Αριθμητικές πρόοδοι

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι αριθμητικές πρόοδοι αποτελούν ειδικές περιπτώσεις ακολουθιών. Συγκεκριμένα, πρόκειται για ακολουθίες αριθμών, όπως η ακολουθία των θετικών άρτιων, $2,4,6,\dots$ , ή η ακολουθία των αρνητικών πολλαπλασίων του $3$ , $-3,-6,-9,\dots$ . Στις προηγούμενες ακολουθίες, εντοπίζεται μια προοδευτική σταθερή αύξηση ή μείωση μεταξύ των διαδοχικών όρων τους.

Άρα, οι αριθμητικές πρόοδοι, έχουν το χαρακτηριστικό η διαφορά μεταξύ των διαδοχικών όρων τους να παραμένει σταθερή.

Τέτοιου τύπου ακολουθίες έχουν εφαρμογές που καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα, από απλές καθημερινές καταστάσεις έως σύνθετα επιστημονικά πεδία.

Να σκεφτείτε, για παράδειγμα, μια δρομέα η οποία προπονείται καθημερινά. Η δρομέας, στο πλαίσιο της προπόνησής της, αυξάνει, διαρκώς, την απόσταση που διανύει, ανά ημέρα, κατά $2$ χιλιόμετρα. Την πρώτη ημέρα έτρεξε $5$ χιλιόμετρα. Προφανώς, μεταξύ των όρων, $5,7,9,\ldots$ , της ακολουθίας των διαδοχικών αποστάσεων που διανύει, μπορείτε να παρατηρήσετε τη σταδιακή αύξηση των $2$ χιλιομέτρων.
Τώρα, να σκεφτείτε τη διαρκή σταθερή, κατά προσέγγιση, αύξηση του κόστους ζωής, τα τελευταία χρόνια. Έτσι, κάθε χρόνο, τα έξοδα αυξάνονται κατά ένα συγκεκριμένο ποσό.
Άλλο παράδειγμα θα μπορούσε να είναι η σταδιακή σταθερή, κατά προσέγγιση, αύξηση της θερμοκρασίας, ημέρα με την ημέρα, μια συγκεκριμένη περίοδο την Άνοιξη.
Επίσης, στην Πληροφορική, σε ορισμένους αλγορίθμους, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια αριθμητική πρόοδος για τον έλεγχο της μεταβολής κάποιων παραμέτρων. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αυξήσουμε ή να μειώσουμε μια παράμετρο κατά σταθερά βήματα σε κάθε στάδιο μιας επαναληπτικής διαδικασίας.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξερευνήσουμε, μέσα από παραδείγματα, τις βασικές αρχές που διέπουν τις αριθμητικές προόδους. Επιπλέον, θα δούμε ότι οι αριθμητικές πρόοδοι εμπλέκονται ουσιαστικά στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Μάλιστα, έχετε τη δυνατότητα, σε κάθε υποενότητα, να ελέγχετε τον βαθμό κατανόησής σας με τις διαδραστικές ερωτήσεις που παρατίθενται.

Ορισμός αριθμητικής προόδου, Γενικός όρος

Στην εισαγωγή, συναντήσαμε την ακολουθία $5,7,9,\dots$ των αποστάσεων που διανύει, διαδοχικά, ανά ημέρα, στο πλαίσιο της καθημερινής της προπόνησης, μία δρομέας. Όπως είδαμε, η δρομέας ξεκινά την πρώτη ημέρα διανύοντας απόσταση $5$ χιλιομέτρων. Επίσης, επισημάναμε ότι η απόσταση αυξάνεται, προοδευτικά, κατά $2$ χιλιόμετρα, από ημέρα σε ημέρα. Επομένως, οι διαδοχικοί όροι της αποκλίνουν (διαφέρουν), μεταξύ τους, κατά $2$ . Δηλαδή, η απόσταση, $\alpha_{\nu}$ , που θα διανύσει η δρομέας, κατά τη $\nu-$ οστή της προπόνηση, ισούται με την απόσταση, $\alpha_{\nu-1}$ , της αμέσως προηγούμενης προπόνησής της, αυξημένης κατά $2$ .

Άρα, έχουμε,

$\begin{align*} \alpha_{2} &= \alpha_{1} + 2 = 5 + 2 = 7,\\ \alpha_{3} &= \alpha_{2} + 2 = 7 + 2 = 9,\\ \alpha_{4} &= \alpha_{3} + 2 = 9 + 2 = 11, \\&\vdots \end{align*}$

Μια τέτοια ακολουθία, όπου κάθε όρος της προκύπτει, από τον αμέσως προηγούμενό του, με άθροιση του ίδιου, πάντοτε, αριθμού θα λέγεται αριθμητική πρόοδος.
Ο σταθερός αριθμός, που, σταδιακά, προστίθεται σε καθέναν όρο της αριθμητικής προόδου, για να προκύψει ο επόμενος, ονομάζεται διαφορά της προόδου. Επομένως, η διαφορά της προόδου φανερώνει πόσο αποκλίνουν μεταξύ τους οι διαδοχικοί της όροι όπου στον αφαιρετέο της διαφοράς εμφανίζεται ο προηγούμενος όρος του μειωτέου της διαφοράς.

Βέβαια, οι αριθμητικές πρόοδοι μπορούν να έχουν όρους που μειώνονται, προοδευτικά, κατά ένα σταθερό αριθμό. Σ’ αυτήν την περίπτωση, πάλι, συντελείται άθροιση του κάθε όρου της, με τον ίδιο, πάντοτε, αριθμό για να εξαχθεί ο επόμενός του. Ωστόσο, αυτός ο αριθμός, πλέον, είναι αρνητικός. (Στην αριθμητική πρόοδο, $5,1,-3,\dots$ , η διαφορά της ισούται με $-4$ .)

Η έμφυτη αναδρομικότητα των αριθμητικών προόδων θα μπορούσε να αξιοποιηθεί για να βρεθεί ο τύπος που υπολογίζει τον $\nu-$ οστό όρο τους.

Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα, εύκολα συνάγεται ότι για να βρεθεί η απόσταση, $\alpha_4$ , που θα διανύσει η δρομέας, κατά την τέταρτη προπόνησή της, αρκεί να προστεθεί στην απόσταση, $\alpha_1$ , της πρώτης προπόνησής της, ο αριθμός των $2$ χιλιομέτρων, διαδοχικά, τρεις $3$ φορές. Αναλυτικότερα,

$\begin{align*} \alpha_{2} &= \alpha_{1} + 2,\\ \alpha_{3} &= \alpha_{2} + 2 = \alpha_{1} + 2 \cdot 2,\\ \alpha_{4} &= \alpha_{3} + 2= \alpha_{1} + 3 \cdot 2, \\&\vdots \end{align*}$

Παρόμοια, κατά τη δέκατη προπόνησή της, θα διανύσει,

$\alpha_{10}=\alpha_{1}+9\cdot2,$

χιλιόμετρα.

Γενικά, μια ακολουθία $\alpha_{\nu}$ ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, με διαφορά $\omega$ , όταν,
$\alpha_{\nu}=\alpha_{\nu-1}+\omega.$
Για τον $\nu-$ οστό όρο, $\alpha_{\nu}$ , μιας αριθμητικής προόδου, με διαφορά $\omega$ , ισχύει η ισότητα,
$\alpha_{\nu}=\alpha_{1}+(\nu-1)\cdot\omega.$

Διαδραστικές ερωτήσεις (Ορισμός και γενικός όρος αριθμητικής προόδου)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας σ’ αυτήν την πρώτη ενότητα των αριθμητικών προόδων (ορισμός και γενικός όρος); Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται.

Αριθμητικές πρόοδοι και μέσος όρος

Αν οι βαθμοί σας σ’ ένα μάθημα, στο πρώτο και στο δεύτερο τετράμηνο, ήταν $14$ και $18$ , αντίστοιχα, τότε πως θα μπορούσατε να υπολογίσετε τον βαθμό που θα χαρακτήριζε περισσότερο τη μέση επίδοσή σας στο συγκεκριμένο μάθημα;

Δεν είναι λίγες οι φορές που, για ένα σύνολο αριθμών, θα μας ενδιέφερε να εκτιμήσουμε μια αντιπροσωπευτική τιμή τους. Έτσι, σε αρκετές περιπτώσεις, αυτό γίνεται υπολογίζοντας το άθροισμά τους διαιρούμενο διά το πλήθος τους. Βέβαια, ίσως, γι’ αυτή τη “μέση τιμή” να μην υπάρχει μόνο ένας τρόπος να αποτιμηθεί.

Ίσως, στο παραπάνω παράδειγμα, η καταλληλότερη τιμή να είναι το $16$ , δηλαδή το ημιάθροισμα των $14$ και $18$ .

Μάλλον, θα συμφωνείτε ότι οι αριθμοί $14,16,18$ αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου.

Αντίστροφα, στην ακολουθία $5,7,9,\dots$ των αποστάσεων που διάνυσε, διαδοχικά, η δρομέας στο παράδειγμα της εισαγωγής, παρατηρούμε ότι για οποιουσδήποτε τρεις διαδοχικούς όρους της π.χ. για τους $15,17,19$ , ισχύει ότι ο “μεσαίος” όρος είναι το ημιάθροισμα των δύο “ακραίων” όρων. Πράγματι, $17=\frac{15+19}{2}$ .

Γενικότερα,

Τρεις αριθμοί, $\alpha,\beta,\gamma$ , είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν $\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}$ .
Στην ισότητα $\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}$ , ο $\beta$ λέγεται αριθμητικός μέσος των $\alpha$ και $\gamma$ .

Τελικά, ο αριθμητικός μέσος είναι ο “κλασικός” μέσος όρος με τον οποίο είμαστε αρκετά εξοικειωμένοι στην καθημερινότητά μας.

Άραγε, να είναι ο μόνος “μέσος όρος”; Σε μια άλλη κατηγορία προόδων, στις γεωμετρικές προόδους, όπου ξεδιπλώνεται η έννοια του γεωμετρικού μέσου, γίνεται φανερό γιατί, στο προηγούμενο ερώτημα, η απάντηση δεν είναι καταφατική.

Διαδραστικές ερωτήσεις (Αριθμητικός μέσος)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας πάνω στον αριθμητικό μέσο; Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται.

Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου

Το άθροισμα όλων των φυσικών από το ένα μέχρι το εκατό

Ένας αρκετά διαδεδομένος θρύλος, από τον χώρο των Μαθηματικών, σχετίζεται με έναν ευφυή υπολογισμό αθροίσματος. Η ιστορία έλαβε χώρα κατά τα πρώιμα σχολικά χρόνια του κορυφαίου Γερμανού Μαθηματικού Gauss.

Κάποια μέρα, λοιπόν, στο Γερμανικό σχολείο που φοιτούσε ο Gauss, ο δάσκαλος ζήτησε από τους μικρούς μαθητές του να υπολογίσουν το άθροισμα, $S$ , όλων των (φυσικών) αριθμών, από το $1$ μέχρι και το $100$ . Λίγο αργότερα, ο Gauss τον εξέπληξε, ευχάριστα, βρίσκοντας τη σωστή απάντηση μ’ ένα ευρηματικό τρόπο.

Άραγε, τι ακριβώς είχε σκεφτεί;

Ο μικρός Gauss σκέφτηκε ότι το άθροισμα,

$S=1+2+3+\dots+98+99+100,$

θα ήταν προτιμότερο να υπολογιστεί με τη βοήθεια της ακόλουθης αναδιάταξης,

$\begin{align*}S&=1+2+3+\dots+98+99+100\\&=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots+(50+51).\end{align*}$

Το όφελος της τελευταίας ισότητας είναι ότι όλα τα επιμέρους αθροίσματα, μέσα στις παρενθέσεις, δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα ( $101$ ). Δηλαδή, σχηματίζονται $50$ ίσα αθροίσματα με κοινή τιμή το $101$ .

Οπότε, το άθροισμα $S$ , μετά τον ευρηματικό τρόπο του Gauss, υπολογίζεται, τελικά, ίσο με,

$\begin{align*}S&=\underbrace{{\left( {1+100} \right)+\left( {2+99} \right)+\left( {3+98} \right)+\ldots +\left( {50+51} \right)}}_{{50}}\\&=50\cdot101\\&=5050.\end{align*}$

Από το ειδικό στο γενικό

Παρόμοια, για την αριθμητική πρόοδο $5,7,9,\dots$ , των διαδοχικών αποστάσεων, που διάνυσε η δρομέας, κατά τη διάρκεια των συνεχόμενων προπονήσεών της, θα βρούμε τα αθροίσματα, $S_{10}$ και $S_{11}$ , των συνολικών χιλιομέτρων, για τις $10$ και $11$ πρώτες προπονήσεις της, αντίστοιχα. Είναι, λοιπόν,

$\begin{align*}S_{10}&=\displaystyle 5+7+\ldots +21+23\\&=\underbrace{{\left( {5+23} \right)+\left( {7+21} \right)+\ldots +\left( {13+15} \right)}}_{{5}}.\end{align*}$

Επομένως, $S_{10}=5\cdot 28=140.$

Δηλαδή, παρατηρούμε ότι,

$S_{10}=\frac{10}{2}\cdot (5+23),$

που σημαίνει ότι, για να βρούμε το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της παραπάνω αριθμητικής προόδου, διαιρούμε το πλήθος τους ( $10$ ) διά δύο ( $2$ ) καθώς, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε επί το άθροισμα του πρώτου ( $\alpha_{1}$ ) και του δέκατου ( $\alpha_{10}$ ) όρου της.

Από την άλλη μεριά, έχουμε,

$S_{11}=\displaystyle 5+7+\ldots+15+\ldots +23+25.$

Θα καταφέρουμε να καταλήξουμε σ’ ένα παρόμοιο συμπέρασμα και να ανακαλύψουμε μια αντίστοιχη σχέση όπως αυτή που βρέθηκε για το άθροισμα $S_{10}$ ;

Ας σημειώσουμε ότι, εδώ, το πλήθος, $11$ , των όρων του αθροίσματος, είναι περιττός και όχι, όπως προηγουμένως, ο άρτιος αριθμός $10$ . Όμως, όπως θα διαπιστώσουμε, αυτό δε θα επηρεάσει τον τελικό τύπο.

Αρχικά, έχουμε,

$S_{11}=\underbrace{{\left( {5+25} \right)+\left( {7+23} \right)+\ldots +\left( {13+17} \right)}}_{{5}}+15.$

Συνεπώς, $S_{11}=5\cdot 30+15.$

Ακόμη,

$\begin{align*}S_{11}&=5\cdot 30+2\cdot15-15\\&=5\cdot 30+30-15\\&=6\cdot 30-\frac{30}{2}.\end{align*}$

Τελικά,

$\begin{align*}S_{11}&=6\cdot 30-\frac{30}{2}\\&=(6-\frac{1}{2})\cdot 30\\&=\frac{11}{2}\cdot 30.\end{align*}$

Άρα, πάλι, για να βρούμε το άθροισμα των $11$ πρώτων όρων της προόδου διαιρούμε το πλήθος τους ( $11$ ) διά δύο ( $2$ ) καθώς, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε επί το άθροισμα του πρώτου, ( $\alpha_{1}$ ), και του ενδέκατου, ( $\alpha_{11}$ ), όρου της.

Γενικά, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα, $S_{\nu}$ , των $\nu$ πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου ισούται με το πλήθος τους, $\nu$ , διά δύο ( $2$ ) επί το άθροισμα του πρώτου, $\alpha_{1}$ , και του $\nu-$ οστού, $\alpha_{\nu}$ , όρου της. Ο γενικός τύπος είναι,
$S_{\nu}=\frac{\nu}{2}\cdot (\alpha_1+\alpha_{\nu}),$
ή, αντικαθιστώντας τον γνωστό τύπο για τον $\nu-$ οστό όρο,
$S_{\nu}=\frac{\nu}{2}\cdot \big(2\alpha_1+(\nu-1)\omega\big).$

Διαδραστικές ερωτήσεις (Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου)

Θα θέλατε να δοκιμάσετε τον βαθμό κατανόησής σας πάνω στο άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου; Μπορείτε να ελέγξετε τις απαντήσεις σας μέσα από την ανατροφοδότηση που δίνεται.