα πρόχειρο τετράδιο. )

Καλή επιτυχία!