Μελέτη τριωνύμου - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Η μελέτη του τριωνύμου, ως συνάρτησης, αποτελεί μια μοναδική ευκαιρία για τους μαθητές του Λυκείου να συνδέσουν διάφορες μεθόδους, ορισμούς και ιδιότητες από προηγούμενες ενότητες.

Για τους περισσότερους μαθητές, το τριώνυμο, ως ένα τυπικό άθροισμα της μορφής, $\alpha x^2 +\beta x +\gamma$ , όπου $\alpha\neq0$ , είναι γνωστή έννοια. Για πρώτη φορά, μελετάται στα Μαθηματικά της Γ΄ Γυμνασίου με αφορμή την επίλυση εξισώσεων β΄ βαθμού. Πρόκειται για τις εξισώσεις της μορφής,

$\alpha x^2 +\beta x +\gamma=0,$

με άγνωστο το $x$ όπου $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ με $\alpha\neq0$ .

Για παράδειγμα, στην εξίσωση, $x^2-5x+6=0$ , οι μαθητές γνωρίζουν να υπολογίζουν τις λύσεις της – ρίζες του αντίστοιχου τριωνύμου – με τη βοήθεια κατάλληλων τύπων. Συγκεκριμένα, αξιοποιείται η διακρίνουσα, $\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$ της εξίσωσης και οι τύποι,

$x_{1},_{2}=\dfrac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha},$

των λύσεών της.

Επίσης, από την Α΄ Λυκείου, έχουν διδαχθεί τον τύπο παραγοντοποίησης του αντίστοιχου τριωνύμου,

$\alpha x^2 +\beta x +\gamma=\alpha (x-x_1)(x-x_2),$

με τη βοήθεια των ριζών του $x_1$ και $x_2$ .

Στο παραπάνω παράδειγμα, είναι, $\Delta=1,$ $x_1=3$ και $x_2=2,$ συνεπώς,

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$

Πως όμως θα μπορούσε να μελετηθεί το τριώνυμο ως συνάρτηση του $x$ ;

Έστω, δηλαδή, η συνάρτηση με τύπο, $f(x)=\alpha x^2 +\beta x +\gamma$ , όπου $\alpha\neq0$ , για τις διάφορες τιμές του $x\in\mathbb{R}$ . Ενδεχομένως, η εύρεση του γραφήματος της συνάρτησης του τριωνύμου να ξεκαθάριζε σημαντικά το τοπίο για τα περισσότερα χαρακτηριστικά της.

Διότι, με αυτό ως δεδομένο, θα μπορούσαμε να απαντήσουμε σε μια σειρά από ερωτήματα, όπως:

Ποια είναι η μονοτονία της;
Ποιες οι ακρότατες τιμές της;
Ποιες οι συμμετρίες της;
Ποιο είναι το πρόσημο των τιμών της;

Η παραβολή

Πρώτα απ’ όλα, είναι γνωστό ότι η απλούστερη περίπτωση της συνάρτησης, $y=\alpha x^2$ , όπου $\alpha\neq0$ , έχει γράφημα μια παραβολή. Μάλιστα, η κορυφή της είναι το $K(0,0)$ , ενώ είναι ανοικτή προς τα πάνω όταν $\alpha>0$ και ανοικτή προς τα κάτω όταν $\alpha<0$ .

Έτσι, με τη βοήθεια των συμπερασμάτων από την ενότητα (κατακόρυφη) μετατόπιση καμπύλης, συνάγεται ότι η συνάρτηση, $y=\alpha x^2+\gamma$ , όπου $\alpha\neq0$ , παριστάνεται, γραφικά, επίσης από μια παραβολή. Ωστόσο, πλέον, η κορυφή της είναι το σημείο $K(0,\gamma)$ . (Προφανώς, η τελευταία παραβολή εξακολουθεί να είναι ανοικτή προς τα πάνω όταν $\alpha>0$ και ανοικτή προς τα κάτω όταν $\alpha<0$ .)

Στο άρθρο “Η παραβολή ως γραφική παράσταση συνάρτησης” μελετήθηκαν, διεξοδικότερα, συγκεκριμένα παραδείγματα τριωνύμων των προηγούμενων δύο μορφών και οι αντίστοιχες παραβολές τους.

Τελικά, μπορεί να αποδειχτεί ότι η παραβολή είναι το γράφημα του τριωνύμου σε κάθε περίπτωση. Η μέθοδος αντιμετώπισης της γενικότερης περίπτωσης του τριωνύμου $y=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ , όπου $\alpha\neq0$ , στηρίζεται στη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου. Βέβαια, τα όποια συμπεράσματα προκύπτουν σε συνδυασμό με την ενότητα (κατακόρυφη και οριζόντια) μετατόπιση καμπύλης.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση, $f(x)=2x^2-4x-1$ , $x\in\mathbb{R}$ . Διαδοχικά, έχουμε,

$f(x)=2x^2-4x-1=2(x^2-2x)-1=2(x^2-2x+1-1)-1$

οπότε,

$f(x)=2(x-1)^2-2-1=2(x-1)^2-3.$

Άρα, θα ήταν χρήσιμο να επιστρατεύσουμε ως “οδηγό” τη συνάρτηση,

$g(x)=2x^2, \,\,\,\,x\in\mathbb{R}.$

Τότε, $f(x)=g(x-1)-3$ . Επομένως, για να προκύψει το γράφημα της παραβολής, που αντιστοιχεί στην $f$ , αρκεί η παραβολή $y=2x^2$ , να μετατοπιστεί κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά τρεις μονάδες προς τα κάτω.

Η διαδραστική εφαρμογή

Θα μπορούσε η προηγούμενη επεξεργασία να ολοκληρωθεί στο περιβάλλον ενός δυναμικού προγράμματος Γεωμετρίας;

Στην παρακάτω διαδραστική εφαρμογή, μπορείτε, να εξασκηθείτε με τον μετασχηματισμό της συνάρτησης $f(x)=\alpha x^2+\beta x+ \gamma$ , όπου $\alpha\neq0$ , με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου. Όπως θα διαπιστώσετε, για μια ποικιλία συναρτήσεων τριωνύμου, η συνάρτηση μπορεί να γραφεί στη μορφή, $f(x)=p(x-q)^2+r$ , για κατάλληλα, κάθε φορά, $p,q,r\in\mathbb{R}$ . (Πραγματικά, μπορεί να αποδειχτεί ότι, $f(x)=\alpha (x-\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{\Delta}{4\alpha}$ .) Η εφαρμογή δίνει τη δυνατότητα οικοδόμησης αυτής της μορφής μέσω μιας διαδικασίας απάντησης – ελέγχου – ανατροφοδότησης.

Η τελευταία μορφή εξυπηρετεί τον σκοπό της μελέτης της $f$ και την απάντηση των ερωτημάτων της εισαγωγής, καθώς οι παράμετροι $q$ και $r$ προϊδεάζουν για οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις κατάλληλων παραβολών. Όλα αυτά τα ερωτήματα εξετάζονται στην εφαρμογή.

Η εφαρμογή παρέχει σημαντική καθοδήγηση, στα διάφορα στάδια επεξεργασίας των ζητημάτων που πραγματεύεται, κατά τη μελέτη του κάθε τριωνύμου. Επιπλέον, με διαδοχικά ερωτήματα, καλλιεργεί την εμπλοκή του χρήστη τον οποίο καλεί να αναλάβει πρωτοβουλίες στο γραφικό – διαδραστικό περιβάλλον της.

Καλή ενασχόληση!