Γεωμετρικές πρόοδοι

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι γεωμετρικές πρόοδοι αποτελούν έναν ιδιαίτερο τύπο ακολουθιών. Δεν είναι λίγες οι φορές που τέτοιες πρόοδοι ξεπροβάλλουν μέσα από καθημερινές καταστάσεις. Άλλες, πάλι, φορές η παρουσία τους αποκαλύπτεται φωτίζοντας τις αθέατες πλευρές τους.

Έχετε ακούσει τον όρο γεωμετρική αύξηση για τις τιμές των καυσίμων σε μια περίοδο υπερπληθωρισμού;
Τι μπορεί να σημαίνει ότι η ισχύς μιας επαναφορτιζόμενης μπαταρίας μειώνεται εκθετικά;

Σε μια ενεργειακή κρίση, οι τιμές των καυσίμων μπορεί να αυξάνονται, κατά το ίδιο ποσοστό, π.χ. 50%, ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Οπότε, αν η τιμή της βενζίνης ξεκινήσει από $1$ ευρώ το λίτρο, τότε, μπορεί να φτάσει το $1,5$ ευρώ π.χ. σε ένα μήνα. Έπειτα, τον αμέσως επόμενο μήνα, τα $2,25$ ευρώ. Αργότερα, ομοίως, τα $3,375$ και, εφόσον η κατάσταση επιδεινωθεί δραματικά, ούτω καθεξής.

Από την άλλη μεριά, η αρχική ισχύς μιας επαναφορτιζόμενης μπαταρίας είναι 100%. Ωστόσο, μετά από μια ορισμένη χρονική περίοδο, η ισχύς μπορεί να μειωθεί στο 50%. Αργότερα, μετά από ίσο, περίπου, χρόνο, στο 25%. Στη συνέχεια, ομοίως, στο 12,5% και ούτω καθεξής.

Σε κάθε περίπτωση, τέτοιες ακολουθίες χαρακτηρίζονται από ένα αξιοσημείωτο μοτίβο:

Είτε από μια ραγδαία αύξηση, από όρο σε όρο, με εξαίρεση, ίσως, μια συγκρατημένη αρχική μεταβολή.
Είτε από μια αρχική ραγδαία μείωση, από όρο σε όρο, με μια εξισορροπιστική τάση στη συνέχεια.

Αυτό συμβαίνει διότι στον πυρήνα του μοτίβου, που διέπει τις γεωμετρικές προόδους, βρίσκεται η πράξη του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης.

Η βασική σχέση σε μια γεωμετρική πρόοδο

Στην εποχή μας, διαρκώς, κοινοποιούμε, στο διαδίκτυο, διάφορα ψηφιακά αρχεία. Φωτογραφίες, βίντεο, τραγούδια και έγγραφα αποτελούν ένα μικρό μόνο μέρος των δεδομένων που, καθημερινά, μοιραζόμαστε στο διαδίκτυο. Να σκεφτείτε την ταχύτητα με την οποία, τα τελευταία χρόνια, αυξήθηκε ο όγκος τέτοιων δεδομένων.

Πόσο γρήγορα πιστεύετε ότι συντελέστηκε αυτή η αύξηση και τι προβλέπετε, για την ποσότητα αυτών των δεδομένων, με την πάροδο του χρόνου;

Λοιπόν, σύμφωνα με έρευνες, εκτιμάται ότι ο ετήσιος όγκος δεδομένων, που ένας μέσος χρήστης μοιράζεται στο διαδίκτυο, διπλασιάζεται κάθε χρόνο.

Άραγε, αν ο μέσος χρήστης είχε μοιραστεί, σε κάποιο έτος, 3 Gigabytes δεδομένων, τότε, τι όγκο δεδομένων θα μοιραστεί μετά από πέντε ( $5$ ) έτη;

Επομένως, το προηγούμενο θέμα άπτεται της μελέτης μιας κατάλληλης προόδου. Στην ακολουθία $3,6,12,\dots$ , που συνδέεται με το παραπάνω ερώτημα, κάθε όρος προκύπτει, από τον αμέσως προηγούμενό του, με πολλαπλασιασμό του επί τον σταθερό αριθμό $2$ . Οπότε, οι όροι της ακολουθίας αυτής, προοδευτικά, διπλασιάζονται. Μια τέτοια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος με τον αριθμό $2$ να καλείται λόγος της.

Ίσως, αυτή η αναδρομική σχέση να σας θυμίζει την αντίστοιχη σχέση της αριθμητικής προόδου. Εκεί, κάθε όρος της προκύπτει, από τον αμέσως προηγούμενό του, αθροίζοντάς με έναν σταθερό αριθμό. Ωστόσο, στην αριθμητική πρόοδο η διαφορά μεταξύ των διαδοχικών όρων της παραμένει σταθερή. Απεναντίας, στη γεωμετρική πρόοδο, το πηλίκο μεταξύ των διαδοχικών όρων της παραμένει σταθερό. Συνεπώς, σε μια γεωμετρική πρόοδο, οι διαδοχικοί της όροι σχηματίζουν μια συνεχή αναλογία.

Οι γεωμετρικές πρόοδοι στις θετικές επιστήμες

Η μελέτη των γεωμετρικών προόδων προσφέρει θεμελιώδη εργαλεία για την κατανόηση και τη μοντελοποίηση ποικίλων φυσικών και κοινωνικών φαινομένων, καθιστώντας τες αναπόσπαστο μέρος της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Στις φυσικές επιστήμες, οι γεωμετρικές πρόοδοι εμφανίζονται σε φαινόμενα όπως η ραδιενεργός διάσπαση και η αποσύνθεση σωματιδίων. Για παράδειγμα, η ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού, που παραμένει μετά από κάθε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, μειώνεται γεωμετρικά. Αν το υλικό χάνει το μισό της μάζας του, π.χ. κάθε 10 χρόνια, η ακολουθία που περιγράφει τη μάζα του, με την πάροδο του χρόνου, είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο $\frac{1}{2}$ .
Στην οικονομία, οι γεωμετρικές πρόοδοι χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν την ανάπτυξη των επενδύσεων με σταθερό επιτόκιο. Αν, για παράδειγμα, επενδύσετε ένα αρχικό ποσό $1000$ ευρώ και το ετήσιο επιτόκιο είναι $5\%$ , τότε, η ακολουθία των διαδοχικών ποσών, μετά το πρώτο έτος, διαμορφώνεται ως εξής,
$1050,\,1102,5,\,1157,63,\dots.$
Δηλαδή, πρόκειται για μια γεωμετρική πρόοδο με λόγο $1,05$ .

Στην πληροφορική, οι γεωμετρικές πρόοδοι εμφανίζονται σε πολλούς αλγόριθμους και δομές δεδομένων. Επιπλέον, ανακύπτουν κατά τη μελέτη της απόδοσης των συστημάτων. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ανάλυση της απόδοσης των αλγορίθμων αναζήτησης. Πράγματι, η προσπάθεια (χρόνος ή επεξεργαστική ισχύς) που απαιτείται για να αναζητηθεί ένα στοιχείο μπορεί να αυξάνεται, γεωμετρικά, καθώς το μέγεθος των δεδομένων που, κάθε φορά, αναζητούνται αυξάνεται.

Στη συνέχεια, θα εξερευνήσουμε, μέσα από παραδείγματα και με τη βοήθεια διαδραστικού υλικού, τις βασικές αρχές που διέπουν τις γεωμετρικές προόδους.

Ορισμός γεωμετρικής προόδου, Γενικός όρος

Ειδικές περιπτώσεις

Ας θεωρήσουμε την ακολουθία $3,6,12,\dots$ , που αναφέρθηκε παραπάνω, για τον ετήσιο όγκο δεδομένων που ένας μέσος χρήστης μοιράζεται στο διαδίκτυο. Φανερά, κάθε χρόνο, ο αντίστοιχος όρος της ακολουθίας διπλασιάζεται για να προκύψει ο επόμενός του. Επομένως, οι διαδοχικοί όροι της έχουν σταθερό λόγο ίσο με $2$ . Δηλαδή, ο ετήσιος όγκος δεδομένων, $\alpha_{\nu}$ , που θα μοιραστεί ο μέσος χρήστης στο διαδίκτυο, κατά τη $\nu-$ οστή χρονιά, ισούται με τον ετήσιο όγκο δεδομένων, $\alpha_{\nu-1}$ , της αμέσως προηγούμενης χρονιάς, πολλαπλασιασμένο επί το $2$ .

Άρα, έχουμε,

$\begin{align*} \alpha_{2} &= 2\cdot\alpha_{1} = 2\cdot 3 = 6,\\ \alpha_{3} &= 2\cdot\alpha_{2} = 2\cdot 6 = 12,\\ \alpha_{4} &= 2\cdot\alpha_{3} = 2\cdot 12 = 24, \\&\vdots \end{align*}$

Μια τέτοια ακολουθία, όπου κάθε όρος της προκύπτει, από τον αμέσως προηγούμενό του, με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο, πάντοτε, αριθμό θα λέγεται γεωμετρική πρόοδος.
Ο σταθερός αριθμός, που, σταδιακά, πολλαπλασιάζεται με καθέναν όρο της γεωμετρικής προόδου, για να προκύψει ο επόμενός του, ονομάζεται λόγος της προόδου. Επομένως, ο λόγος της προόδου φανερώνει το πηλίκο των διαδοχικών της όρων όπου στον παρονομαστή του πηλίκου εμφανίζεται ο προηγούμενος όρος του αριθμητή του πηλίκου.

Φυσικά, οι γεωμετρικές πρόοδοι μπορούν να έχουν όρους που διαιρούνται, προοδευτικά, διά ένα σταθερό αριθμό. Άλλωστε, είδαμε ένα τέτοιο παράδειγμα στην εισαγωγή με την ισχύ της επαναφορτιζόμενης μπαταρίας να υποδιαιρείται, ανά τακτά χρονικά διαστήματα. Σ’ αυτήν την περίπτωση, πάλι, συντελείται πολλαπλασιασμός του κάθε όρου της, επί τον ίδιο, πάντοτε, αριθμό για να εξαχθεί ο επόμενός του. (Στη γεωμετρική πρόοδο, $100\%, 50\%, 25\%,\dots$ , της σταδιακής ισχύς της μπαταρίας, διαίρεση διά $2$ σημαίνει πολλαπλασιασμός επί το $\frac{1}{2}$ . Δηλαδή, για τον λόγο της, $\lambda$ , ισχύει, $\lambda=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$ .)

Από το ειδικό στο γενικό

Η εγγενής αναδρομικότητα των γεωμετρικών προόδων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του τύπου που υπολογίζει τον $\nu-$ οστό όρο τους.

Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα, εύκολα, συνάγεται ο τρόπος για να βρεθεί ο ετήσιος όγκος δεδομένων, $\alpha_4$ , που θα μοιραστεί ο μέσος χρήστης στο διαδίκτυο, κατά τη τέταρτη χρονιά. Τελικά, αρκεί να πολλαπλασιαστεί ο αντίστοιχος αριθμός, $\alpha_1$ , της πρώτης χρονιάς, επί τον αριθμό $2$ του διπλασιασμού του όγκου δεδομένων, διαδοχικά, τρεις $3$ φορές. Αναλυτικότερα,

$\begin{align*} \alpha_{2} &= \alpha_{1} \cdot 2,\\ \alpha_{3} &= \alpha_{2}\cdot 2=\alpha_{1}\cdot 2\cdot 2 = \alpha_{1}\cdot 2^{2} ,\\ \alpha_{4} &= \alpha_{3}\cdot 2= \alpha_{1}\cdot 2^{2}\cdot 2=\alpha_{1} \cdot 2^{3}.\end{align*}$

Παρόμοια, κατά την πέμπτη χρονιά, θα μοιραστεί,

$\alpha_{5}=\alpha_{1}\cdot 2^{4},$

Gigabytes.

Γενικά, μια ακολουθία $\alpha_{\nu}$ ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, με λόγο $\lambda$ , όταν,
$\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}\cdot\lambda.$
Για τον $\nu-$ οστό όρο, $\alpha_{\nu}$ , μιας γεωμετρικής προόδου, με λόγο $\lambda$ , ισχύει η ισότητα,
$\alpha_{\nu}=\alpha_{1}\cdot \lambda^{\nu-1}.$

Διαδραστικές ερωτήσεις (Ορισμός και γενικός όρος γεωμετρικής προόδου)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας σ’ αυτήν την πρώτη ενότητα των γεωμετρικών προόδων (ορισμός και γενικός όρος); Να το επιχειρήσετε ακόμη κι αν δεν είστε σίγουροι ότι εμπεδώσατε πλήρως τη θεωρία. Η σειρά και η δομή των ερωτήσεων είναι τέτοια που αναδεικνύουν τα βασικά σημεία της θεωρίας. Ακόμη, μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται. Καλή ενασχόληση!

Γεωμετρικές πρόοδοι και μέσος όρος

Ήδη, γνωρίζουμε ότι, στην περίπτωση της αριθμητικής προόδου, τρεις αριθμοί, $\alpha,\beta,\gamma$ , είναι διαδοχικοί όροι της αν, και μόνο αν,

$\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}.$

Ο τελευταίος τύπος είναι ο συνηθέστερος τύπος στον οποίο καταφεύγουμε όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τον “κλασικό” ή αριθμητικό μέσο όρο δύο τιμών. Για παράδειγμα, σε ένα μάθημα φυσικής αγωγής, ένας μαθητής έτρεξε $100$ μέτρα. Ο μαθητής χρειάστηκε, την πρώτη φορά, $15$ δευτερόλεπτα, ενώ, τη δεύτερη φορά, $14$ δευτερόλεπτα. Οπότε, ο μέσος όρος των χρόνων του είναι $\frac{15+14}{2}=14,5$ δευτερόλεπτα.

Ωστόσο, σε πολλά μεγέθη, η σταδιακή εξέλιξή τους δεν εκτυλίσσεται “ελεγχόμενα”, όπως συμβαίνει στις αριθμητικές προόδους. Αντίθετα, η μεταβολή αυτών των μεγεθών υπακούει σ’ ένα εκθετικό μοτίβο όπως αυτά που συναντώνται στις γεωμετρικές προόδους.

Ενδεχομένως, λοιπόν, με τις γεωμετρικές προόδους, να φανερώνεται μια νέα διάσταση για την έννοια του “μέσου όρου”.

Για παράδειγμα, έστω ότι για τα ημερήσια κρούσματα του κορονοϊού, σε μια περίοδο τρίμηνης έξαρσης, δίνονται οι παρακάτω πληροφορίες:

- Τον 1^ο μήνα ήταν σταθερά γύρω στις $2000$ .
- Τον 3^ο μήνα ήταν σταθερά γύρω στις $18000$ .

Ποιος θεωρείτε ότι θα μπορούσε να είναι, κατ’ εκτίμηση, ο αριθμός των ημερήσιων κρουσμάτων, τον 2^ο μήνα, κατά την παραπάνω περίοδο;

Ίσως, να σκεφτείτε, αυθόρμητα, ότι πρέπει να δοθεί ως απάντηση η τιμή $10000$ , δηλαδή το ημιάθροισμα των αντίστοιχων τιμών του 1^ου και του 3^ου μήνα. Εντούτοις, στο παραπάνω παράδειγμα, οι όροι των ημερήσιων κρουσμάτων είναι πιθανότερο να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής – και όχι αριθμητικής – προόδου. Συνεπώς, συμβολίζοντας με $x$ τον αριθμό των ημερήσιων κρουσμάτων τον 2^ο μήνα, προκύπτει η αναλογία,

$\frac{x}{2000}=\frac{18000}{x}$

Άρα, $x^2=2000\cdot18000\Leftrightarrow x=\sqrt{2000\cdot18000}=6000$ .

Γενικότερα,

Τρεις αριθμοί, $\alpha,\beta,\gamma$ , είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν $\beta^2=\alpha\cdot\gamma$ .
Στην ισότητα $\beta=\sqrt{\alpha\cdot\gamma}$ , ο $\beta$ λέγεται γεωμετρικός μέσος των $\alpha$ και $\gamma$ .

Διαδραστικές ερωτήσεις (Γεωμετρικός μέσος)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας πάνω στον γεωμετρικό μέσο; Να το επιχειρήσετε ακόμη κι αν δεν είστε σίγουροι ότι εμπεδώσατε πλήρως τη θεωρία. Η σειρά και η δομή των ερωτήσεων είναι τέτοια που αναδεικνύουν τα βασικά σημεία της θεωρίας. Ακόμη, μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται. Καλή ενασχόληση!

Άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου

Όπως αναφέραμε, σύμφωνα με έρευνες, εκτιμάται ότι ο ετήσιος όγκος δεδομένων, που ένας μέσος χρήστης μοιράζεται στο διαδίκτυο, διπλασιάζεται κάθε χρόνο.

Αν ο μέσος χρήστης είχε μοιραστεί, σε κάποιο έτος, 0,5 Gigabyte δεδομένων, τότε, πως θα μπορούσε να υπολογιστεί το άθροισμα για το σύνολο των δεδομένων του σε βάθος δεκαετίας;

Άμεσα, καταλαβαίνουμε ότι ο μέσος χρήστης, από εκείνο το έτος, για συνολικό διάστημα δέκα (10) ετών, θα είχε μοιραστεί σωρευτικά,

$S=0,5+1+2+\dots+256,$

Gigabytes. Προφανώς, το προηγούμενο άθροισμα, S, παριστάνει το άθροισμα των δέκα (10) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου, $0,5,\,1,\,2,\dots$ .

Έτσι, παραγοντοποιώντας αυτό το άθροισμα, με κοινό παράγοντα τον πρώτο του όρο, έχουμε,

$S=0,5\cdot(1+2+4+\dots+512).$

Η παραπάνω μορφή για το άθροισμα, $S$ , είναι πιο εύχρηστη διότι οι όροι του αθροίσματος στις παρενθέσεις είναι δυνάμεις του λόγου $2$ της προόδου. Πράγματι,

$S=0,5\cdot(1+2+2^{2}+\dots+2^{9}).$

Με ποιον τρόπο θα μπορούσε να υπολογιστεί το άθροισμα των δυνάμεων μέσα στις παρενθέσεις;

Αρχικά, να παρατηρήσετε τις ισότητες,

$\begin{align*} 2^2-1&=(2-1)(2+1) \\2^3-1&=(2-1)(2^2+2+1)\end{align*}$

οι οποίες προκύπτουν από τις αντίστοιχες ταυτότητες,

$\begin{align*} \alpha^2-\beta^2&=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta) \\\alpha^3-\beta^3&=(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\cdot\beta+\beta^2)\end{align*}$

της διαφοράς τετραγώνων και διαφοράς κύβων αντίστοιχα.

Ίσως, να συμφωνείτε ότι οι προηγούμενες ισότητες θα μπορούσαν να επεκταθούν σε μεγαλύτερους εκθέτες. Ενδεικτικά,

$\begin{align*} 2^4-1&=(2-1)(2^{3}+2^{2}+2+1) \\2^5-1&=(2-1)(2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1).\end{align*}$

Παρόμοια,

$2^{10}-1&=(2-1)(2^{9}+2^{8}+\dots+2^{2}+2+1).$

Συμπερασματικά,

$S=0,5\frac{2^{10}-1}{2-1}=511,5.$

Γενικά, για το άθροισμα, $S_{\nu}$ , των $\nu$ πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, με πρώτο όρο το $\alpha_1$ και λόγο $\lambda$ , αποδεικνύεται ότι:
- Αν $\lambda\neq1$ , δίνεται από τον τύπο,

$S_{\nu}=\alpha_1\frac{\lambda^{\nu}-1}{\lambda-1}.$

- Αν $\lambda=1$ , δίνεται από τον τύπο,
  $S_{\nu}=\lambda\cdot \alpha_{1}.$

Διαδραστικές ερωτήσεις (Άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας πάνω στο άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου; Να το επιχειρήσετε ακόμη κι αν δεν είστε σίγουροι ότι εμπεδώσατε πλήρως τη θεωρία. Η σειρά και η δομή των ερωτήσεων είναι τέτοια που αναδεικνύουν τα βασικά σημεία της θεωρίας. Ακόμη, μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται. Καλή ενασχόληση!