Τέμνουσες κύκλου - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Στη Γεωμετρία της Β΄Λυκείου, οι τέμνουσες κύκλου αποτελούν μια ξεχωριστή ενότητα μετρικών σχέσεων. Η ενότητα περιλαμβάνει ορισμένες κομψές προτάσεις στον κύκλο, όπου, για την απόδειξή τους, αξιοποιείται, κυρίως, η ομοιότητα κατάλληλων τριγώνων. Θα επιχειρηθεί η ανάδειξη των κυριότερων σημείων της ενότητας χρησιμοποιώντας και ορισμένα από τα διαδραστικά εργαλεία του Geogebra.

Οι βασικές προτάσεις

Περίπτωση Ι

Θεωρούμε έναν κύκλο, $(O,\rho)$ , και δύο χορδές του, $AB$ και $\it\Gamma\Delta$ , οι οποίες τέμνονται σ’ ένα σημείο τους, $P$ , όπως στο ακόλουθο σχήμα.

Θυμάστε το βασικό κριτήριο ομοιότητας τριγώνων; Θα μπορούσατε να το εφαρμόζατε για να τεκμηριώσετε την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων $PA\it\Gamma$ και $PB\it\Delta$ ; Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές των δύο τριγώνων; Μπορείτε να συμπληρώσετε την αναλογία $\dfrac{PA}{P\it\Delta}=\dfrac{P......}{P......}$ . Τι παρατηρείτε;

Περίπτωση ΙΙ

Θεωρούμε έναν κύκλο $(O,\rho)$ και δύο χορδές του, $AB$ και $\it\Gamma\Delta$ , των οποίων οι προεκτάσεις τέμνονται σ’ ένα το σημείο τους, $P$ , όπως στο ακόλουθο σχήμα.

Εδώ, πως θα μπορούσατε, αντίστοιχα, να τεκμηριώσετε την ομοιότητα των τριγώνων $PA\it\Gamma$ και $PB\it\Delta$ ; Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές; Μπορείτε να συμπληρώσετε την αναλογία $\dfrac{PA}{P\it\......}=\dfrac{P......}{P......}$ . Τι παρατηρείτε;

(Αν δυσκολευτήκατε με την τεκμηρίωση της ομοιότητας των παραπάνω τριγώνων, ίσως να σάς διευκόλυνε το ακόλουθο σχήμα.

Έχετε τη δυνατότητα να οδηγηθείτε στην ίδια αναλογία.)

Περίπτωση ΙΙΙ

Όταν η τέμνουσα $P\it\Gamma\it\Delta$ τείνει να λάβει την οριακή θέση της εφαπτομένης $PE$ , καθώς τα σημεία $\it\Gamma$ και $\it\Delta$ , τείνουν να ταυτιστούν, τότε, εύλογα μπορούμε να, εικάσουμε ότι ισχύει $PA\cdot PB=PE^2$ . (Μιας και $P\it\Gamma\cdot P\it\Delta \simeq PE\cdot PE$ .)

Τότε, όμως, $PA\cdot PB=PE^2=PO^2-\rho^2$ . Η τελευταία παράσταση, $PO^2-\rho^2$ , καλείται και δύναμη, $\Delta _{{\left( {O,\rho } \right)}}^{P}$ , του σημείου $P$ ως προς τον κύκλο $(O,\rho)$ . Δηλαδή, $\Delta _{{\left( {O,\rho } \right)}}^{P}=PO^2-\rho^2$ .

Διαδραστικές Ασκήσεις

Θα μπορούσατε να ελέγξετε την πορεία κατανόησης όσων προηγήθηκαν με τη βοήθεια των παρακάτω διαδραστικών ερωτήσεων -ασκήσεων.

Διαδραστική εφαρμογή

Η οδύσσεια … του διαστήματος

Η Οδύσσεια … του διαστήματος αφορά στην περιπέτεια μιας ομάδας επιστημόνων, στη γη, που προσπαθεί να χειριστεί δύο ειδικά διαστημικά οχήματα ενός διαστημικού σταθμού. Σκοπός της ομάδας είναι να κατορθώσει, αξιοποιώντας τα δύο οχήματα, να πλησιάσει, όσο το δυνατόν περισσότερο, προς την κυκλική τροχιά που διαγράφει ένα ουράνιο σώμα.

Όμως, μια απροσδόκητη βλάβη στα ηλεκτρονικά συστήματα του σταθμού, καθιστά αναγκαία την επίλυση ενός προβλήματος μετρικών σχέσεων. Το πρόβλημα άπτεται, ιδιαίτερα, στην ενότητα της δύναμης σημείου ως προς κύκλο από τις τέμνουσες κύκλου. Συνδέεται, δηλαδή, πιο πολύ με την Περίπτωση ΙΙΙ που προηγήθηκε στην παραπάνω ανάλυση των βασικών προτάσεων.

Μπορείτε να βοηθήσετε;

Καλή ενασχόληση!