Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, η παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου σχετίζεται, έμμεσα, με μια σειρά από άλλες περιοχές του αντικειμένου του μαθήματος. Κυρίως, η χρησιμότητά της γίνεται φανερή σε ζητήματα όπως η απλοποίηση ρητών παραστάσεων, η εύρεση του προσήμου ενός τριωνύμου και οι ανισώσεις β΄ βαθμού. Ακόμη, η συγκεκριμένη ενότητα μπορεί να αποτελέσει τον προάγγελο της γενικότερης μελέτης του τριωνύμου στο πλαίσιο του κεφαλαίου των συναρτήσεων.

Ίσως, να θυμάστε από το Γυμνάσιο ότι το τριώνυμο είναι μια παράσταση της μορφής,

$\alpha x^2+\beta x+\gamma,$

όπου $x$ είναι η μεταβλητή του και $\alpha,\beta,\gamma$ είναι κατάλληλες σταθερές με $\alpha\neq0$ . Πρόκειται, δηλαδή, για μια έκφραση που δίνεται από ένα άθροισμα τριών όρων (μονωνύμων): του $\alpha x^2$ , του $\beta x$ και του $\gamma$ .

Αρκετές φορές, τέτοιες παραστάσεις ανακύπτουν μέσα από πραγματικές καταστάσεις.

Για παράδειγμα, σε διάφορα τετραγωνικά οικόπεδα πλευράς, $x$ , επεκτείνεται το μήκος τους κατά $2$ και το πλάτος τους κατά $1$ . Τότε, για καθένα από τα ορθογώνια οικόπεδα που προκύπτουν, το εμβαδό τους, $E$ , εκφράζεται από το τριώνυμο, $x^2+3x+2$ .

(Είναι, $E=\beta\cdot\upsilon=(x+2)(x+1)$ . Οπότε, μετά την εκτέλεση των πράξεων, χάρη στην επιμεριστική ιδιότητα, $E=x^2+3x+2$ .)

Στο παρόν άρθρο, με αφορμή ένα γεωμετρικό πρόβλημα εμβαδών, θα αξιοποιήσουμε βασικές τεχνικές, γνωστές από το Γυμνάσιο, για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο.

Έπειτα, θα ανακαλύψουμε το γενικότερο μοτίβο στους παράγοντες του τριωνύμου συνθέτοντας την κεντρική ιδέα της διαδικασίας της παραγοντοποίησής του.

Στη συνέχεια, θα διατυπώσουμε τα ευρύτερα συμπεράσματα, κατά περίπτωση, αναφορικά με το πλήθος των ριζών του τριωνύμου.

Τέλος, μπορείτε να παρακολουθήσετε ένα διαδραστικό βίντεο με εφαρμογές των τύπων παραγοντοποίησης του τριωνύμου. Όπως θα διαπιστώσετε, κατά τη διάρκεια του βίντεο, σάς δίνεται η δυνατότητα να ελέγξετε τις γνώσεις σας απαντώντας σε ορισμένες ερωτήσεις κλειστού τύπου.

Πρόκληση ενδιαφέροντος

Θα μπορούσε το παρακάτω γεωμετρικό πρόβλημα εμβαδών να υπογραμμίσει τη σημασία της παραγοντοποίησης ενός τριωνύμου;

Ένας Δήμος διαθέτει διάφορες τετραγωνικές εκτάσεις. Κάθε χρόνο, για μια συγκεκριμένη περίοδο, ο Δήμος παραχωρεί ένα ορθογώνιο μέρος της κάθε τετραγωνικής έκτασης, σε πλανόδιους πωλητές, ενώ διατηρεί, στην κυριότητά του, το υπόλοιπο ορθογώνιο μέρος της για κοινόχρηστη χρήση.

Συγκεκριμένα, όπως μπορείτε να παρατηρήσετε στο ακόλουθο σχήμα, από το κάθε τετράγωνο, πλευράς $x\,\mathrm{m}$ ,

αποκόπτεται ένα ορθογώνιο μήκους $x\,\mathrm{m}$ και πλάτους $5 \,\mathrm{m}$ . Έτσι, από τη μια μεριά, το ορθογώνιο, με διαστάσεις $x$ και $5$ , προορίζεται να χρησιμοποιηθεί ως διάδρομος πρόσβασης. Από την άλλη μεριά, το υπόλοιπο ορθογώνιο μέρος του τετραγώνου παραχωρείται στους μικροπωλητές για την τοποθέτηση των πάγκων τους και για την έκθεση των προϊόντων τους.

Ωστόσο, από τη φετινή χρονιά, για το κάθε τετράγωνο, δρομολογούνται οι εξής αλλαγές :

Στο μέρος που προβλέπεται για τους πωλητές, θα χρειαστεί να συμπεριληφθεί μια επιπλέον έκταση $6\,\mathrm{m^2}$ για την εγκατάσταση μιας γεννήτριας ρεύματος.
Θα δεσμευτεί ένα “Γ” (Γάμμα), κατά μήκος δύο διαδοχικών πλευρών, για τη δημιουργία δύο διαδρόμων πρόσβασης.

Σχηματικά, προκύπτει το παρακάτω πλάνο.

Ερώτημα: Πόσα μέτρα, ανεξάρτητα της τιμής του $x$ , πρέπει να αποκόψει ο Δήμος από τις δύο πλευρές του τετραγώνου οι οποίες βρίσκονται στο “Γ” των διαδρόμων;

Η ανάλυση του προβλήματος

Σίγουρα, θα χρειαστεί να ληφθεί υπόψη ότι το συνολικό εμβαδό του εναπομένοντος ορθογωνίου θα πρέπει να καλύπτει τις ανάγκες του εμπορεύματος των πωλητών, όπως τα προηγούμενα χρόνια, μαζί με την απαραίτητη επιφάνεια των $6\,\mathrm{m^2}$ λόγω της εγκατάστασης της γεννήτριας.

Μήπως η επίλυση του προβλήματος οδηγεί στην παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης;

Πράγματι, ας εξετάσουμε τα δεδομένα του προβλήματος:

Το εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς, $x$ , ισούται με $x^2$ .
Το εμβαδό ενός ορθογωνίου, με διαστάσεις $x$ και $5$ , ισούται με $5\cdot x$ .
Αφαιρώντας από την έκταση του τετραγώνου, πλευράς $x$ , το ορθογώνιο, με διαστάσεις $x$ και $5$ , απομένει ένα ορθογώνιο εμβαδού $x^2-5x$ . Δηλαδή, η παράσταση $x^2-5x$ εκφράζει, για το κάθε τετράγωνο, την έκταση του εμπορεύματος κατά τα προηγούμενα χρόνια.
Ιδιαίτερα, κατά τη φετινή χρονιά, η αναγκαία έκταση θα πρέπει να συμπεριλάβει και τα $6\,\mathrm{m^2}$ για τη γεννήτρια του ρεύματος.
Έτσι, για το κάθε τετράγωνο, το συνολικό εμβαδό που θα καλύψουν οι μικροπωλητές ισούται με $x^2-5x+6$ .

Είναι δυνατόν η τελευταία παράσταση να γραφεί ως γινόμενο δύο παραστάσεων του $x$ ; Αν ναι, τότε, αυτές οι παραστάσεις – παράγοντες της $x^2-5x+6$ – θα αποτελέσουν και τις διαστάσεις του ορθογώνιου μέρους, που θα αξιοποιήσουν οι μικροπωλητές από το κάθε τετράγωνο, απαντώντας στο ερώτημα του προβλήματος.

Η λύση του προβλήματος

Επομένως, ο στόχος είναι να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο $x^2-5x+6$ , με μεταβλητή το $x$ , το οποίο απαρτίζεται από τρεις όρους: τα μονώνυμα $x^2$ , $-5x$ και $6$ .

Αρχικά, παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κάποια παράσταση του $x$ που να μπορεί να διαδραματίσει τον ρόλο του κοινού παράγοντα και για τους τρεις όρους του τριωνύμου. Προφανώς, το ίδιο το $x$ μπορεί να βγει κοινός παράγοντας μόνο από τους δύο πρώτους όρους. Αυτό συμβαίνει διότι ο σταθερός όρος του τριωνύμου, δηλαδή το $6$ , δεν εξαρτάται από το $x$ .

Τότε, τι καλύτερο θα μπορούσε να γίνει εκτός, ενδεχομένως, από την ακόλουθη ανολοκλήρωτη απόπειρα παραγοντοποίησης,

$x^2-5x+6=x(x-5)+6;$

Στο β΄ μέλος της παραπάνω ισότητας εμφανίζεται ένα άθροισμα δύο προσθεταίων, όπου ο πρώτος είναι το γινόμενο $x(x-5)$ και ο δεύτερος ο σταθερός όρος $6$ . Όμως, εμείς αναζητούμε γινόμενο παραστάσεων και όχι άθροισμα, έτσι δεν είναι;

Εδώ, θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο το τέχνασμα της διάσπασης του μεσαίου όρου, $5x$ , ως το άθροισμα $2x+3x$ .

Έτσι, $x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6$ .

Επομένως, οι τέσσερις, πλέον, παραστάσεις θα μπορούσαν να συνδυαστούν ανά ζεύγη: (1^η – 2^η) και (3^η – 4^η).

Συνεπώς,

$x^2-5x+6=(x^2-2x)+(-3x+6)=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3).$

Άρα, η απάντηση στο πρόβλημα, με το οποίο συνδέθηκε η παραγοντοποίηση του τριωνύμου $x^2-5x+6$ , δίνεται παραστατικά από το παρακάτω σχήμα.

Η βασική ιδέα κατά την παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου

Ίσως, αναλύοντας την ισότητα $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ , που εκφράζει την παραγοντοποίηση του τριωνύμου $x^2-5x+6$ , να μπορούσαμε να αντλήσουμε ορισμένα χρήσιμα συμπεράσματα.

Μήπως αναγνωρίζετε τη σύνδεση των αριθμών $2$ και $3$ , που εμφανίζονται στις παραστάσεις $x-2$ και $x-3$ , αντίστοιχα, με το τριώνυμο $x^2-5x+6$ ;

Ενδεχομένως, με τη βοήθεια της παραγοντοποιημένης έκφρασης, $(x-2)(x-3)$ , του τριωνύμου $x^2-5x+6$ , να γίνεται προφανές ότι οι αριθμοί $2$ και $3$ αποτελούν τις ρίζες του. Δηλαδή, αν η μεταβλητή $x$ του τριωνύμου $x^2-5x+6$ , αντικατασταθεί, διαδοχικά, από τους αριθμούς αυτούς τότε, το συγκεκριμένο τριώνυμο θα λάβει την τιμή $0$ .

Φυσικά, η προηγούμενη διαπίστωση είναι προφανής όταν η αντικατάσταση γίνει στην παραγοντοποιημένη εκδοχή, $(x-2)(x-3)$ , του τριωνύμου παρά στην αρχική του μορφή ως $x^2-5x+6$ .

Πράγματι, χάρη στην ισότητα,

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$

η οποία αληθεύει για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής, $x$ , προκύπτει, άμεσα, ότι,

$2^2-5\cdot 2+6=(2-2)(2-3)=0\cdot (-1)=0.$

Όμοια,

$3^2-5\cdot 3+6=(3-2)(3-3)=1\cdot 0=0.$

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Θα επιχειρήσουμε να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο $x^2-3x+2$ . Παρόμοια, παρατηρούμε ότι,

$x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-1)(x-2),$

με τους αριθμούς $1$ και $2$ να αποτελούν, για τον ίδιο λόγο, τις ρίζες του.

Ας θεωρήσουμε, τώρα, το τριώνυμο $3x^2-12x+9$ στο οποίο ο συντελεστής του $x^2$ δεν είναι ο αριθμός $1$ , όπως στα προηγούμενα δύο παραδείγματα, αλλά ισούται με το $4$ . Τότε, θα είχαμε,

$\begin{align*} 4x^2 - 16x + 12 &= 4(x^2 - 4x + 3) \\ &= 4(x^2 - x - 3x + 3) \\ &= 4\big(x(x - 1) - 3(x - 1)\big) \\ &= 4(x - 1)(x - 3) .\end{align*}$

Μήπως, εκτός από την εμφάνιση των ριζών του $1$ και $3$ , επισημάνατε την παρουσία του συντελεστή $4$ του $x^2$ ως αριθμητικού παράγοντα στο β΄ μέλος της ισότητας;

Γενικότερα συμπεράσματα και εφαρμογές

Τα προηγούμενα παραδείγματα υποδεικνύουν ένα ευρύτερο συμπέρασμα που αναφέρεται στη γενική μορφή, $\alpha x^2+\beta x+\gamma$ , ενός τριωνύμου όταν $\Delta>0$ . Τελικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι,

Αν το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x +\gamma$ έχει ρίζες $x_1,x_2$ , τότε, παραγοντοποιείται σύμφωνα με την ισότητα,
$\alpha x^2+\beta x +\gamma=\alpha(x-x_1)(x-x_2).$

Έτσι, η εύρεση των ριζών ενός τριωνύμου αναδεικνύεται ως το κλειδί για την παραγοντοποίησή του. Το ζήτημα αυτό συνδέεται με την επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης β΄ βαθμού.

Για παράδειγμα, θα επιχειρήσουμε να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο $2x^2-7x+3$ . Ουσιαστικά, για να βρούμε τις ρίζες του, επιλύουμε την εξίσωση $2x^2-7x+3=0$ .

Κατά τα γνωστά, θα υπολογίσουμε τη διακρίνουσά του. Είναι,

$\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25>0,$

οπότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες τις

$x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot\alpha}=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{7\pm 5}{4},$

άρα $x_1=3$ και $x_2=\frac{1}{2}$ .

Τελικά,

$\begin{align*} 2x^2 - 7x + 3 &= 2(x - 3)\left(x - \frac{1}{2}\right) \\ &= (x - 3)(2x - 1) .\end{align*}$

Άραγε, με ποιον τρόπο παραγοντοποιείται ένα τριώνυμο στην περίπτωση όπου $\Delta=0$ ;

Τότε, ως γνωστό, το τριώνυμο θα έχει μια διπλή ρίζα, $x_0$ . Με άλλα λόγια, θα ισχύει, $x_1=x_2=x_0$ .

Εύλογα, αντιλαμβανόμαστε ότι το τριώνυμο θα μπορούσε να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

$\alpha x^2+\beta x +\gamma=\alpha(x-x_0)(x-x_0).$

Άρα, συμπτύσσοντας τον προηγούμενο τύπο,

$\alpha x^2+\beta x +\gamma=\alpha(x-x_0)^2.$

Τελικά,

Αν το τριώνυμο, $\alpha x^2+\beta x +\gamma$ , έχει διπλή ρίζα $x_0=-\frac{\beta}{2\alpha}$ , τότε, παραγοντοποιείται σύμφωνα με την ισότητα,
$\alpha x^2+\beta x +\gamma=\alpha(x+\frac{\beta}{2\alpha})^2.$

Για παράδειγμα, για το τριώνυμο $9x^2-6x+1$ , είναι

$\Delta=\beta^2-4 \alpha\gamma=(-6)^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0,$

οπότε το τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα τη

$x_{0}=\frac{-\beta}{2\alpha}=\frac{-(-6)}{2\cdot 9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3},$

επομένως $x_0=\frac{1}{3}$ .

Συμπερασματικά,

$\begin{align*} 9x^2-6x+1 &= 9(x-\frac{1}{3})^2 \\ &=3^2 (x-\frac{1}{3})^2\\ &= (3x-1)^2 .\end{align*}$

Τέλος, να αναρωτηθείτε αν ένα τριώνυμο, $\alpha x^2+\beta x+\gamma$ , με $\Delta<0$ , το οποίο δεν έχει ρίζες, είναι δυνατό να παραγοντοποιηθεί, όπως πριν, ως ένα γινόμενο της μορφής

$\alpha(x-\kappa)(x-\lambda),$

όπου $\kappa,\lambda$ σταθερές.

Όμως, αν μια τέτοια ισότητα,

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-\kappa)(x-\lambda),$

ήταν εφικτή, τότε, σ’ αυτήν την περίπτωση, το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x+\gamma$ θα είχε ως ρίζες τα $\kappa$ και $\lambda$ , πράγμα άτοπο. Επομένως,

Αν το τριώνυμο $\alpha x^2+\beta x+\gamma$ δεν έχει ρίζες, τότε, δε μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων του $x$ .

Για παράδειγμα, για το τριώνυμο $x^2+x+1$ , είναι

$\Delta=\beta^2-4 \alpha\gamma=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0,$

οπότε το τριώνυμο δε μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων του $x$ .

Το διαδραστικό βιντεομάθημα

Στο παρακάτω βίντεο μπορείτε να παρακολουθήσετε, βήμα προς βήμα, την επίλυση ορισμένων ασκήσεων από την Α΄ Ομάδα του σχολικού βιβλίου. Μάλιστα, έχετε τη δυνατότητα, να συμμετέχετε διαδραστικά, απαντώντας σε διάφορες ερωτήσεις, ελέγχοντας τον βαθμό κατανόησης της ενότητας. Έτσι, ανάλογα με την ορθότητα των απαντήσεών σας, καθορίζεται και η ροή του βίντεο όπως και η ανατροφοδότηση που σας παρέχεται.

Καλή παρακολούθηση!