Διάταξη πραγματικών αριθμών

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η διάταξη των πραγματικών αριθμών, στην Άλγεβρα της Α’ Λυκείου, αποτελεί μια ενότητα με ιδιαίτερη αξία. Άλλωστε, η μελέτη ανισοτικών σχέσεων, μεταξύ σταθερών ή μεταβλητών αριθμητικών ποσοτήτων, είναι κάτι που συναντάμε, διαρκώς, σε καθημερινές καταστάσεις.

Σας θυμίζει κάτι η προτροπή «διαταχθείτε» των καθηγητών φυσικής αγωγής στις πρόβες των παρελάσεων; Πως την αντιλαμβάνεστε;

Μάλλον, η διαφοροποίηση ποικίλων οντοτήτων, η αναπόφευκτη σύγκρισή τους και η παρεπόμενη ταξινόμησή τους είναι μια διαδικασία που συνδέεται με διάφορες ανθρώπινες δραστηριότητες.

Προφανώς, οι φράσεις «μικρότερος από» / «μεγαλύτερος από», που έχετε συναντήσει στα Μαθηματικά προηγούμενων τάξεων, εξυπηρετούν την ανάγκη διάκρισης μεταξύ των διάφορων αριθμητικών τιμών.

Τελικά, από την κατανόηση της έννοιας του μεγαλύτερου και μικρότερου αριθμού μέχρι τη χρήση των ανισοτήτων σε προβλήματα φυσικής, οικονομίας και πληροφορικής, η διάταξη των αριθμών προσφέρει τη δυνατότητα να οργανώνουμε, να συγκρίνουμε και να αναλύουμε δεδομένα.

Ορισμός διάταξης

Γεωμετρικά, στην ευθεία των αριθμών, όπως, μάλλον, ήδη, γνωρίζετε, οι αριθμοί που βρίσκονται δεξιότερα είναι μεγαλύτεροι.

Για παράδειγμα, στην παραπάνω εικόνα, είναι $\alpha>\beta>\gamma$ . Επομένως, στο πλαίσιο της ιεράρχησης των στοιχείων του, το σύνολο των πραγματικών αριθμών εφοδιάζεται με μια σχέση διάταξης. Η συγκεκριμένη σχέση, ερμηνεύεται, αλγεβρικά, από την ισοδυναμία, $\alpha>\beta\Leftrightarrow \alpha-\beta>0$ .

Ιδιότητες της διάταξης

Η διάταξη, αναφορικά και με τις γνωστές πράξεις, υπακούει σε μια σειρά από κανόνες.

Αν $\alpha>0$ και $\beta>0$ , τότε, $\alpha+\beta>0$ .
Αν $\alpha<0$ και $\beta<0$ , τότε, $\alpha+\beta<0$ .
$\alpha,\beta$ ομόσημοι αν, και μόνο αν, $\alpha\cdot\beta>0$ αν, και μόνο αν, $\frac{\alpha}{\beta}>0$ .
$\alpha,\beta$ ετερόσημοι αν, και μόνο αν, $\alpha\cdot\beta<0$ αν, και μόνο αν, $\frac{\alpha}{\beta}<0$ .
$\alpha^2\geq 0$ , για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$ .
$\alpha^2= 0\Leftrightarrow \alpha=0$ .
$\alpha^2+\beta^2= 0$ αν, και μόνο αν, $\alpha=0$ και $\beta=0$ .
$\alpha^2+\beta^2> 0$ αν, και μόνο αν, $\alpha\neq0$ ή $\beta\neq0$ .
Αν $\alpha>\beta$ και $\beta> \gamma$ , τότε, $\alpha>\gamma$ .
Αν $\gamma\in\mathbb{R}$ , τότε, $\alpha>\beta\Leftrightarrow \alpha+\gamma>\beta+\gamma$ .
Αν $\alpha>\beta$ και $\gamma>0$ , τότε, $\alpha\cdot\gamma>\beta\cdot\gamma$ και $\frac{\alpha}{\gamma}>\frac{\beta}{\gamma}$ .
Αν $\alpha>\beta$ και $\gamma<0$ , τότε, $\alpha\cdot\gamma<\beta\cdot\gamma$ και $\frac{\alpha}{\gamma}<\frac{\beta}{\gamma}$ .
Αν $\alpha>\beta$ και $\gamma>\delta$ , τότε, $\alpha+\gamma>\beta+\delta$ .
Αν $\alpha>\beta$ και $\gamma>\delta$ , τότε, $\alpha\cdot\gamma>\beta\cdot\delta$ , με την προϋπόθεση ότι, επιπλέον, ισχύει $\alpha,\beta,\gamma,\delta\geq 0$ .
Αν οι αριθμοί $\alpha,\beta$ είναι ομόσημοι, τότε, $\alpha>\beta\Leftrightarrow\frac{1}{\alpha}<\frac{1}{\beta}$ .

Έτσι, λοιπόν, χάρη στις ιδιότητες της διάταξης, διευρύνεται το πεδίο εφαρμογής των Μαθηματικών σε διάφορες περιπτώσεις ανισοτικών σχέσεων.

Για παράδειγμα, η σχέση που συνδέει τους βαθμούς Κελσίου ( ${^\circ}\mathrm{C}$ ) με τους βαθμούς Φαρενάιτ ( ${^\circ}\mathrm{F}$ ), δίνεται από τον τύπο, $F=\frac{9}{5}C+32$ . Στη διάρκεια μιας νύχτας, η θερμοκρασία στο Σικάγο των ΗΠΑ κυμάνθηκε μεταξύ ${^\circ}41\mathrm{F}$ και ${^\circ}50\mathrm{F}$ . Ποια ήταν η αντίστοιχη διακύμανση σε ${^\circ}\mathrm{C}$ ;

Από την άλλη μεριά, κάποιες από τις προηγούμενες ιδιότητες αξιοποιούνται, συστηματικά, κατά την επίλυση ανισώσεων α΄ βαθμού.

Διαστήματα

Πολλές φορές, στα δεδομένα ή στα ζητούμενα προβλημάτων, μπορεί, στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος, να μην πρωταγωνιστεί η ίδια η τιμή, για μια ποσότητα, αλλά ένα διάστημα τιμών στο οποίο αυτή ενδέχεται να κυμαίνεται.

Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε ένα ταξίδι από μηδενική ταχύτητα. Σε λίγη ώρα, ανέπτυξε την ταχύτητα που δείχνει ο μετρητής στη διπλανή εικόνα. Η τιμή αυτή ήταν και η μέγιστη τιμή της ταχύτητας για τη συγκεκριμένη διαδρομή. Ποιες τιμές έλαβε, συνολικά, η ταχύτητα του αυτοκινήτου κατά την παραπάνω διαδρομή; Στις τιμές που βρήκατε, προηγουμένως, συμπεριλαμβάνονται η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της ταχύτητας αυτής της πορείας του αυτοκινήτου; Στο σύνολο όλων αυτών των δυνατών τιμών ανήκουν μόνο ακέραιες τιμές;
Η δεξαμενή βενζίνης ενός αυτοκινήτου έχει χωρητικότητα $50$ λίτρα. Ποιες τιμές μπορεί να λάβει η ένδειξη του μετρητή του καυσίμου του; Στις τιμές που βρήκατε προηγουμένως συμπεριλαμβάνονται, πρακτικά, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των ενδείξεων του μετρητή; Πριν απαντήσετε, στο τελευταίο ερώτημα, να σκεφτείτε ότι το ρεζερβουάρ ενός αυτοκινήτου, μάλλον, δε θα μείνει, ποτέ, εντελώς, άδειο αλλά ούτε πρόκειται, πλήρως, να γεμίσει.

Στα παραπάνω παραδείγματα, οι τιμές των μεταβλητών μπορούν να κυμαίνονται μεταξύ δύο άλλων σταθερών τιμών όπου, κατά περίπτωση, είτε έχουν τη δυνατότητα να τις λαμβάνουν είτε όχι. Γενικότερα, λοιπόν, υπάρχουν καταστάσεις όπου η προσοχή μας εστιάζεται σε διάφορα «συνεκτικά» υποσύνολα των πραγματικών αριθμών.

Ανοικτά – κλειστά διαστήματα

Ενδεικτικά, να θεωρήσετε το σύνολο των αριθμών οι οποίοι βρίσκονται μεταξύ δύο συγκεκριμένων αριθμών, π.χ. μεταξύ του $5$ και του $9$ . Ενδιαφερόμαστε, δηλαδή, για το μεταξύ τους διάστημα, δηλαδή για όλους τους αριθμούς, $x$ , που πληρούν τη διπλή ανισότητα $5<x<9$ .

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το σύνολο $\{x\in\mathbb{R}|5<x<9\}$ συμβολίζεται με $(5,9)$ και ονομάζεται ανοικτό διάστημα με άκρα τους αριθμούς $5$ και $9$ .

Κάποιες φορές χρειάζεται να συμπεριληφθούν στα διαστήματα αυτά τα άκρα τους, οπότε μιλάμε για κλειστά διαστήματα, π.χ. $[5,9]=\{x\in\mathbb{R}|5\leq x \leq9\}$ .

Άλλες, πάλι, φορές ενδέχεται να συμπεριλαμβάνεται μόνο το αριστερό ή μόνο το δεξί άκρο σ’ ένα διάστημα.

Έτσι, μιλάμε, αντίστοιχα, για κλειστό – ανοικτό διάστημα ή για ανοικτό – κλειστό διάστημα. Για παράδειγμα,

$[5,9)=\{x\in\mathbb{R}|5\leq x <9\}$ ,
$(5,9]=\{x\in\mathbb{R}|5< x \leq9\}$ .

Μη φραγμένα διαστήματα

Από την άλλη μεριά, συχνά, θεωρούμε όλους τους αριθμούς πάνω από ένα αριθμό ή κάτω από ένα αριθμό. Εδώ, σε αντιδιαστολή με τα προηγούμενα, τα διαστήματα είναι μη φραγμένα. Για παράδειγμα, το μη φραγμένο ανοικτό διάστημα, $\{x\in\mathbb{R}|x>5\}$ ,που συμβολίζεται με $(5,+\infty)$ και διαβάζεται ανοικτό πέντε – συν άπειρο, καθώς και το μη φραγμένο ανοικτό διάστημα, $\{x\in\mathbb{R}|x<-3\}$ ,

που συμβολίζεται με $(-\infty,-3)$ και διαβάζεται ανοικτό πλην άπειρο – πλην τρία.

Τα σύμβολα $-\infty$ και $+\infty$ δεν πρέπει να παρερμηνεύονται και να θεωρούνται αριθμοί. Δεν είναι, επομένως, συγκεκριμένα σημεία της ευθείας των αριθμών.

Διαδραστική εφαρμογή

Με την παρακάτω διαδραστική εφαρμογή Geogebra, θα μπορούσατε να ασκηθείτε στην έννοια του διαστήματος στην πραγματική ευθεία και να το συνδυάσετε με τις αντίστοιχες ανισοτικές σχέσεις.

Διαδραστικές ερωτήσεις

Με τις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις κλειστού τύπου θα μπορούσατε να ελέγξετε τον βαθμό κατανόησής σας στις βασικές έννοιες της διάταξης των πραγματικών αριθμών.

Διαδραστικές ερωτήσεις

Με τις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις κλειστού τύπου θα μπορούσατε να ελέγξετε τον βαθμό κατανόησής σας σε πιο σύνθετες έννοιες της διάταξης των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων τους.