Ακολουθίες

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Μοτίβα

Οι ακολουθίες, καθώς και οι δύο ειδικές κατηγορίες τους, οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές πρόοδοι, θα μπορούσαν να ερμηνευτούν ως δομημένα μοτίβα. Γενικότερα, ο όρος “μοτίβο” εμφανίζεται σε διάφορα πλαίσια, όπως στην τέχνη, στη λογοτεχνία, στη μουσική, στη φύση και στα μαθηματικά. Συνήθως, πρόκειται για μια οντότητα με επαναλαμβανόμενη δομή, μορφή ή σχέδιο. Συχνά, ένα μοτίβο αποπνέει μια αίσθηση τάξης.

Μπορείτε να σκεφτείτε τέτοια μοτίβα στην καθημερινότητά σας;

Λοιπόν, πολλές φορές, οι αισθήσεις μας αντιλαμβάνονται μια σειρά αλληλένδετων ερεθισμάτων που ακολουθούν έναν εσωτερικό νόμο.

Βέβαια, ο κανόνας, που αποτελεί τον ρυθμιστή αυτής της ακολουθίας ερεθισμάτων, μπορεί να είναι άλλοτε οπτικός, άλλοτε ακουστικός, άλλοτε απτικός, άλλοτε οσφρητικός, άλλοτε γευστικός ή και συνδυασμός των προηγούμενων.

Για παράδειγμα:

Η εναλλαγή στο χρώμα των φώτων στα φανάρια κυκλοφορίας: Πράσινο → Πορτοκαλί → Κόκκινο → Πράσινο. (Οπτικό μοτίβο.)
Η διαδοχή στα χτυπήματα του κουδουνιού τις ημέρες των μαθημάτων σ’ ένα σχολείο: Έναρξη του πρώτου μαθήματος → Διάλειμμα → Έναρξη του δεύτερου μαθήματος → Διάλειμμα → … → Έναρξη του τελευταίου μαθήματος → Λήξη. (Ακουστικό μοτίβο.)
Η διαδοχή των σύντομων δονήσεων στα δάχτυλά μας κατά το άνοιγμα και το κλείσιμο ενός φακού ή ενός ηλεκτρονικού διακόπτη: Η αλλαγή κατάστασης από ανοικτό σε κλειστό επιβεβαιώνεται με μια σύντομη δόνηση («κλικ»). (Απτικό μοτίβο.)
Η σειρά στο σερβίρισμα φαγητού σε μια εκδήλωση: Σαλάτα → Κυρίως πιάτο → Επιδόρπιο. (Γευστικό μοτίβο.)
Οι διαδοχικές μυρωδιές σ’ έναν ανθόκηπο: Απαλή μυρωδιά ανοιξιάτικων λουλουδιών στην είσοδο → Έντονη μυρωδιά λεβάντας στη μέση του κήπου → Γήινη μυρωδιά υγρού χώματος κοντά στο σιντριβάνι. (Οσφρητικό μοτίβο.)

Η αναγνώριση μοτίβων και η αποκωδικοποίησή τους, μάλλον, αποτελούν χαρακτηριστικά της ανθρώπινης διερευνητικής φύσης. Με τις θετικές επιστήμες αποσαφηνίζεται η αλληλουχία που διέπει, προοδευτικά, τη μεταβολή διάφορων τέτοιων δομών. Προφανώς, απώτερος στόχος αποτελεί η πρόγνωση της τάσης και της εξέλιξης αυτών των συνθέσεων.

Κανονικότητες

“… οι (μαθηματικές) ιδέες, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις πρέπει να ταιριάζουν με έναν τρόπο αρμονικό. ”

Γκ.Χ. Χάρτνυ, 1877 – 1947

Άγγλος Μαθηματικός

Για τα Μαθηματικά και τις εφαρμογές τους, η αναζήτηση κανονικοτήτων, που υπακούν σε συγκεκριμένα πρότυπα, είναι μια διαδικασία δυναμική και ζωτική.

Άραγε, ποια είναι η επόμενη σειρά στο προηγούμενο τρίγωνο του Pascal;

(Οι αριθμοί των σειρών των τριγώνων αποτελούν τους συντελεστές των μονωνύμων στα αναπτύγματα των ταυτοτήτων $(\alpha+\beta)^\nu$ , για $\nu=0,1,2,\dots$ . Ενδεικτικά, $(\alpha+\beta)^0=\bold{1}$ , $(\alpha+\beta)^1=\bold{1}\cdot\alpha+\bold{1}\cdot \beta$ , $(\alpha+\beta)^2=\bold{1}\cdot\alpha^2+\bold{2}\cdot \alpha\beta+\bold{1}\cdot\beta^2$ , $(\alpha+\beta)^3=\bold{1}\cdot\alpha^3+\bold{3}\cdot \alpha^2\beta+\bold{3}\cdot \alpha\beta^2+\bold{1}\cdot\beta^3$ κ.ο.κ..)

Κάποιες φορές οι όροι μιας ακολουθίας καθορίζονται από μια κανονικότητα που εξελίσσεται κλιμακωτά:

Ένας δρομέας μεγάλων αποστάσεων προπονείται καθημερινά. Την πρώτη ημέρα έτρεξε $5$ χιλιόμετρα. Ο δρομέας, στο πλαίσιο της προπόνησής του, αυξάνει καθημερινά την απόσταση που διανύει κατά $2$ χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει τη δέκατη ημέρα της προπόνησής του;
Εκτιμάται, σύμφωνα με έρευνες, ότι ο ετήσιος όγκος δεδομένων, που ένας μέσος χρήστης μοιράζεται στο διαδίκτυο, διπλασιάζεται κάθε χρόνο. Αν ο μέσος χρήστης είχε μοιραστεί, σε κάποιο έτος, 30 Gigabyte δεδομένων, τότε, τι όγκο δεδομένων θα μοιραστεί μετά από πέντε έτη;

Στο παράδειγμα του δρομέα, μεταξύ των όρων, $5,7,9,\dots$ , της ακολουθίας των αποστάσεων που διανύει, μπορείτε να παρατηρήσετε τη σταδιακή αύξηση των $2$ χιλιομέτρων. Ακολουθίες με αυτό το χαρακτηριστικό θα λέγονται αριθμητικές πρόοδοι.

Στο παράδειγμα του ετήσιου όγκου δεδομένων, μεταξύ των όρων, $30,60,120,\dots$ , της ακολουθίας των όγκων, που ο μέσος χρήστης μοιράζεται, ετησίως, στο διαδίκτυο, μπορείτε να παρατηρήσετε τον προοδευτικό διπλασιασμό τους. Ακολουθίες με αυτό το χαρακτηριστικό θα λέγονται γεωμετρικές πρόοδοι.

Συμπερασματικά, οι εφαρμογές των ακολουθιών εκτείνονται από την καθημερινότητα ως τις επιστήμες και την τεχνολογία.

Ορισμός, Γενικός τύπος

Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την ακολουθία $1,3,5,\dots$ των περιττών φυσικών αριθμών. Ο πρώτος όρος της είναι το $1$ , ο δεύτερος το $3$ , ο τρίτος το $5$ κ.ο.κ.. Συνήθως, χρησιμοποιούμε ένα μικρό γράμμα, που συνοδεύεται από τον κατάλληλο δείκτη, για να συμβολίσουμε κάποιον όρο της. Δηλαδή, επιλέγοντας το γράμμα $\alpha$ , γράφουμε π.χ.,

$\alpha_3=5.$

Η τελευταία ισότητα δηλώνει ότι ο τρίτος όρος, $\alpha_3$ , της ακολουθίας είναι ο αριθμός $5$ .

Γενικά, μια ακολουθία, με όρους $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots$ , ορίζεται, τυπικά, ως μια αντιστοιχία, $1\rightarrow \alpha_1,2\rightarrow \alpha_2,3\rightarrow \alpha_3,\dots,\nu\rightarrow \alpha_{\nu}$ , από το σύνολο ${1,2,3,\dots}$ των φυσικών αριθμών στο σύνολο $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών. Την ακολουθία αυτή τη συμβολίζουμε πιο σύντομα με $(\alpha_\nu)$ . (Το γράμμα $\nu$ , κάτω δεξιά, υποδεικνύει την επιλογή φυσικών αριθμών για τους δείκτες των όρων της.)

Έτσι, ο όρος, $\alpha_{\nu}$ , λέγεται γενικός όρος της ακολουθίας ή $\nu-$ οστός της όρος.

Στην ακολουθία $1,3,5,\dots$ των περιττών φυσικών αριθμών ο γενικός τύπος δίνεται από την ισότητα: $\alpha_{\nu}=2\nu-1$ .

Πράγματι,

$\begin{align*}\alpha_1&=2\cdot1-1=1,\\\alpha_2&=2\cdot2-1=3,\\\alpha_3&=2\cdot3-1=5,\\&\vdots \end{align*}$

Να έχετε υπόψη ότι υπάρχουν ακολουθίες – όπως η ακολουθία $2,3,5,7,11,\dots$ των πρώτων αριθμών – για τις οποίες δεν έχει βρεθεί τύπος για τον γενικό τους όρο.

Επιπλέον, ο παραπάνω ορισμός για τις ακολουθίες αφήνει το περιθώριο να ενταχθούν σ’ αυτές σειρές αριθμών οι οποίες δεν εμφανίζουν κάποια κανονικότητα. Για παράδειγμα, ρίχνουμε διαδοχικά ένα ζάρι καταγράφοντας το αποτέλεσμα της ρίψης του. Στην ακολουθία που προκύπτει οι αριθμοί δεν ακολουθούν κάποιον προφανή κανόνα ή πρότυπο. Συνεπώς, δεν υπάρχει κάποια προφανής σχέση μεταξύ των διαδοχικών αριθμών. Άρα, δε μπορούμε να προβλέψουμε ποιος αριθμός θα ακολουθήσει, αφού δεν υπάρχει κάποια επαναλαμβανόμενη δομή ή μαθηματικός κανόνας που να διέπει τη σειρά τους.

Η αναδρομικότητα στις ακολουθίες

Για να γίνει καλύτερα κατανοητή η έννοια της αναδρομικότητας, θα αναλύσουμε το παρακάτω ερώτημα που είναι γνωστό ως “Το πρόβλημα των χειραψιών”:

“Πόσες είναι οι συνολικές χειραψίες που θα ανταλλάξουν κάποια άτομα σ’ έναν χώρο αν χαιρετηθούν όλοι, ανά δύο μεταξύ τους, ακριβώς μια φορά;”

Προφανώς, για δύο άτομα, η απάντηση είναι μία $1$ χειραψία.
Αν προστεθεί άλλο ένα άτομο, δηλαδή για τρία άτομα, τότε, ο αριθμός αυτός θα αυξηθεί κατά $2$ . Παράλληλα, η αύξησή του φανερώνει το πλήθος των νέων χειραψιών σε σχέση με την αμέσως προηγούμενη περίπτωση των δύο ατόμων. Έτσι, για τρία άτομα, ο συνολικός αριθμός των χειραψιών είναι $1+2=3$ .
Παρόμοια, στα τέσσερα άτομα, αρκεί να προστεθεί το πλήθος των νέων χειραψιών ( $3$ ) του νέου ατόμου στον αριθμό ( $3$ ) της αμέσως προηγούμενης περίπτωσης των τριών ατόμων. Συνεπώς, για τέσσερα άτομα, ο συνολικός αριθμός των χειραψιών είναι $3+3=6$ .
Όμοια, στα πέντε άτομα, ο αριθμός των χειραψιών είναι το άθροισμα του $6$ (ο αριθμός των χειραψιών της αμέσως προηγούμενης περίπτωσης των τεσσάρων ατόμων) και του $4$ (ο αριθμός των νέων χειραψιών). Άρα, τα πέντε άτομα θα ανταλλάξουν $6+4=10$ χειραψίες κ.ο.κ..

Επομένως, παρατηρούμε ότι, σε κάθε στάδιο, η συγκεκριμένη υπολογιστική διαδικασία επιστρέφει σε προγενέστερο στάδιο – που, στο παράδειγμά μας, είναι το αμέσως προηγούμενο – αντλώντας απαραίτητες πληροφορίες τις οποίες αξιοποιεί στο τωρινό στάδιο. Αυτό, ακριβώς, σημαίνει αναδρομικότητα. Το τρέχον αποτέλεσμα πραγματώνεται μέσα από τον πρότερη κατάστασή του.

Πιο τυπικά, η ακολουθία, $(\alpha_{\nu})$ , του πλήθους των χειραψιών $\nu$ ατόμων, ορίζεται ως εξής,

$\alpha_{2}=1,\,\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}+\nu-1, \,\nu>2.$

Σύμφωνα με τον παραπάνω αναδρομικό τύπο, είναι,

$\begin{align*}\alpha_2&=1,\\\alpha_3&=\alpha_2+2=1+2=3,\\\alpha_4&=\alpha_3+3=3+3=6,\\&\vdots \end{align*}$

Γενικά, μια ακολουθία ορίζεται αναδρομικά όταν δοθεί ένας αναδρομικός τύπος και όσοι αρχικοί όροι της απαιτούνται για να είναι εφικτό να βρεθούν, διαδοχικά, οι επόμενοι όροι.

(Ο αναδρομικός τύπος συνδέει τους όρους της ακολουθίας, μετά από κάποιον όρο, με κατάλληλο πλήθος από προηγούμενους όρους.)

Παραδείγματα και εφαρμογές ακολουθιών

Η ακολουθία $1,4,9,\dots$ των τετραγώνων των φυσικών αριθμών. Αν $(\alpha_\nu)$ παριστάνει τη συγκεκριμένη ακολουθία, τότε,

$\begin{align*}\\\alpha_{1}&=1=1^2,\\\alpha_{2}&=4=2^2,\\\alpha_{3}&=9=3^2,\\&\vdots\end{align*}$

Δηλαδή, η ακολουθία έχει γενικό όρο $\alpha_{\nu}=\nu^2$ .

Αντίστροφα, για την ακολουθία με γενικό όρο $\beta_{\nu}=\frac{\nu}{2}$ , είναι,

$\begin{align*}\beta_{1}&=\frac{1}{2},\\\beta_{2}&=\frac{2}{2}=1,\\\beta_{3}&=\frac{3}{2},\\&\vdots\end{align*}$

Ακολουθία του Πύργου του Ανόι

Η ακολουθία του πύργου του Ανόι περιγράφει τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων που απαιτούνται για να μετακινήσουμε ένα σύνολο $\nu$ δίσκων από μια ράβδο σε μια άλλη προορισμένη ράβδο – χρησιμοποιώντας μια ακόμη βοηθητική ράβδο – σύμφωνα με τους κανόνες του παιχνιδιού. Οι κανόνες είναι οι παρακάτω:

Μπορούμε να μετακινούμε μόνο έναν δίσκο τη φορά.
Δε μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν μεγαλύτερο δίσκο πάνω σ’ έναν μικρότερο.

Μπορείτε να δοκιμάσετε την τύχη σας με το παιχνίδι από εδώ.

Ας υποθέσουμε, ότι, όπως στην πιο πάνω εικόνα, οι δίσκοι βρίσκονται στην πρώτη, κατά σειρά, ράβδο και ότι στόχος είναι να μεταφερθούν στην τρίτη ράβδο.

Για να κατανοήσετε την αναδρομικότητα της συγκεκριμένης ακολουθίας, ένας τρόπος υπάρχει …

Ας παίξουμε

Παιχνίδι 1. Το παιχνίδι έχει δύο δίσκους. Τότε, θα χρειαστούν τρεις κινήσεις, κατ’ ελάχιστον, για να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι π.χ. από την πρώτη ράβδο στην τρίτη ράβδο. Πράγματι:

Αρχικά, ο μικρός δίσκος, πάνω από τη στοίβα, μετακινείται από την πρώτη ράβδο στη δεύτερη. (1^η κίνηση.)
Έπειτα, ο μεγάλος δίσκος μετακινείται από την πρώτη ράβδο στην τρίτη. (2^η κίνηση.)
Ο μικρός δίσκος μετακινείται από τη δεύτερη ράβδο στην τρίτη. (3^η κίνηση.)

Παιχνίδι 2. Το παιχνίδι έχει τρεις δίσκους. Παρόμοια, μπορούμε να χωρίσουμε τον στόχο του παιχνιδιού σε τρεις φάσεις.

Στην πρώτη φάση θα χρειαστεί να μεταφερθούν οι δύο μικρότεροι δίσκοι από την πρώτη ράβδο στη δεύτερη ράβδο. (Όπως διαπιστώθηκε, στο προηγούμενο παιχνίδι, θα χρειαστούν, κατ’ ελάχιστο, 3 κινήσεις, με τη διαφορά ότι, στην παρούσα φάση, τον ρόλο της βοηθητικής ράβδου θα τον διαδραματίσει η τρίτη ράβδος.)
Στη δεύτερη φάση, θα μετακινηθεί ο μεγαλύτερος δίσκος στην τρίτη ράβδο, (1 κίνηση.)
Στην τρίτη φάση, στην ουσία, επαναλαμβάνεται η διαδικασία της πρώτης φάσης αφού, για να ολοκληρωθεί το παιχνίδι, αρκεί να μεταφερθούν οι δύο δίσκοι από τη δεύτερη στην τρίτη ράβδο. (Όπως και πριν, θα χρειαστούν, κατ’ ελάχιστο, 3 κινήσεις, με τη διαφορά ότι, σ’ αυτήν τη φάση, τον ρόλο της βοηθητικής ράβδου θα τον διαδραματίσει η πρώτη ράβδος.)

Συνολικά, ο αριθμός των κινήσεων είναι : $7=3+1+3=2\cdot3+1$ .

Παιχνίδι 3. Το παιχνίδι έχει τέσσερις δίσκους. Όμοια, μπορούμε να καταλάβουμε ότι ο συνολικός αριθμός των κινήσεων είναι: $15=2\cdot7+1$ .

Αναδρομικός τύπος της ακολουθίας του πύργου του Ανόι

Συμβολίζουμε με $\alpha_{\nu}$ τον ελάχιστο αριθμό των κινήσεων που απαιτούνται για να μετακινήσουμε τους $\nu$ δίσκους. Αντίστοιχα, ο όρος, $\alpha_{\nu-1}$ , παριστάνει τον ελάχιστο αριθμό των κινήσεων που απαιτούνται για να μετακινήσουμε τους $\nu-1$ δίσκους.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο αναδρομικός τύπος είναι,

$\alpha_{1}=1,\,\alpha_{\nu}=2\cdot\alpha_{\nu-1}+1,\,\nu>1.$

Ακολουθία Fibonacci

Το πρόβλημα αναπαραγωγής κουνελιών

Ο Fibonacci (1175 – 1240), ήταν Ιταλός μαθηματικός. Εκτός από την ομώνυμη ακολουθία, εισήγαγε το αραβικό δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στην Ευρώπη.

Το 1202, ο Ιταλός μαθηματικός Fibonacci μελέτησε ένα πρόβλημα αναπαραγωγής κουνελιών με τις εξής παραμέτρους:

Αρχικά, υπάρχουν δύο νεογέννητα κουνέλια ένα αρσενικό κι ένα θηλυκό.
Τα κουνέλια θα φτάσουν σε ηλικία αναπαραγωγής έπειτα από ένα μήνα.
Η περίοδος κύησης του θηλυκού κουνελιού είναι ένας μήνας.
Το θηλυκό κουνέλι, αφότου φτάσει σε ηλικία αναπαραγωγής, κυοφορεί κάθε μήνα.
Σε κάθε γέννηση, γεννιέται ένα νέο ζευγάρι που αποτελείται από ένα αρσενικό και ένα θηλυκό κουνέλι.
Για κάθε νέο ζευγάρι κουνελιών, που γεννιέται κάθε μήνα, ισχύουν οι παράμετροι 2 – 5.

Το ερώτημα, που έθεσε ο Fibonacci, ήταν το εξής:

«Με την προϋπόθεση ότι δεν πεθαίνει κανένα κουνέλι, πόσα ζευγάρια κουνελιών θα υπάρχουν μετά από δώδεκα μήνες;»

Η λύση του προβλήματος

Με βάση τις παραπάνω παραμέτρους, προκύπτει ότι,

Στις αρχές του πρώτου μήνα υπάρχει ένα ( $1$ ) ζευγάρι κουνελιών.
Στις αρχές του δεύτερου μήνα θα υπάρχει ένα ( $1$ ) ζευγάρι κουνελιών. (Χρειάζεται να περάσει άλλος ένας μήνας κυοφορίας για να γεννήσει το αρχικό ζευγάρι.)
Στις αρχές του τρίτου μήνα θα υπάρχουν δύο ( $2$ ) ζευγάρια κουνελιών. (Το αρχικό ( $1$ ) μαζί με το ( $1$ ) νέο ζευγάρι που γεννήθηκε.)
Στις αρχές του τέταρτου μήνα θα υπάρχουν τρία ( $3$ ) ζευγάρια κουνελιών. (Τα δύο ( $2$ ) προηγούμενα μαζί με το ( $1$ ) νέο ζευγάρι που γεννήθηκε από το αρχικό. Το δεύτερο κατά σειρά ζευγάρι κυοφορεί και θα γεννήσει, για πρώτη φορά, τον επόμενο μήνα.)
Στις αρχές του πέμπτου μήνα θα υπάρχουν πέντε ( $5$ ) ζευγάρια κουνελιών. (Τα τρία ( $3$ ) προηγούμενα μαζί με τα δύο ( $2$ ) νέα ζευγάρια που γεννήθηκαν από το αρχικό και από το δεύτερο, κατά σειρά, ζευγάρι. Το τρίτο ζευγάρι κυοφορεί και θα γεννήσει, για πρώτη φορά, τον επόμενο μήνα.)

Είναι φανερό ότι, για κάθε μήνα, μετά τον δεύτερο μήνα, ο συνολικός αριθμός των ζευγαριών των κουνελιών προκύπτει από το άθροισμα του αριθμού των ζευγαριών του αμέσως προηγούμενου μήνα και του αριθμού των νέων γεννήσεων ζευγαριών. Όμως, ο αριθμός των νέων γεννήσεων ζευγαριών συμπίπτει με τον αριθμό των ζευγαριών δύο μήνες πριν τον τρέχοντα μήνα. Δηλαδή,

στις αρχές του έκτου μήνα, θα υπάρχουν οχτώ ( $5+3=8$ ) ζευγάρια κουνελιών,
στις αρχές του έβδομου μήνα, θα υπάρχουν δεκατρία ( $8+5=13$ ) ζευγάρια κουνελιών, κ.ο.κ.,
στις αρχές δωδέκατου μήνα, θα υπάρχουν εκατόν σαράντα τέσσερα ( $144$ ) ζευγάρια κουνελιών.

Άρα, ως λύση στο πρόβλημα προκύπτει μια ακολουθία, που είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται αναδρομικά. Επιπλέον, συμβολίζοντας με $\alpha_{\nu}$ το συνολικό πλήθος των κουνελιών, στις αρχές του $\nu-$ οστού μήνα, έπεται ότι ο αναδρομικός τύπος της συγκεκριμένης ακολουθίας είναι,

$\alpha_{1}=1,\,\alpha_{2}=1,\,\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}+\alpha_{\nu-2},\,\nu>2.$

Η ακολουθία Fibonacci στη φύση

Η παρουσία της ακολουθίας Fibonacci είναι έκδηλη στα πρότυπα ανάπτυξης στη φύση. Οι παρακάτω εικόνες αντανακλούν τη βαθιά σύνδεση του κόσμου μας με τη συγκεκριμένη ακολουθία.

Ο αριθμός των πετάλων σε διάφορα είδη λουλουδιών.

Οι διακλαδώσεις του φυτού Αχίλλεια (Αγριαψιθιά) κατά τα διάφορα στάδια ανάπτυξής του.

Τα μήκη των τετραγώνων που συνθέτουν την επονομαζόμενη “χρυσή σπείρα”, μια έλικα που απαντάται συχνά γύρω μας.

Διαδραστικές ερωτήσεις στις ακολουθίες

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησης πάνω στους κύριους ορισμούς και στις βασικές έννοιες στις ακολουθίες; Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται. Δε χρειάζεται να έχετε διαβάσει, σχολαστικά, τη σχετική θεωρία. Το τεστ επιχειρεί να σας εισάγει, διαδραστικά, στα καίρια συμπεράσματα και συμβολισμούς που συνοδεύουν τις ακολουθίες.