Τρίγωνα του Ήρωνα - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Τα τρίγωνα του Ήρωνα, στη σχολική καθημερινότητα, ίσως να μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να καλύψουν μια διαρκή “απαίτηση” των μαθητών. Για τα περισσότερα παιδιά, στα ζητούμενα των υπολογιστικών ασκήσεων, στη Γεωμετρία, μία αδιαπραγμάτευτη προϋπόθεση είναι να προκύπτουν “καλά νούμερα”. Το αντίθετο αποτελεί casus belli αφού, οποτεδήποτε συμβαίνει, εγείρει αμφιβολίες για την ορθή πορεία των συλλογισμών τους. Είναι οι προηγούμενες κοινές διαπιστώσεις ικανές να κεντρίσουν το ενδιαφέρον τους κατά την αναζήτηση τριγώνων όπου αρκετά στοιχεία τους πληρούν, ως ένα βαθμό, αυτές τις προδιαγραφές;

Πρόκειται, λοιπόν, για τα τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών και ακέραια τιμή εμβαδού. Σ’ αυτά τα τρίγωνα, μπορεί να διαπιστωθεί ότι τα ύψη τους, όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών τους, είναι ρητοί αριθμοί. (Για το πρώτο συμπέρασμα, ας ληφθεί υπόψη ότι κάθε ύψος τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του, διαιρούμενου με την αντίστοιχη βάση, ενώ, για το δεύτερο συμπέρασμα, ας υποδειχθεί ότι το εμβαδό ενός τριγώνου ισούται με το ημιγινόμενο δύο πλευρών του επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας τους καθώς και ο Νόμος των Συνημιτόνων.) Επιπλέον, σημειώνεται ότι οι ακτίνες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων αυτών των τριγώνων είναι ρητοί αριθμοί. (Για την αιτιολόγηση του τελευταίου, να ανατρέξετε στους αντίστοιχους τύπους που συνδέουν το εμβαδό ενός τριγώνου με τις ακτίνες του εγγεγραμμένου του και του περιγεγραμμένου του κύκλου.)

Η ονομασία τους δόθηκε προς τιμή του Αλεξανδρινού μαθηματικού και μηχανικού Ήρωνα (1ος αιώνας μ.Χ.). Στη Γεωμετρία, ο Ήρωνας είναι γνωστός για τον ομώνυμο τύπο,

$E=\sqrt{\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)},$

που υπολογίζει το εμβαδό, $E$ , ενός τριγώνου με τη βοήθεια των πλευρών του, $\alpha, \beta, \gamma$ , καθώς και της ημιπεριμέτρου του $\tau=\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$ .

Ερωτήματα

Στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου, στην εφαρμογή 2 της παραγράφου 10.4, δίνεται, ενδεχομένως, ένα από τα πιο κλασσικά παραδείγματα σκαληνού τριγώνου του Ήρωνα. Το τρίγωνο με πλευρές $13,14,15$ έχει χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε γεωμετρικές ασκήσεις αυτού του τύπου. Πράγματι, με εφαρμογή του τύπου του Ήρωνα, έπεται ότι,

$E=\sqrt{\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{2^4\cdot3^2\cdot 7^2}=84,$

δηλαδή τόσο οι πλευρές όσο και το εμβαδό του είναι ακέραιοι αριθμοί. Άραγε,

Μπορούμε να κατασκευάσουμε και άλλα τρίγωνα του Ήρωνα;
Ποιο είναι το πλήθος των τριγώνων του Ήρωνα;
Υπάρχει κάποια γενική μέθοδος κατασκευής τριγώνων του Ήρωνα;
Θα μπορούσε αυτή η μέθοδος να ενσωματωθεί σε μια διαδραστική εφαρμογή κατασκευής τριγώνων του Ήρωνα;

Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι από ένα τρίγωνο του Ήρωνα μπορούν να κατασκευαστούν άπειρα. Προς τούτο, αρκεί οι πλευρές του να πολλαπλασιαστούν με μια οποιαδήποτε σταθερά. Έτσι, φαίνεται ότι αξίζει να επικεντρωθεί κανείς σε εκείνα τα τρίγωνα του Ήρωνα όπου ο ΜΚΔ των πλευρών τους είναι ίσος με $1$ . Αυτά καλούνται πρωταρχικά.

Όπως θα γίνει φανερό, το Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι Πυθαγόρειες τριάδες αποτελούν το υπόβαθρο για τη μελέτη και την αναζήτηση τέτοιων τριγώνων.

Ειδικές περιπτώσεις συνθέσεων για τρίγωνα του Ήρωνα

Περίπτωση I

Συνένωση δύο ίσων ορθογώνιων τριγώνων με ακέραιες πλευρές και κοινή κάθετη

Ορμώμενοι από τον κλασικό τύπο $E=\dfrac{1}{2}\beta\upsilon$ , για το εμβαδό $E$ , ενός τριγώνου, όπου $\beta$ η βάση του και $\upsilon$ το αντίστοιχο ύψος του, ίσως το πρώτο που θα μπορούσε να σκεφτεί κανείς, για τη σύνθεση ενός τριγώνου του Ήρωνα, είναι να χρησιμοποιήσει δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές.

Για παράδειγμα, θεωρώντας δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα με μήκη $3,4$ και $5$ , μπορούν να συντεθούν δύο διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα του Ήρωνα. Πρόκειται για το τρίγωνο με πλευρές $5,5$ και $6$ και για το τρίγωνο με πλευρές $5,5$ και $8$ .

Παρόμοια, από ένα οποιοδήποτε ζεύγος ίσων ορθογώνιων τριγώνων, με ακέραια μήκη πλευρών, προκύπτουν δύο διαφορετικά τρίγωνα του Ήρωνα. Αρκεί, κάθε φορά, τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα να “συνενωθούν” έτσι, ώστε, να έχουν ως κοινή πλευρά τη μία από τις αντίστοιχες καθέτους τους.

Πράγματι, αν $\alpha, \beta$ και $\gamma$ , παριστάνουν τα ακέραια μήκη των πλευρών των ίσων ορθογώνιων τριγώνων, όπου $\alpha$ είναι το μήκος της υποτείνουσας, τότε, το ισοσκελές τρίγωνο, που προκύπτει από τη συνένωσή τους π.χ. κατά μήκος της πλευράς τους $\gamma$ έχει πλευρές $\alpha, \alpha$ και $2\beta$ . Επομένως, έχει, φυσικά, ακέραιες πλευρές, ενώ για το εμβαδό του, $E$ , θεωρώντας ως βάση του την πλευρά $2\beta$ , ισχύει $E=\dfrac{1}{2}\cdot(2\beta)\cdot \gamma=\beta\cdot \gamma$ που είναι επίσης ακέραιος.

Διαφαίνεται, έτσι, ένας πρώτος μηχανισμός παραγωγής τριγώνων του Ήρωνα. Επίσης, αναδεικνύεται και μια πρώτη συσχέτιση με τις Πυθαγόρειες τριάδες, δηλαδή με τις τριάδες ακεραίων που παριστάνουν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Βέβαια, όπως θα εξηγηθεί περισσότερο στη συνέχεια, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν, κάλλιστα, διαφορετικά ορθογώνια τρίγωνα με μία κοινή κάθετη πλευρά. Αυτό το θέμα εξετάζεται παρακάτω.

Περίπτωση II

Συνένωση δύο άνισων ορθογώνιων τριγώνων με ακέραιες πλευρές εκατέρωθεν της κοινής κάθετης

Γίνεται, πλέον, φανερό, από τα προηγούμενα, ότι για να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο του Ήρωνα αρκεί να βρεθούν δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών και μία ίση κάθετη πλευρά. Προφανώς, δεν είναι απαραίτητη η ισότητα αυτών των ορθογώνιων τριγώνων, όπως φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί, για το τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές $40,37,13$ .

Παραμένει, βέβαια, ζητούμενο το κατά πόσο το εμβαδό του τριγώνου, που συντίθεται, κατά αυτόν τον τρόπο, είναι, αναγκαστικά, ακέραιος. Αυτό είναι, πάντοτε, διασφαλισμένο και αποδεικνύεται έχοντας ως οδηγό τον τύπο $E=\dfrac{1}{2}\beta\cdot\upsilon$ . Αρχικά, ας τονιστεί ότι ως ύψος, $\upsilon$ , επιλέγεται η κοινή κάθετη των δύο ορθογώνιων τριγώνων.

Αν η κοινή κάθετη πλευρά είναι άρτιος αριθμός, τότε το συμπέρασμα είναι προφανές και απορρέει από τον κλασικό τύπο $E=\dfrac{1}{2}\beta\upsilon$ .
Αν η κοινή κάθετη πλευρά είναι περιττός αριθμός, τότε, για καθένα από τα αρχικά ορθογώνια τρίγωνα, η άλλη κάθετη πλευρά θα είναι άρτιος αριθμός. (Πράγματι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δε μπορούν και οι δύο κάθετες πλευρές του να περιττοί αριθμοί. Το γεγονός αυτό – που δεν είναι καθόλου προφανές – θα αποδειχθεί στην επόμενη παράγραφο όπου ξαναγίνεται χρήση του.) Αυτό σημαίνει ότι η βάση, $\beta$ , του συντιθέμενου τριγώνου είναι άρτιος, ως άθροισμα άρτιων. Άρα, το εμβαδό, $E$ , του τριγώνου είναι ακέραιος αριθμός.

Συμπληρωματικά, σε επόμενο στάδιο, θα μπορούσε κανείς, από μια συγκεκριμένη Πυθαγόρεια τριάδα, να παραγάγει πολλαπλάσια αυτής με σκοπό κάποια από τις κάθετες πλευρές που προκύπτουν να ισούται με την κάθετη πλευρά κάποιας άλλης Πυθαγόρειας τριάδας. Για παράδειγμα, από την Πυθαγόρεια τριάδα $3,4,5$ με πολλαπλασιασμό επί $2$ προκύπτει η Πυθαγόρεια τριάδα $6,8,10$ η οποία συνδυάζεται με την τριάδα $8,15,17$ , για να προκύψει το τρίγωνο με πλευρές $21,17,10$ .Αντίστοιχα, από την ίδια Πυθαγόρεια τριάδα $3,4,5$ , με πολλαπλασιασμό επί $3$ , προκύπτει η Πυθαγόρεια τριάδα $9,12,15$ η οποία συνδυάζεται με την τριάδα $5,12,13$ , όπως στο παρακάτω σχήμα.

Συνένωση δύο άνισων ορθογώνιων τριγώνων με ακέραιες πλευρές προς το ίδιο μέρος της κοινής κάθετης

Στα τρία προηγούμενα τρίγωνα, μπορεί κανείς να φανταστεί ένα εναλλακτικό τρόπο σύνθεσης. Η “συρραφή” θα μπορούσε, πάλι, να γίνει κατά μήκος της κοινής κάθετης. Ωστόσο, αυτή τη φορά, με τέτοιο τρόπο, έτσι, ώστε τα ορθογώνια τρίγωνα να βρεθούν προς το ίδιο μέρος της και όχι εκατέρωθεν αυτής. Για παράδειγμα, αξιοποιώντας, διαφορετικά, τον τελευταίο συνδυασμό τριάδων, θα μπορούσε να προκύψει το τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές $4,13,15$ .

Περίπτωση III

Τα ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές

Είναι αξιοσημείωτο ότι και τα ίδια τα ορθογώνια τρίγωνα, με ακέραιες πλευρές, τελικά, είναι τρίγωνα του Ήρωνα. Ας είναι, λοιπόν, $\alpha, \beta$ και $\gamma$ οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, όπου $\alpha$ είναι το μήκος της υποτείνουσάς του. Προφανώς, το εμβαδό του δίνεται από τον τύπο $E=\dfrac{1}{2}\beta\cdot\gamma$ . Ωστόσο, δε μπορούν, αμφότερα, τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών να είναι περιττοί αριθμοί. Η απόδειξη αυτού του συμπεράσματος θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο. Ακόμη, προϋποθέτει την αξιοποίηση κάποιων στοιχειωδών αποτελεσμάτων, από τη θεωρία αριθμών, όπως ότι:

Το τετράγωνο άρτιου είναι άρτιος / το τετράγωνο περιττού είναι περιττός,
Το άθροισμα άρτιων είναι άρτιος / το άθροισμα περιττών είναι άρτιος,
Το γινόμενο άρτιων είναι άρτιος / το γινόμενο περιττών είναι περιττός.

Οι αποδείξεις αυτών των αποτελεσμάτων αφήνονται ως άσκηση.

Έστω, λοιπόν, ότι $\beta, \gamma$ είναι περιττοί. Τότε, αφού $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ , έπεται ότι $\alpha^2$ , επίσης, άρτιος ως άθροισμα περιττών. Άρα, $\alpha$ άρτιος. Επομένως, θα είναι

$\alpha=2\lambda,\, \beta=2\mu+1, \,\gamma=2\nu+1,$

όπου $\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{Z}$ . Έτσι, αντικαθιστώντας στην ισότητα του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, προκύπτει ότι $4(\lambda^2-\mu^2-\mu-\nu^2-\nu)=2$ . Η τελευταία ισότητα είναι λανθασμένη διότι το α΄μέλος της είναι ένα πολλαπλάσιο του $4$ . Τελικά, καταλήξαμε σε άτοπο γεγονός που σημαίνει ότι $\beta$ ή $\gamma$ άρτιος. Άρα, $E=\dfrac{1}{2}\beta\cdot\gamma$ ακέραιος αριθμός αφού ένα, τουλάχιστον, από τα δύο μήκη των κάθετων πλευρών διαιρείται με το $2$ .

Ανάλυση της γενικής περίπτωσης

Άραγε, οι προαναφερόμενες ειδικές περιπτώσεις συνενώσεων διάφορων ορθογώνιων τριγώνων καλύπτουν, στο σύνολό τους, όλες τις δυνατότητες κατασκευής τριγώνων του Ήρωνα; Όπως θα εξηγηθεί στην πορεία, η απάντηση είναι καταφατική.

Θεωρώντας ένα τρίγωνο $\tau$ του Ήρωνα, παρατηρούμε, πρώτα απ’ όλα, ότι αν το τρίγωνο $\tau$ είναι ορθογώνιο, τότε εντάσσεται στην Περίπτωση III.

Υποθέτουμε, επομένως, ότι το τρίγωνο $\tau$ δεν είναι ορθογώνιο. Τότε, φέροντας ένα εσωτερικό του ύψος, $\upsilon$ , αυτό “διαμερίζεται” σε δύο ορθογώνια τρίγωνα $\tau_1$ και $\tau_2$ .

Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ οι πλευρές του διαμερισμένου τριγώνου με $\beta$ αυτή που αντιστοιχεί στο ύψος του, $\upsilon$ . Θα αποδειχθεί ότι οι πλευρές καθενός από τα δύο τρίγωνα $\tau_1$ και $\tau_2$ είναι ρητοί (κλασματικοί) αριθμοί. Οι πλευρές του τριγώνου $\tau_1$ είναι $\gamma$ , $\upsilon$ και $\beta_1$ , ενώ οι πλευρές του $\tau_2$ είναι $\alpha$ , $\upsilon$ και $\beta_2$ . Γνωρίζουμε, ήδη, ότι $\alpha,\beta,\gamma,$ και $E$ είναι ακέραιοι αριθμοί όπως ορίζεται στα τρίγωνα του Ήρωνα. Επιπρόσθετα:

Ο τύπος $\upsilon=\dfrac{2E}{\beta}$ , όπου $E$ το εμβαδό του $\tau$ εξηγεί γιατί $\upsilon$ ρητός.
Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα τρίγωνα $\tau_1$ και $\tau_2$ έπεται ότι,
$\beta_1^2=\gamma^2-\upsilon^2,\,\, \beta_2^2=\alpha^2-\upsilon^2.$
Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες, συνάγεται ότι $\beta_1^2-\beta_2^2=\gamma^2-\alpha^2$ , δηλαδή,
$(\beta_1-\beta_2)(\beta_1+\beta_2)=\gamma^2-\alpha^2,$
ή
$(\beta_1-\beta_2)=\dfrac{\gamma^2-\alpha^2}{\beta}\in\mathbb{Q},$
όπου $Q$ παριστάνει το σύνολο των ρητών αριθμών. Συνεπώς,
$\beta_2=\dfrac{\beta-(\beta_1-\beta_2)}{2}\in\mathbb{Q},$
ως διαφορά ρητών διαιρούμενη διά δύο. Παρόμοια, $\beta_1\in\mathbb{Q}$ . Είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς ότι πολλαπλασιάζοντας με το συντελεστή $\lambda$ , όπου π.χ. $\lambda$ θα μπορούσε να είναι το ΕΚΠ των εμφανιζόμενων παρονομαστών των πλευρών των τριγώνων $\tau_1$ και $\tau_2$ , τα τρίγωνα $\tau_1'$ και $\tau_2'$ , που προκύπτουν, είναι όμοια προς τα $\tau_1$ και $\tau_2$ έχοντας ακέραιες πλευρές. Άρα, οι πλευρές τους είναι Πυθαγόρειες τριάδες. Ακόμη, τα τρίγωνα $\tau_1'$ και $\tau_2'$ συνθέτουν τρίγωνο $\tau'$ όμοιο με το $\tau$ με συντελεστή ομοιότητας $\lambda$ . Το τρίγωνο $\tau'$ , λοιπόν, εντάσσεται, είτε στην Περίπτωση I είτε στην Περίπτωση II. (Επιπλέον, διαιρώντας με το ΜΚΔ των πλευρών του, καθίσταται πρωταρχικό.)

Οι τύποι του Brahmagupta

Θεωρούμε ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές $\alpha,\beta$ και $\gamma$ , όπου $\beta$ η πλευρά του που αντιστοιχεί στο εσωτερικό του ύψος $\upsilon$ . Έστω, όπως και προηγούμενα, ότι το (ρητό) $\upsilon$ διαιρεί την πλευρά $\beta$ στα (ρητά) μέρη $\beta_1$ και $\beta_2$ , όπως στο προηγούμενο σχήμα.

Πολλαπλασιάζοντας τις πλευρές του τριγώνου με το ΕΚΠ των εμφανιζόμενων παρονομαστών μπορεί να υποτεθεί ότι, στο όμοιο τρίγωνο που προκύπτει, όλα τα αντίστοιχα προαναφερόμενα τμήματα $\alpha',\beta',\gamma',\upsilon',\beta_1'$ και $\beta_2'$ είναι ακέραια.

Έχουμε,

$\gamma'^2-\beta'_1^2=\upsilon'^2,$

οπότε,

$(\gamma'-\beta'_1)(\gamma'+\beta'_1)=\upsilon'^2,$

που σημαίνει ότι, θέτοντας ως $m$ την ακέραια τιμή της διαφοράς, $\gamma'-\beta'_1$ , συνάγεται ότι, $\gamma'+\beta'_1=\dfrac{\upsilon'^2}{m}$ . Το σύστημα, $\left\{\begin{matrix}\gamma'-\beta'_1&=&m\\ \gamma'+\beta'_1&=&\dfrac{\upsilon'^2}{m}\end{matrix}\right,$

έχει λύση

$\left\{\begin{matrix}\gamma'=\dfrac{m+\dfrac{\upsilon'^2}{m}}{2} \\ \beta'_1=\dfrac{-m+\dfrac{\upsilon'^2}{m}}{2}\end{matrix}\right,$

δηλαδή,

$\left\{\begin{matrix}\gamma'=\dfrac{m^2+\upsilon'^2}{2m} \\ \\ \beta'_1=\dfrac{-m^2+\upsilon'^2}{2m}\end{matrix}\right..$

Ομοίως,

$\left\{\begin{matrix}\alpha'=\dfrac{n^2+\upsilon'^2}{2n} \\ \\ \beta'_2=\dfrac{-n^2+\upsilon'^2}{2n}\end{matrix}\right,$

για κατάλληλο ακέραιο $n$ . (Αντίστοιχα, $n$ παριστάνει την ακέραια τιμή της διαφοράς, $\alpha'-\beta'_2$ .)

Συνεπώς,

$\beta'=\dfrac{-nm^2+n\upsilon'^2}{2mn}+\dfrac{-mn^2+m\upsilon'^2}{2mn}=\dfrac{(n+m)(\upsilon'^2-nm)}{2mn}.$

Έτσι, $2mn\alpha'=m(n^2+\upsilon'^2), 2mn\beta'=(n+m)(\upsilon'^2-nm)$ και $2mn\gamma'=n(m^2+\upsilon'^2)$ .

Από τις τελευταίες ισότητες, απορρέουν οι τύποι του Ινδού μαθηματικού και αστρονόμου Βραχμαγκούπτα (7ος αιώνας μ.Χ.). Δηλαδή, συνάγεται ότι οι πλευρές $\alpha,\beta$ και $\gamma$ του αρχικού τριγώνου είναι ένα ρητό πολλαπλάσιο των ποσοτήτων $m(n^2+k^2), (n+m)(k^2-nm)$ και $n(m^2+k^2)$ , όπου $k,m,n\in\mathbb{Z}$ .

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε, με έναν περισσότερο εποπτικό τρόπο, να αναλύσετε διάφορα πρωταρχικά τρίγωνα του Ήρωνα. Τα πρωταρχικά τρίγωνα ταξινομούνται κατά αύξουσα τιμή εμβαδού.

Αναφορές

Carlson, John R., 1970, "Determination of Heronian triangles" (PDF). San Diego State College.
Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", pp.11-13; in R. D. Carmichael, 1959, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publications, Inc.
Κισκύρα Ν., 1980, Αριθμητικές τετράδες του Ήρωνα, Ηρώνεια τρίγωνα, σελίδες 8-9, Ευκλείδης Β΄, τεύχος 3, ΕΜΕ.