Τετράγωνο και κύβος αθροίσματος

Εισαγωγή

Το τετράγωνο και ο κύβος αθροίσματος, αποτελούν δύο ταυτότητες που διδάσκονται, για πρώτη φορά, στη Γ΄ Γυμνασίου. Συνήθως, διδακτικά, οι στόχοι περιστρέφονται γύρω από την αλγεβρική σκοπιά κατανόησης, εμπέδωσης και εφαρμογής των σχετικών κανόνων. Ωστόσο, ο διδακτικός προσανατολισμός θα μπορούσε να στραφεί και στη γεωμετρική ερμηνεία των δύο ταυτοτήτων. Έτσι, οι μαθητές έρχονται σε επαφή με πρωταρχικές μαθηματικές διεργασίες που εμπλουτίζουν τη μαθησιακή διαδικασία.

Άλλωστε, ποιο θα μπορούσε να είναι το πεδίο των νοημάτων που αντανακλούν οι διατυπώσεις “τετράγωνο αθροίσματος” ή “κύβος αθροίσματος”;

Τετράγωνο αθροίσματος

Στην Εικόνα 1,

Εικόνα 1		Εικόνα 2

παριστάνονται ένα τετράγωνο, πλευράς , καθώς και ένα τετράγωνο πλευράς .

Τα τετράγωνα έχουν τοποθετηθεί στο επίπεδο, κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να έχουν μοναδικό κοινό σημείο και κάθε πλευρά του πρώτου να είναι παράλληλη προς μια πλευρά του δεύτερου.

«Συμπληρώνουμε» το σχήμα, χρησιμοποιώντας κατάλληλα ορθογώνια, έτσι, ώστε, να σχηματιστεί το τετράγωνο πλευράς της Εικόνας 2.

Έτσι, το εμβαδόν του τετραγώνου που προέκυψε είναι: .

Όμως, το εμβαδόν του πράσινου τετραγώνου είναι: .

Ακόμη, το συνολικό εμβαδόν των μωβ τετραγώνων είναι: .

Επίσης, το εμβαδόν του κόκκινου τετραγώνου είναι: .

Τι παρατηρείτε;

Κύβος αθροίσματος

Στην Εικόνα 3,

Εικόνα 3

Φυσικά, ο όγκος του πράσινου κύβου είναι: .

Επιπλέον, ο συνολικός όγκος των μωβ¹ παραλληλεπιπέδων είναι: .

Ακόμη, ο συνολικός όγκος των γαλάζιων παραλληλεπιπέδων είναι: .

Τέλος, ο όγκος του κόκκινου κύβου είναι: .

Τι παρατηρείτε;