Θεώρημα του Θαλή - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Θα μπορούσατε, χαράζοντας δύο τέμνουσες στις παράλληλες γραμμές του τετραδίου σας, να ανακαλύψετε το περίφημο Θεώρημα του Θαλή;

Διαβάζοντας τις γραμμές αυτού του άρθρου, θα διαπιστώστε ότι παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον το γεγονός ότι ένα τόσο σημαντικό θεώρημα μπορεί να αναδειχθεί με, σχετικά, απλό τρόπο.

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 π.Χ. – 546 π.Χ.) υπήρξε πρωτοπόρος της μαθηματικής σκέψης και της Γεωμετρίας. Στο έργο του επιφανή σοφού της αρχαιότητας, εκτός από το ξακουστό ομώνυμο θεώρημα που θα αναλύσουμε στη συνέχεια, προσμετρώνται μια σειρά από προτάσεις. Ορισμένοι μελετητές της ιστορίας των μαθηματικών θεωρούν ότι πρώτος εκείνος διατύπωσε ότι η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο και ότι οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Επίσης, στον Θαλή αποδίδεται η ανακάλυψη της γωνίας ημιπεριφέρειας. Δηλαδή, η πρόταση που αναφέρει ότι κάθε γωνία που εγγράφεται σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Τέλος, αξιοσημείωτη είναι η χρήση της γεωμετρίας από τον Θαλή για πρακτικούς σκοπούς. Μάλιστα, από τις πιο εντυπωσιακές εφαρμογές είναι η μέτρηση της απόστασης πλοίων από την ακτή καθώς και η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα στην Αίγυπτο μέσω της σκιάς της.

Προετοιμασία για το Θεώρημα του Θαλή

Στην ακόλουθη εικόνα παριστάνεται το σχήμα ενός συμμαθητή σας στο τετράδιό του. Ο μαθητής έχει σχεδιάσει δύο ευθείες, , οι οποίες τέμνουν τις οριζόντιες γραμμές του τετραδίου του.

Από τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου είναι γνωστό ότι αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει, τότε, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

Από την άλλη μεριά, οι οριζόντιες γραμμές του τετραδίου ισαπέχουν. Συνεπώς, ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία κάθετη προς αυτές. Άρα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία, που τις τέμνει, όπως, εδώ, η $\varepsilon$ ή η $\zeta$ . Οπότε, $AB=B\it\Gamma=\it\Gamma\Delta=\Delta E=EZ$ και $H\Theta=\Theta I=IK=K\it\Lambda=\it\Lambda M$ . Επομένως, προκύπτουν μια σειρά από αναλογίες μεταξύ των αντίστοιχων τμημάτων πάνω στις δύο τέμνουσες των γραμμών του τετραδίου. Ενδεικτικά, $\frac{AB}{B\it\Delta}=\frac{1}{2}$ και $\frac{H\Theta}{\it\Theta K}=\frac{1}{2}$ . Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες ισότητες, έπεται ότι,

$\frac{AB}{B\it\Delta}=\frac{H\it\Theta}{\it\Theta K}.$

Παρόμοια,

$\frac{A\it\Gamma}{\it\Gamma Z}=\frac{HI}{IM}.$

Μπορείτε να συνεχίσετε;

Διατύπωση του Θεωρήματος του Θαλή

Το Θεώρημα του Θαλή αναφέρει ότι:

Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε, τα τμήματα που ορίζονται στις δύο ευθείες είναι ανάλογα.

Θεωρούμε, λοιπόν, τρεις παράλληλες ευθείες, τις $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ που τέμνονται από τις ευθείες $\varepsilon$ και $\zeta$ του παρακάτω σχήματος.

Τότε, είναι,

$\frac{K\it\Lambda}{\it\Lambda M}=\frac{\it\Pi P}{P\it\Sigma}.$

Από την άλλη πλευρά, αν οι ευθείες $\varepsilon$ και $\zeta$ τέμνουν τις παράλληλες $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ όπως στο παρακάτω σχήμα,

τότε, είναι,

$\frac{K'\it\Lambda'}{\it\Lambda' M'}=\frac{\it\Pi' P'}{P'\it\Sigma'}.$

Αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή

Στην ακόλουθη εικόνα,

παριστάνεται τραπέζιο $AB\it\Gamma\it\Delta$ , με $AB\parallel\it\Gamma\it\Delta$ . Επίσης, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, $\frac{AE}{A\it\Delta}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$ και $\frac{BZ}{B\it\Gamma}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$ . Φαίνεται, λοιπόν, αναμενόμενο να συμπεράνουμε ότι $EZ\parallel AB\parallel\it\Gamma\it\Delta$ .

Πράγματι, αν από το σημείο $E$ φέρουμε μια παράλληλη προς τις βάσεις του τραπεζίου, η οποία τέμνει την πλευρά $B\it\Gamma$ σε κάποιο σημείο, $Z'$ , τότε, από τις αντίστοιχες αναλογίες του Θεωρήματος του Θαλή, μπορεί να προκύψει το συμπέρασμα ότι $Z'\equiv Z$ . Δηλαδή, $EZ\parallel AB\parallel\it\Gamma\it\Delta$ .

Επομένως, ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή. Να λάβετε υπόψη ότι η πρόταση αυτή προϋποθέτει τρεις ευθείες οι οποίες ορίζουν ανάλογα τμήματα σε δύο τέμνουσές τους, για τις οποίες είναι γνωστό ότι οι δύο από αυτές είναι, ήδη, παράλληλες.

Πορίσματα του Θεωρήματος Θαλή

Από το Θεώρημα του Θαλή, προκύπτει, άμεσα, ότι μια ευθεία παράλληλη προς τη βάση ενός τριγώνου διαιρεί τις άλλες δύο πλευρές του σε μέρη ανάλογα. Δηλαδή, στο παρακάτω τρίγωνο, όπου $\varepsilon\parallel B\it\Gamma$ , ισχύει ότι

$\frac{A\it\Delta}{{\it\Delta}B}=\frac{AE}{E{\it\Gamma}}.$

Ισοδύναμα, ισχύει,

$\frac{A\it\Delta}{AB}=\frac{AE}{A{\it\Gamma}}.$

Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι, στην τελευταία αναλογία, μπορεί να προστεθεί και ο λόγος $\frac{{\it\Delta}E}{B\it\Gamma}$ . Τελικά,

$\frac{A\it\Delta}{AB}=\frac{AE}{A{\it\Gamma}}=\frac{{\it\Delta}E}{B\it\Gamma},$

κάτι που φανερώνει ότι τα τρίγωνα $A{\it\Delta}E$ και $AB{\it\Gamma}$ έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Το τελευταίο συμπέρασμα συνδέεται με την έννοια της ομοιότητας τριγώνων.

Το συμπέρασμα εξακολουθεί να ισχύει ακόμη κι όταν, όπως στο παρακάτω σχήμα, η ευθεία $\varepsilon$ είναι εκτός του τριγώνου και τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών του.

Διαδραστικές ερωτήσεις

Με τις παρακάτω διαδραστικές ερωτήσεις κλειστού τύπου θα μπορούσατε να ελέγξετε τον βαθμό κατανόησής σας στο Θεώρημα του Θαλή, στα πορίσματα του Θεωρήματος του Θαλή και στο αντίστροφό του.