Βασικές εκθετικές εξισώσεις

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Σε σχολικό επίπεδο, οι μέθοδοι επίλυσης για τις βασικές εκθετικές εξισώσεις, πριν τη διδασκαλία των λογαρίθμων, συνήθως, οδηγούν στην επίλυση των αντίστοιχων πολυωνυμικών εξισώσεων, χάρη στην ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης,

$f(x)=\alpha^x,\,\,\,\,0<\alpha\neq1,\,\,x\in\mathbb{R},$

να απεικονίζει, αμφιμονονοσήμαντα, τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της, στις αντίστοιχες τιμές τους.

Αυτό εκφράζεται από την ισοδυναμία,

$\alpha^{x_1}=\alpha^{x_2}\Leftrightarrow x_1=x_2,$

η οποία εφαρμόζεται στις περισσότερες ασκήσεις αυτού του τύπου.

Βασικές μέθοδοι

Γενικά, στις εκθετικές εξισώσεις, σκοπός είναι, όταν είναι εφικτό, ο μετασχηματισμός των δύο μελών της εξίσωσης έτσι, ώστε, οι εκθετικές παραστάσεις να αναπαρασταθούν έχοντας ίδιες βάσεις.

Για παράδειγμα, η εξίσωση,

$3^x=\frac{1}{27},$

γράφεται, ισοδύναμα,

$3^{x}=3^{-3},$

επομένως, έχει μοναδική λύση, $x=-3$ .

Παρόμοια, η εξίσωση,

$100 \cdot 10^{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{10^{2}}},$

γράφεται, διαδοχικά,

$10^{x+2}=10^{-\frac{2}{3}},$

ή,

$x+2=-\frac{2}{3},$

συνεπώς, έχει μοναδική λύση, $x=-\frac{8}{3}$ .

Σε πολλές περιπτώσεις, βέβαια, προτού καταλήξουμε σε μια εξίσωση, όπως στα προηγούμενα δύο παραδείγματα, προηγείται μια επιπρόσθετη αλγεβρική διαδικασία.

Λόγου χάρη, η εξίσωση,

$5^{2x}-6\cdot5^x+5=0,$

είναι δεύτερου βαθμού ως προς $5^x$ με ρίζες τους αριθμούς $1$ και $5$ .

Οπότε, ισοδύναμα, έχουμε, $5^x=1$ ή $5^x=5$ , επομένως $x=0$ ή $x=1$ .

Είναι φανερό ότι για την επιτυχή αντιμετώπιση των εκθετικών εξισώσεων καλό είναι, πρώτα απ’ όλα, να υπάρχει μια σχετική ευχέρεια στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων. Έπειτα, μετά την απεμπλοκή από τις δυνάμεις, τροπον τινά απαιτείται η επίλυση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης με κάποια απ’ τις γνωστές μεθόδους που έχετε διδαχθεί. Θα μπορούσε, ακόμη, όταν ο βαθμός της εξίσωσης το καθιστά αναγκαίο, να επιστρατευτεί το Θεώρημα Ακέραιων Ριζών σε συνδυασμό με το Σχήμα Horner .

Η διαδραστική εφαρμογή

Η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή, προσφέρεται για εξάσκηση πάνω σε ορισμένες βασικές εκθετικές εξισώσεις.

Η εφαρμογή, επιχειρεί, μεθοδικά, την εμπέδωση των βημάτων που, συνήθως, στο πλαίσιο της σχολικής άλγεβρας, ολοκληρώνουν την επίλυση τέτοιων εξισώσεων.

Για το σκοπό αυτό, παρέχονται κατάλληλες κατευθύνσεις στο χρήστη, σ’ ένα διαδραστικό περιβάλλον ερωτήσεων – απαντήσεων. Οι ερωτήσεις συνοδεύονται από υποδείξεις αλλά και διορθώσεις ενδεχόμενων αστοχιών.

Προσφέρεται ποικιλία εκθετικών εξισώσεων οι οποίες διακρίνονται σε δύο ξεχωριστές κατηγορίες. Μπορείτε να επιλέξετε το βαθμό της προκύπτουσας πολυωνυμικής εξίσωσης, που αντιστοιχεί στην εκθετική, ενώ υπάρχει ειδική επιλογή που καθορίζει τη δυσκολία ενός ορισμένου τύπου εκθετικών εξισώσεων.

Καλή ενασχόληση!